Le Flux Intégral désigne l’intégration dynamique de quatre composantes fondamentales :

• RIACP : Régulation et Inhibition Adaptative du Champ Pulsionnel

• ICPME : Intégration des Champs Pulsionnels Multi-Échelles

• Flux-Joie : Orientation vers l’intensification fluide de la dynamique pulsionnelle

• Posture-Flux : Ancrage corporel et perceptif permettant la stabilisation et la syntonie des flux

Il repose sur les axiomes suivants, considérés comme indépendants, nécessaires et non réductibles.

Axiome 0 — Ouverture du Réel

Le réel est un système ouvert, structuré par variation et tension entre centres dynamiques.

Il n’existe pas de fondement fixe ou absolu. Toute réalité locale est le produit d’une ouverture dynamique entre au moins deux attracteurs en interaction.

Axiome 1 — Primauté de l’intensité dynamique

Tout phénomène pulsionnel est défini par son intensité, sa modulation et sa variation, non par son identité statique.

Ce qui caractérise une configuration du flux, ce sont ses propriétés dynamiques (amplitude, fréquence, orientation), non sa nature intrinsèque.

Axiome 2 — Fractalité régulée

Les processus pulsionnels sont organisés en boucles imbriquées selon des échelles multiples.

Chaque niveau d’organisation influence et est influencé par les autres. Il n’existe pas d’échelle indépendante ni hiérarchiquement supérieure.

Axiome 3 — Régulation adaptative continue

Tout système vivant ajuste en permanence son champ pulsionnel selon un mécanisme de régulation adaptative.

Ce mécanisme implique des boucles de rétroaction intégrant inhibition, modulation, décharge et réorientation.

Axiome 4 — Instabilité constructive

Le déséquilibre est une condition nécessaire à l’émergence de nouvelles formes d’organisation.

La stabilité absolue est une illusion ; seuls les états métastables peuvent perdurer en autorégulant leurs tensions internes.

Axiome 5 — Orientation vers la Joie

La dynamique du flux tend vers l’expansion qualitative du champ pulsionnel, identifiable par une augmentation de la Joie.

La Joie est définie comme l’indicateur interne d’une compatibilité entre l’organisation actuelle du flux et son potentiel d’actualisation.

Axiome 6 — Connexion posture-perception

Le système corporel (yeux, pieds, colonne vertébrale, respiration) conditionne directement la stabilité et l’orientation du flux.

Aucune régulation ne peut être considérée comme complète sans prise en compte de l’ajustement postural et perceptif.

Axiome 7 — Co-émergence du champ et de son observateur

L’observateur fait partie du champ qu’il observe.

Toute intervention ou représentation est co-produite avec le champ pulsionnel et modifie ses conditions de manifestation.

Axiome 8 — Dissipation productive

Toute transformation pulsionnelle implique une dépense d’énergie, mais cette dissipation peut produire une structuration supérieure.

L’énergie perdue localement peut générer une organisation plus cohérente à une autre échelle du système.

Axiome 9 — Non-clôture logique

Le système du Flux Intégral n’est ni formellement clos ni totalement déterminable.

Il accepte l’incomplétude, la plasticité des configurations et l’apparition de nouvelles règles locales selon les tensions du champ.

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La multiplication des nombres entiers est un problème qui occupe les mathématiciens depuis l'Antiquité. La méthode « babylonienne », que l'on apprend à l'école, revient à multiplier chaque chiffre du premier nombre avec chaque chiffre du deuxième nombre. Pour deux nombres d'un milliard de chiffres chacun, cela nécessite un milliard de milliards d’opérations, ou une trentaine d'années pour un ordinateur qui effectue un milliard d'opérations par seconde. En 1971, les mathématiciens Schönhage et Strassen ont inventé une méthode plus rapide, permettant de réduire le temps de calcul à une trentaine de secondes sur un ordinateur portable d'aujourd'hui. Dans le même travail, ils présageaient l'existence d'un algorithme encore plus rapide. Dans un nouvel article, à disposition de la communauté scientifique sur la plateforme HAL, Joris van der Hoeven, chercheur du CNRS au Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (CNRS/École polytechnique) et David Harvey de l’Université de Nouvelle-Galles du Sud (Australie) viennent de relever le défi en trouvant une nouvelle méthode permettant de multiplier plus vite de grands nombres entiers. Un dernier problème soulevé par Schönhage et Strassen reste ouvert : démontrer qu’il est impossible de faire encore plus rapide. Un nouveau défi pour l’informatique théorique !  

