J'essaye depuis assez longtemps d'éditer une version PDF des Actualités Mathématiques issues de la liste de partage de mon Google Reader. Après m'être battu avec la conversion impossible Atom vers Pdf, j'ai envoyé ce flux sur Feedburner pour le transformer en un flux RSS moins capricieux. Comme tout cela reste encore pour moi, très ésotérique, je cultive l'artisanat et je progresse par petits pas !

Les Actualités mathématiques version Feedburner sont ICI

Tabbloid est ce que j'ai trouvé de mieux actuellement pour transformer ce flux en PDF. Je voulais publier les Actualités mathématiques en PDF régulièrement sur le blog mais Scribd n'accepte pas la conversion du fichier et ne permet pas son affichage dans une fenêtre de lecture, alors j'abandonne l'idée.

Le résultat est ICI

Si l'idée vous séduit, vous pouvez recevoir par mail ce flux RSS tranformé en PDF ou d'autres de votre choix en vous inscrivant. IL est aussi possible de générer un fichier PDF "manuellement". Les espacements entre les envois me paraissent assez aléatoires, et je n'ai pas fait de contrôle de l'exhausitivité de ce qui est agrégé. Comme vous pourrez le constater, les notes agrégées via la recherche Google apparaissent un certain nombre de fois.

Mais quel sacrifice ne ferait-on pas pour recevoir les nouvelles mathématiques fraîches dans sa boite aux lettres ?

A partir du 1er décembre et jusqu'au 24, je publierai chaque jour sur mon blog Maths au LEG, une vidéo mathématique extraite de "Advent Calendar 2006".

Vous pouvez les retrouver directement sur le site avec les explications associées :

Les mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

Bertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

• Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
• Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

Pour compléter sur l'axiome du choix :

Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne

J'ai toujours été en difficulté devant le fait d'évaluer des travaux d'élèves sans un barème précis. Je me suis toujours aussi senti très géné lorsqu'il faut évaluer une compétence globale, différencier l'évaluation en fonction des profils des élèves et de leurs objectifs. Je suis souvent le témoin de progrès sensibles, d'efforts importants, qui ne sont pas immédiatement suivis d'effets dans les résultats d'évaluation en classe, ou au contraire de relachements de concentration, de travail, de régularité.

Comment donner un instrument de mesure aux élèves autrement que celui d'attendre la note de la prochaine évaluation en classe afin qu'ils puissent infléchir leur résultats ou de plaquer une souvent trop artificielle note de devoir maison?. Faire un devoir maison tout seul ne peut-il pas être une compétence, même si celui-ci est raté, alors qu'un camarade l'a fait faire par un prof particulier, par un parent ou a demandé de l'aide sur un forum?

Je ne sais pas si j'ai résolu la question mais j'ai fait un pas, ce qui me parait déjà pas mal. J'ai utilisé un système d'évaluation dynamique qui m'a produit une note, comme tout système d'évaluation d'ailleurs! J'ai décidé de remettre le compteur à 0 à la fin de chaque trimestre afin qu'il produise une autre note. J'ai injecté cette note dans la moyenne de chaque élève. Celle-ci est souvent plus forte que la moyenne de l'élève sauf pour quelques élèves ( environ 15% dans ce premier essai ).

C'est l'écart entre la note moyenne du trimestre et cette note ainsi que son évolution  sensible dans un temps court qui lui confère son caractère dynamique. Pour quelques élèves il peut y avoir plus de cinq points d'écart en plus ou en moins par rapport à la moyenne brute. Cette note ne fait visiblement jamais passer un élève en dessous de la moyenne, ce qui me semble important et c'est souvent l'écart insuffisant entre la note dynamique et la moyenne brute qui ne permet pas de passer au dessus de la moyenne.

Je n'ai pas fait le tour des possibles mais on peut avoir l'idée de faire un mois "participation", où la participation de chaque élève est comparée, en prenant en compte leur caractèreou non, un mois "régularité du travail personnel", évaluer des travaux facultatifs etc...

