Inclassables Mathématiques 2.0

Au début du XXème siècle, Emile Borel, brillant mathématicien,  pronait le développement des laboratoires mathématiques dans les classes pour que les élèves se rendent compte qu'elles ne sont pas une pure abstraction... On a vu se pousuivre le développement des laboratoires de physique expérimentale et de SVT, mais pourquoi le système scolaire français n'a-t-il jamais poussé plus en avant cette idée?

Il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’être augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mêlée à la pratique. L’élève comprendra qu’il est sans doute excellent de bien raisonner, mais qu’un raisonnement juste ne conduit à des résultats exacts que si le point de départ est lui-même exact ; qu’il faut, par suite, ne pas croire aveuglément à tout raisonnement, à toute démonstration d’apparence scientifique, mais se dire toujours que la conclusion n’a de valeur qu’autant que les données ont été scrupuleusement vérifiées par l’expérience. C’est la meilleure éducation que nous pouvons souhaiter donner à nos élèves. Quand ils auront bien compris à la fois la puissance indéfinie du raisonnement abstrait et son incapacité absolue à créer de toutes pièces une vérité pratique, ils seront mieux armés pour la vie.

Le hasard, Emile Borel, éd. Librairie Félix Alcan, 1914, p. 12-13

On pourra lire avec un intérêt tout particulier la conférence qu'il a donné le 3 mars 1904 au  musée pédagogique d'où sont extraites les citations suivantes:

Mais pour amener, non seulement les élèves, mais aussi les professeurs, mais surtout l’esprit public à une notion plus exacte de ce que sont les Mathématiques et du rôle qu’elles jouent réellement dans la vie moderne, il sera nécessaire de faire plus et de créer de vrais laboratoires de Mathématiques.

Si la création de laboratoires en partie communs, se prêtant des appareils, utilisant même, dans un petit établissement, les mêmes outils, pouvait avoir pour résultat de rapprocher les physiciens et les mathématiciens, ce serait déjà une raison suffisante pour les créer.

j’ai parlé de ce que, à mon sens, il y avait à faire au point de vue des exercices pratiques de Mathématiques, mais je n’ai pas dit qu’il fallait supprimer l’enseignement théorique des Mathematiques ; je pense, au contraire, qu’on peut le conserver tel qu’il existe (à peu de chose près) ; mais cet enseignement théorique ne sera que mieux compris s’il est accompagné d’exercices pratiques, tels que nous avons essayé de les définir.

Cela étant bien entendu, il semble que la valeur éducative de l’enseignement mathématique ne pourra qu’etre augmentée si la théorie y est, le plus souvent possible, mélée à la pratique.

Cela fait maintenant plus de 20 ans. Et oui le temps passe vite! 20 ans que je manipule un ordinateur, que je tente de le dresser alors qu'il essaye de résister à  la plupart de mes demandes. Au début ça parait simple, on écrit un truc du genre "zjaejahekajehzke", on imprime, on modifie la taille de la police, on souligne, on centre, on imprime et on se dit que c'est génial...

Oui mais sauf qu'il y a 20 ans j'ai voulu faire la billetterie d'une manifestation s'étalant sur plusieurs jours, avec des cartons d'invitations , des tarifs différents et là ça n'a pas été la même histoire. L'ordinateur sympathique au premier abord s'est transformé en bête bornée, qui ne comprenait rien à rien; pire qui faisait presque exprès de m'empêcher de  faire ce que je voulais. Alors je me suis couché tard, très tard et j'ai imprimé pour voir si cette fois ça allait. Ce que j'imaginais me prendre une ou deux bonnes soirées m'a pris 5 à 10 fois plus de temps, mais je l'ai fait cette satanée billetterie sous Word!

