Inclassables Mathématiques 2.0

J'ai trouvé cet exercice dans un livre et j'ai utilisé le logiciel Xcas pour le résoudre partiellement avec les élèves. C'est vrai que c'est sympa de faire faire à une machine un calcul fastidieux. Et ce qui est encore plus sympa c'est de vérifier avec les élèves les calculs à la main... et de trouver une erreur dans les résultats issus du logiciel, à cause d'une inversion de coordonnées dans les points!

Xcas est aussi en ligne et tiens pour me venger :

C'est presque trop facile. Pfff.

Pour mieux comprendre la problématique de l'enseignement des mathématiques en France, j'ai pris le sujet à la racine, c'est à dire au XVIIIème siècle. C'est à cette époque aue l'enseignement des mathématiques s'est généralisé. Plutôt qu'étudier les contenus des livres, j'ai étudié les préfaces des livres de cours de l'époque, disséqué la rhétorique et les arguments avancés par les auteurs au cours du siècle.

Bonne lecture.

L'enseignement des mathématiques au XVIIIème.pdf

Vocation et passion des mathématiques - JM Coron... par Sciences_Maths_Paris

Un nombre 321 dit de Thābit pour Thābit ibn Qurra, est un nombre de la forme K_n=3·2ⁿ−1 , où n est un entier naturel. 

Pour les premières valeurs de n =0, 1, 2... ces nombres valent 2, 3, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727... (Suite A055010).

Les premiers nombres de Thābit premiers appelés aussi 321-premiers sont : 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (Suite A007505).

La premières valeurs de n pour lesquelles on trouve des 321-premiers sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414 (Suite 002235).

Les nombres premiers pour n≥234760 furent trouvés à partir de 2003 à l'aide du 321 project. Le plus grand d'entre eux a été découvert par Dylan Bennet en 2008 avec la valeur de n=4235414. Ce nombre possède 1274988 chiffres en base 10.

La représentation binaire de ces nombres est particulière. Elle est formée de 10 puis de n 1.

Par exemple pour K₇=3·2⁷−1=383, l'écriture binaire est 101111111.

Thābit ibn Qurra était un mathématicien, physicien, astronome et musicologue persan qui vécu de 826 à 901.

Il montra que si K_n, K_n−1, and 3×K_2n−1 + 2 sont tous premiers, alors les nombres 2ⁿ×K_n×K_n−1, 2ⁿ×(3×K_2n−1 +2) sont amicaux. Cette hypothèse se rencontre seulement trois fois, pour n = 2, 4, et 7, donnant les paires de nombres amicaux suivantes: (220, 284), (17296, 18416), et (9363584, 9437056). (Source: MathWorld et Wikipédia).

Je n'ai pas trouvé de traduction en français pour un triangle possédant un angle de 60°.

Un peu comme le triangle rectangle qui dispose de l'un des théorèmes les plus beaux des mathématiques, le triangle eutrigone, dont l'angle de 60° remplace celui de 90°, possède une propriété très analogue.

Si l'on trace des triangles équilatéraux sur chacun des cotés du triangle eutrigone, son aire est égale à la somme de celles des deux triangles adjacents à l'angle de 60° moins l'aire du troisième!

Belle propriété non?

 Vous trouverez l'applet GeoGebra pour constater la propriété ICI.

 Pour la démonstration, elle est du niveau de première S !

The area of an equilateral triangle with side is . By the law of sines, the area of a eutrigon is . The law of cosines gives , because . Multiplying by gives the statement of the theorem.

 Voir le site de Wolfram.

Certains mathématiciens refusent l'idée que l'infini puisse être un concept que l'on peut utiliser. Ce sont les finitistes. Les plus radicaux d'entre eux sont les ultrafinitistes dont faisait partie le mathématicien russe Alexander Yessenin-Volpin, logicien et poète ( qui a été interné dans un hopital psychiatrique en 1949 pour "poésie anti-soviétique" !).

Lorsqu'on lui demandait si toutes les puissances de 2 avaient un sens, il précisait que la question devait être détaillée pour qu'il puisse y répondre et que chacun de ces nombres devait être étudié.

Il répondait presque instantanément que 2¹ était un réel. Lorsqu'on lui demandait si 2² était un réel, il mettait un peu plus de temps à répondre, puis encore plus de temps pour préciser que 2³ en était aussi un. Et si on lui demandait un jour si  2¹⁰⁰ était un réel, il mettrait  2¹⁰⁰  plus de temps à répondre que pour 2¹. Belle façon de montrer qu'il était impossible de répondre à la question et que l'infini est un concept qui n'a pas de sens.

Source: L'excellent livre "Au nom de l'infini" de Cantor et Graham

Imaginons que l'on veuille se donner une unité de mesure de la fréquence d'apparition du couple "Prénom Nom" d'un scientifique (dans cet ordre avec les majuscules initiales) sur la période 1800 à 2000. On pourrait par exemple choisir le milliDarwin, c'est à dire que 1 milliDarwin signifirait que le nom apparait mille fois moins que celui de Darwin dans les publications ou plutôt dans la base de données formée par les mots des 15 millions d'ouvrages numérisés par Google.