J'ai pour ma part, cassé l'évaluation traditionnelle des travaux maison en faisant apparaitre des espèces de blocs de compétences qui changent en fonction de la nature du devoir et de l'année. En début d'année, j'ai plus appuyé ma notation sur la présentation, les justifications, la rédaction que sur le contenu mathématique. En fin de trimestre, j'ai évalué dans le devoir maison suivant, la capacité des élèves à produire la bonne conclusion, ainsi que celle à bien poser le problème.

Il est aussi possible de remarquer un progrès sensible sur un comportement, dans la rédaction d'un devoir, ou dans la concentration en classe. Si l'on dispose d'un blog, on peut repérer et valoriser les plus actifs participants.

L'idée est simple à mettre en oeuvre: il suffit d'affecter à chaque élève un certain nombre de cellules d'un tableur que l'on peut compléter par des nombres de 0 à 5. Ces nombres correspondent à la compétence évaluée. Il suffit de calculer la moyenne de ces notes. Ainsi à chaque instant apparaît un indicateur que l'élève pilote au quotidien par ses actions.

La formule de la moyenne est simple :

=SOMME(Plage de données )/(5*nombre de cellules non vides de la plage de données)*20

Le nombre de cellules non vides d'une plage de donées se calcule avec la formule =nb(plage de données)

On obtient ainsi un tableau pour le premier trimestre comme suit, qui s'actualise automatiquement dès que l'on remplit l'une des cellules:

(Les intitulés sont des exemples)

Il est possible de remplir en fin de trimestre quelques cellules par une valeur afin de noter la faiblesse ou l'importance du nombre de notes. J'avais pensé donner un coefficient différent en fonction du nombre de notes mais je n'ai pas retenu l'idée car celle-ci s'avérait trop difficile à mettre en oeuvre et injuste.

J'apprécie le caractère spontané de cette technique d'évaluation qui permet de plus une différenciation possible entre les élèves lors de la notation et lors de l'interprétation des résultats.

J'ai dressé pour quelques élèves le tableau comparant les deux notes, celle du trimestre et celle dynamique, la note de trimestre ayant été corrigée avec la note dynamique ( coefficient 1 pour 7 au total ).

On voit par exemple que pour deux des élèves, la différence entre cette note et leur moyenne est telle, qu'elle leur a certainement permis de passer la barrière psychologique de la moyenne!

Nous sommes en 1867, à l'Académie des sciences. Le très respectable mathématicien Michel Chasles,  éponyme de la relation , bien connu de tous les lycéens, porte à la connaissance de cette illustre assemblée des lettres de Pascal à Newton, présentant des résultats dont l'origine avait été attribuée à ce dernier. Et si l'anglais Newton avait été un plagiaire de Pascal le français!

Deux ans de débats acharnés suivirent à l'Académie des Sciences opposant les partisans de l'autenticité des documents et ceux s'insurgeant devant cette mascarade.

L'affaire s'internationalise lorsque le supposé plagiaire pourrait bien être Anglais, que les Anglais rigolent de l'affaire Outre-Manche et que des lettres qui auraient été écrites par Galilée, à l'époque où celui-ci est supposé aveugle, apparaissent.

A chaque attaque en règle des défenseurs de Newton, un écrit arrive pour leur couper l'herbe sous le pied, d'autant plus que la droiture intellectuelle de Monsieur Chasles ne peut être facilement remise en cause...

Le livre de Jean-Paul Poirier " Mystification à l'Académie des sciences " aux éditions Le Pommier est à dévorer. Je viens de le finir. Il n'y a pas de passages techniques, juste le récit d'une histoire étonnante dont on a bien du mal à penser qu'elle ait pu réellement se produire tant les faits semblent inconcevables.

Pas moins de 27 000 pièces furent vendues en 7 ans par un certain Vrain-Lucas à Michel Chasles ce qui correspond à une production par ce faussaire d'exception de plus de 10 pièces par jour, dimanches et fêtes compris.

Je vous engage à vous plonger dans ce livre de 137 pages pour savourer pleinement ce récit surprenant.

Michel Poirier sur Canal Académie

L'arnaque Vrain-Lucas