Bibliographie

Integer multiplication in time O(n log n). David Harvey, Joris van der Hoeven.
Disponible sur HAL : https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02070778  

Vincent Lafforgue, actuellement directeur de recherche CNRS à l’Institut Fourier (CNRS/Université Grenoble Alpes), est lauréat du prix Breakthrough 2019 dans la catégorie des mathématiques. Recruté au CNRS en 1999, lauréat d’une médaille d’argent du CNRS en 2015, il est aujourd’hui distingué pour son parcours de mathématicien et plus particulièrement pour ses recherches sur le programme de Langlands. 

Le prix Breakthrough a été créé en 2012 par des entrepreneurs de la Silicon Valley pour célébrer la recherche scientifique en mathématiques, physique fondamentale et sciences de la vie. C’est la cinquième fois qu’un prix Breakthrough est décerné à un Français.

 www.cnrs.fr/fr/cnrsinfo/vincent-lafforgue-laureat-du-prix-breakthrough-2019-de-mathematiques

Les abeilles sont capables de se représenter et d'interpréter le zéro. C'est ce que viennent de démontrer une chercheuse du Centre de recherches sur la cognition animale (CNRS/Université Toulouse III – Paul Sabatier) et ses collègues australiens, prouvant pour la première fois que des insectes sont capables d'abstraction mathématique. Le zéro, qui symbolise le rien, le neutre ou l'absence, étant une construction humaine relativement récente, ces résultats, publiés dans Science le 8 juin 2018, interrogent l'importance symbolique du zéro dans l'histoire des mathématiques.

Il avait déjà été démontré que certains vertébrés maîtrisaient des concepts numériques complexes, notamment l'addition ou la notion de zéro, mais rien n'avait été prouvé chez les insectes. Les abeilles sachant compter au moins jusqu'à 5, les chercheurs les ont formées au concept de « plus grand que » et « plus petit que ».

Ils ont d'abord appris aux abeilles à venir boire de l'eau sucrée sur un dispositif expérimental associant une plateforme à une image. La règle est simple : « Choisis l'image où il y a le moins d'éléments ». La bonne réponse apporte de l'eau sucrée tandis que la mauvaise confronte les abeilles à une solution amère de quinine. Une fois que les abeilles ont intégré le principe du jeu, les chercheurs leur proposent une image vide et une image avec plusieurs points. En choisissant l'image vide comme étant celle comportant le moins d'éléments, les abeilles ont montré qu'elles étaient capables d'extrapoler en considérant que le zéro est inférieur à 5, 4, 3, 2 ou 1.

Les abeilles n'ont qu'un million de neurones soit 100 000 fois moins que l'Homme, et pourtant tous deux sont capables d'utiliser le zéro. Invention majeure de l'humanité pour les mathématiques, la notion de zéro est particulièrement abstraite. Elle permet de représenter l'absence d'objet en inventant un nombre pour « le rien » tout en considérant qu'il est une quantité. Le cerveau, qui a évolué pour traiter des stimuli sensoriels, peut aussi concevoir l'absence de stimulus comme un objet concret. Cette découverte interroge l'importance symbolique du zéro, en suggérant une utilité de ce nombre pour un insecte pollinisateur.

Après avoir appris que les images contenant le moins d'éléments sont associés à une récompense, les abeilles ont choisi l'image vide. L'expérience démontre qu'un ensemble vide, le zéro, est considéré par ces insectes comme un nombre inférieur aux autres.