C'est l'idée qu'a eu un étudiant de Harvard: John Bohannon et qui a mené le projet de classer les scientifiques, par fréquence d'apparition de leur nom, dans cette gigantesque base de données, baptisé "The science hall of fame".

Avant la lecture de ce classement, j'aurai imaginé de façon assez naturelle que Darwin aurait été le premier et Einstein le second mais un invité logicien, mathématicien, philosophe, homme politique, prix Nobel s'est invité en première place: c'est Bertrand Russell, que certainement le grand public ne connait pas ou peu, en tout cas beaucoup moins qu'Einstein et Darwin. Il est à 1500 milliDarwin, c'est à dire qu'il apparait 50% de fois plus que Darwin, son successeur.

On retrouvera Bertrand Russel en BD dans l'excellent Logicomix, comme narrateur. 

Non loin de lui se retrouve à la quatrième place, Lewis Carroll, l'auteur d'Alice au pays des merveilles, plus connu comme écrivain que comme logicien.

Francis Galton, est bien connu pour sa planche et fait bonne figure à la 12ème place.

Henri Poincaré, comptabilise 108 milliDarwins.

L'idée de ce billet provient de l'éditorial de l'excellent "La Recherche" de Mars 2011 écrit par Aline Richard et c'est vraiment une excellente idée!

Les mathématiques se construisent avec deux modes de raisonnement dissemblables: un coté "soft" abordant les idées et les analogies et un coté "hard", concernant les vérifications. Le coté "hard" est le plus facile à cerner. Il concerne en premier lieu, les preuves "formelles", composée chacunes d'une série d'assertions. Un mathématicien peut vérifier si la démonstration est correcte en la parcourant, pas à pas, et en testant si chacune des étapes suit la précédente à partir de faits déjà démontrés de façon correcte.

Le coté "soft" est le moins facile à décrire. Il est formé d'intuitions sur les objets formels construits dans les démonstrations mathématiques; d'idées qu'une partie des mathématiques peut correspondre de façon analogique à une autre partie des mathématiques; ou aussi d'analogies entre les objets mathématiques et le monde physique.

Par exemple, si vous voulez montrer que deux objets sont similaires, il est parfois plus facile de montrer indirectement qu'ils le sont tous deux à un troisième.

Le langage que les mathématiciens utilisent dans les livres et les articles comble le fossé entre ces deux modes de raisonnement.  Il est difficile,  pointilleux et présente des démonstrations rigoureuses; mais il tente aussi de transmettre subtilement, d'éphémères et intangibles idées "soft" à l'intérieur de sa constitution "hard", au travers d'analogies, d'allusions et d'autres moyens indirects. Ces idées "soft" sont rarement exposées en quelques mots; on ne trouve que très rarement une phrase qui peut résumer à elle seule toutes les idées contenues dans une preuve. Mais un texte mathématique technique et précis peut construire lentement une toile d'éphémères et intangibles concepts par un choix pertinent de mots, traçant des parallèles entre les différentes parties de mathématiques et des sens similaires. Ainsi, un homme mathématicien peut-il se laisser conduire par le texte jusqu'aux idées sous-jacentes. Et, in fine, ce sont ces idées "soft" qui constituent la matière. Le contenu "hard" est important car il rend objectif et vérifiable, mais ce sont les idées "soft" qui sont le centre des mathématiques, ce que les mathématiciens recherchent.

 Photo: Cesarharada.com

Google Trend permet de dresser des courbes associées aux requêtes sur certains mots-clés. Inutile d'être un expert pour voir que la tendance de recherche est décroissante sur le long terme pour  "mathématiques" et "mathematics".

Le graphique précédent était en échelle relative, c'est à dire en fraction des recherches totales, mais le résultat n'est pas beaucoup plus réjouissant en échelle absolue sur la même période:

La tendance internationale suit la même pente...

Les origines des requêtes sont intéressantes à analyser, car elles ne sont pas sans surprise :

Pays:

Villes:

Langues:

La Chine n'est bien sûr pas présente dans ces statistiques puisque les requêtes se font majoritairement via Baïdu dans ce pays et non Google (le chinois est cependant la troisième langue mondiale utilisée, en dehors de la Chine!). Nous pouvons cependant remarquer que si la France est le pays des mathématiques, elle l'est peut-être en terme de médailles mais elle n'apparaît pas dans les dix premiers pays pour le nombre des requêtes et le français apparaît timidement en 9ème position pour les langues utilisées. Il est à noter l'allemand se porte plutôt bien, nous sommes derrière la Turquie et de façon assez surprenante, l'anglais n'est pas  la première des langues apparaissant dans cette analyse mais le tagalog que je ne connaissais même pas de nom!

Les Etats-Unis sont aussi les grands absents de ces données!

A méditer.