Et puis il y a eu ce rapport de stage un peu avant. Je n'avais même pas d'ordinateur,  pas d'imprimante laser. Je faisais la rédaction chez un copain, dans un local pas toujours chauffé, qui disposait d'une merveilleuse imprimante à aiguille au ruban souffreteux. Mes montages étaient très artisanaux car l'ancêtre de ce que l'on appelle maintenant un traitement de texte se prétait mal à l'insertion d'images (enfin la version et le matériel dont je disposais!). Un tube de colle a eu raison de tous mes ennuis.

Et puis j'ai commencé à vouloir écrire quelques cours, rédiger des interros et des sujets d'examen, mais écrire des maths n'était pas une mince affaire... Petit à petit, malgré le fait que je trouvait cela fastidieux, je m'y collais, et puis les montages se sont avérés un peu plus complexes avec des scans et l'insertion d'images que je générais moi-même. L'ordinateur était redevenu un peu plus proche, un peu plus docile.

Après est arrivée l'ère du web, d'Internet, et puis celle du Web 2.0, permettant de partager de diffuser tout ce que l'on voulais... ou presque: des photos, des sons, des vidéos, du texte... oui mais pour les maths c'était autre chose et pour les élèves il faudra attendre un peu. Déjà parvenir à écrire des maths en ligne tenait du record, alors s'il fallait en plus qu'elles parviennent à destination des élèves! Et puis j'ai passé quelques soirées, certainement 10 à 50 fois plus que je pensais pour maîtriser au moins partiellement la bête et j'y suis parvenu. J'ai même réussi à faire mieux que ce que je pensais... Je devenais capable de publier des maths,des animations,des vidéos, je pouvais mettre des fichiers en ligne, créer un site, écrire sur des blogs, des wikis.

L'ordinateur connecté était redevenu génial mais la transposition numérique était incomplète. Je voulais jouer du copier-coller, pdf-ifier, vidéoprojeter tout ce que je voulais, tout ce que j'imaginais. Créer un fichier chez moi, l'ouvrir en classe (ou réciproquement), le transmettre aux élèves, faire un cours composite en prenant un morceau là et un autre ici, avec une copie d'écran en passant et placer une petite animation qui va bien. Pouvoir vidéo-projeter tout cela avec un certain confort pour moi et les élèves, et puis  convertir le tout en PDF pour le transmettre. Créer un fichier ici, le poursuivre là-bas, l'imprimer là où il y a une imprimante, le projeter là où il y a un vidéo-projecteur, et le retrouver le lendemain ou bien dans un an.

Je crois que ça s'appelle  la transposition numérique, que j'y suis parvenu seulement ces jours-ci. Cela m'a pris plus de 20 ans pour la réaliser, entre les apprentissages  des outils et leur mise à disposition. Pour la transposition didactique, je crois l'avoir intégré en beaucoup moins de temps!

20 ans déjà, waouh!

20 ans pour apprendre à communiquer numériquement!

Je vous propose ici les textes (en hyperliens) des discours prononcés, le 1er mars 2011, lors de la séance solennelle que l'Institut de France a tenue, "sous la coupole", sur le thème " Les nouveaux défis de l'éducation".

Y ont  pris la parole, après une introduction par Gabriel de Broglie, (chancelier de  l'Institut de France), Xavier Darcos (secrétaire perpétuel de l'Académie des  Sciences Morales et Politiques), Pierre Léna (de l’Académie des Sciences) et  Michel Serres (de l’Académie française).

RAPPORT sur LES MATHÉMATIQUES EN FRANCE ET DANS LES SCIENCES
en présence des lauréats de la médaille Fields,
MM. Ngô Bảo Châu et Cédric Villani,
ainsi que du lauréat du prix Gauss, M. Yves Meyer
Compte rendu de la réunion du 17 novembre 2010