© Scarlett Howard/Aurore Avarguès-Weber

Recouvrir une surface plane avec un motif unique est un problème mathématique qui intéresse l'Homme depuis l'Antiquité, notamment pour la qualité esthétique des pavages, comme les mosaïques et les carrelages. L'un des problèmes encore ouvert dans ce domaine, qui questionne la communauté scientifique depuis 1918, est aujourd'hui définitivement clos grâce à Michaël Rao du Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) : en utilisant des outils informatiques, il a démontré que pour des motifs à cinq côtés, seules 15 formes sont possibles pour recouvrir une surface plane. Ces travaux sont aujourd'hui disponibles sur le site Arxiv.org.

Pour recouvrir un sol avec une seule et même forme, il existe de nombreuses solutions : triangles, carrés, rectangles, hexagones, etc. La recherche exhaustive de toutes les formes convexes pouvant paver un plan, c'est-à-dire une forme avec des angles inférieurs à 180° et qui permettent de recouvrir tout un mur sans chevauchement, fut initiée par Karl Reinhardt durant sa thèse en 1918. Il a montré que tous les triangles et quadrilatères pavent le plan, qu'il n'existe que 3 types d'hexagones qui permettent de réaliser un pavage et qu'un polygone à sept côtés ou plus ne permet pas de recouvrir un plan. Seule la question des pentagones restait ouverte. 

De 1918 à 2015, 15 types de pentagones ont été découverts, lors de recherches plutôt singulières : initiée par Reinhardt en 1918, elle a subi plusieurs rebondissements, comme des nouvelles découvertes de mathématiciens amateurs, jusqu'à l'annonce médiatisée, en 2015, d'une nouvelle et 15^e forme, 30 ans après la 14^e, sans que la communauté scientifique ne parvienne à déterminer s'il existait encore d'autres formes de pentagones possibles pour paver un plan.

Michaël Rao, chercheur du CNRS au Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1) a aujourd'hui définitivement montré qu'il n'existe qu'un ensemble fini de familles¹ de pentagones à considérer. En générant toutes les possibilités via un programme informatique², Michaël Rao a montré que 371 familles de pentagones pouvaient potentiellement recouvrir un plan. Il a ensuite testé chacune de ces familles, à l'aide d'un autre programme informatique, et a montré que seuls 19 types de pentagones satisfaisaient les conditions nécessaires, à la fois pour les angles et la longueur des côtés, pour paver un plan. Parmi ces 19 types, 15 correspondent à des types déjà connus, et les quatre autres s'avèrent être des cas particuliers de ces 15 types. Seuls 15 types de tuiles sont donc possibles pour un recouvrir une surface plane.

Avec sa méthodologie, Michael Rao clôt ainsi un problème vieux d'un siècle, mais pas seulement. Toutes les tuiles convexes pavent le plan de façon périodique (c'est-à-dire que le pavage se répète à l'infini). On ne sait pas encore s'il existe une tuile qui permet de réaliser un pavage non-périodique. Or, la plupart des techniques utilisées ici peuvent également être utilisées dans le cas des polygones non convexes et pourraient donc servir de base à la résolution de cet autre problème encore ouvert dans le domaine des pavages, plus connu sous le nom d' « Einstein Problem » (de l'allemand « ein stein »).

Les 15 types de pavages pentagonaux et leurs 4 types particuliers. © Michaël Rao, Laboratoire d'informatique du parallélisme (CNRS/Inria/ENS de Lyon/Université Claude Bernard Lyon 1).

¹ Une "famille" est un ensemble de conditions portant uniquement sur les angles du pentagone. 
² L'exhaustivité de cette liste a également été revérifiée, de manière indépendante, par Thomas Hales qui a notamment prouvé la conjecture de Kepler par ordinateur.

Exhaustive search of convex pentagons which tile the plane. Michaël Rao, disponible sur Arxiv.org, arXiv:1708.00274 (https://arxiv.org/abs/1708.00274)

Deux, deux minutes pour classer les pavages