Par M. Claude Birraux, Député

EXTRAIT

M. Sylvestre Huet, journaliste à Libération.

Nous restons un peu sur notre faim. Vous avez d’emblée évoqué les points forts sur lesquels s’est fondée la fameuse excellence de l’école française. Or l’organisation du système de recherche français a subi de grands bouleversements. Selon vous, cela aura-t-il des conséquences positives ou négatives, ou bien une combinaison des deux selon les différents aspects ? Peut-être faudrait-il parler d’autre chose que des médaillés Fields et des quelques autres récompensés, dont les cas sont certes singuliers mais qui sont limités sur le plan des effectifs. En d’autres termes, le nouveau système entraînera-t-il un maintien, un accroissement ou une diminution de la force de frappe des sciences utilisant des mathématiques ? Prenons un peu de recul historique : la France produit ni plus ni moins de docteurs ès sciences qu’en 1993, c’est-à-dire depuis longtemps, dans un contexte où certains pays moyens ou émergents sont dans une dynamique. Cette stagnation, qui frappe les mathématiciens mais aussi les physiciens, les chimistes, les biologistes et les spécialistes des sciences de la terre utilisant les mathématiques, peut-elle continuer ? Pouvons-nous rester dans cette ère, alors que tout le monde nous dit que le futur sera piloté par les sciences et techniques ? Cela me semble la question la plus cruciale ; je ne suis pas convaincu que l’enjeu, aujourd’hui, pour le système de recherche français, réside aux extrémités, école primaire d’un côté, Normale Sup’ de l’autre.

M. Cédric Villani.

Votre question est très difficile car elle fait appel à de la prédiction, exercice toujours délicat. Si j’ai bien compris, vous vous interrogez sur l’impact possible des réformes actuelles sur l’enseignement supérieur. Les bouleversements étant en cours, nous ne disposons pas du recul nécessaire pour savoir comme la situation évoluera. La loi instaurant l’autonomie des universités, notamment, a fait couler beaucoup d’encre. Je suis très favorable à l’autonomie mais beaucoup de gens ne pensent pas comme moi. En tout cas, tout le monde se reconnaît, je crois, dans le mouvement actuel de revalorisation de l’université en tant que lieu de travail et de production de science. Cela plaît particulièrement aux mathématiciens, pour lesquels une carrière normale, passionnante, consiste à travailler au contact des étudiants, à l’université ; celle-ci, pour nous, joue un rôle central.
Ensuite, une divergence est sensible entre partisans de la centralisation et de l’autonomie. Personnellement, je pense que la gestion matérielle des universités ne peut se faire à distance, de manière abstraite, qu’elles ont absolument besoin d’un pilotage de terrain. La dimension politique locale est également primordiale. Quant aux effets à long terme, il est difficile de les prévoir.
S’agissant des pays émergents, l’université chinoise de Fudan, que j’ai visitée il y a peu, possède un campus effrayant : les standards de qualité de vie sont équivalents à ceux de Stanford. Des sommes considérables sont manifestement investies année après année. Le niveau des élèves n’est évidemment pas le même qu’à Stanford mais l’attractivité est réelle. Peut-être la question des moyens est-elle vitale, les solutions sont souvent simples.

M. Claude Birraux.

La perception de la science et des scientifiques, en Chine, n’est sans doute pas tout à fait la même qu’en France. Certains, chez nous, considèrent que la science est malpropre et que, par conséquent, il ne vaut mieux pas en faire.

M. Cédric Villani.

Les sciences ne bénéficient en effet pas du même respect en Europe et en Asie. Et cela se répercute sur les dirigeants politiques : il est très fréquent, en Chine, que des anciens scientifiques occupent des postes très élevés ; c’est incontestablement beaucoup plus rare dans notre système.

M. Yves Meyer.

Pour répondre très clairement, j’ai toujours été animé par la passion de transmettre et j’ai commencé à enseigner dans le secondaire, avant de poursuivre, pendant quinze ans, en première année de premier cycle universitaire. Mes élèves n’étaient donc ni des médaillés Fields ni des écoliers. La tradition mathématique française, Cédric l’a dit, a consisté à transmettre le feu sacré. Mais cela suppose une réponse. Si aucun public ne vient assister à un concert, à qui en incombe la faute ? Même si le programme est merveilleux, il faut que la société soit au rendez-vous.

La désaffection relative vis-à-vis des sciences traduit aussi la désaffection vis-à-vis de l’effort, mot pratiquement banni de l’enseignement secondaire actuel. Quand j’enseignais en lycée, de 1960 à 1963, je donnais un problème par semaine ; avec cent élèves et dix pages par copie, cela faisait mille pages à corriger et annoter chaque semaine, j’y consacrais mon samedi et mon dimanche. Aujourd’hui, quiconque ferait de même serait traité de bourreau. Les enseignants ne donnent qu’un problème par trimestre, parce que la notion d’effort a disparu.

Il me semble que les processus d'apprentissage sont aux  compétences (processus dynamiques) ce que le socle commun est aux connaissances (stock).

Dans toute transmission il y a un émetteur et un récepteur et du point de vue du récepteur, il y a une intériorité et une extériorité, une origine et un objectif.

Les processus d'apprentissages et le socle commun sont associés à l'intériorité individuelle, à l'origine, au départ. Ils constituent une transformation personnelle interne. Il n'y aurait pas, pour le système scolaire, de négociation possible sur le niveau d'intériorisation des éléments du socle sous-entendu que les élèves auraient été informés et entrainés aux processus d'apprentissage accompagnant ce niveau minimal d'acquisition demandé. Il me semble que cette exigence minimale doit aller de pair avec l'enseignement des moyens d'y parvenir. Or énoncer un contenu ou demander une compétence ne dit rien sur la façon dont ceux-ci se mémorisent ou s'intériorisent par l'élève, sur les processus qui accompagnent leur fixation interne. Or celle-ci n'est jamais enseignée ou presque.  C'est toujours le concept disciplinaire (même s'il est interdisciplinaire) qui est expliqué, ressassé, et en fait demandé.  Rien ou très peu n'est dit sur la manière dont celui-ci s'intériorise.

De l'autre coté, la demande d'une restitution ouverte se projette en évaluation de connaissances ou  de compétences acquises dans un champ donné. Il s'agit d'un objectif, qu'il soit statique ou dynamique. Si l'évaluation par compétences peut s'avérer plus positive que l'évaluation de connaissances, c'est que bien souvent celles-ci sont nommées ou choisies pour qu'il en soit ainsi. Demander à un élève une factorisation simple ou d'avoir la compétence de factoriser sont isomorphes, par contre demander à un élève une factorisation difficile et avoir la compétence de factoriser ne le sont plus. Si l'on veut l'isomorphie il faut ajouter à la mesure de la compétence, l'impératif de la réaliser dans un champ technique délicat.

On voit  que dans l'évaluation des connaissances ou des compétences, la mesure se fait à postériori, à la fin et en externalité pour en fait conclure le plus souvent sur l'état intérieur de l'élève. Or l'effet mesuré n'est pas nécessairement corrélé à la cause et toute mesure positive externe est le témoin d'une absence de perturbation entre le l'état intérieur et sa restitution et non celui d'une présence d'activité cognitive adaptée. Il est de plus assez étrange que ces présupposés implicites d'activité cognitive interne ne fassent pas eux aussi l'objet d'un enseignement à moins que ceux-ci ne soient pas vraiment connus du système lui-même qui fait pourtant sans cesse appel à eux. Paradoxalement, l'enseignant est celui qui a eu le moins à réfléchir sur la question tout en étant le seul qui puisse y répondre! Il a en effet rencontré assez peu de freins sur le chemin de son apprentissage et n'a pas eu nécesairement besoin de leur explicitation pour assurer sa réussite.

Le système scolaire, lorsqu'il parle d'échec, ne mesure-t-il pas l'absence ou le faible niveau de  processus d'apprentissages individuels au lieu de mesurer la présence réelle de stratégies d'apprentissages? En d'autres termes, le bon élève n'est-il pas celui qui répond positivement à l'injonction scolaire sans pour cela nécessairement comprendre comment est-ce que cela se passe en lui, et le mauvais élève n'est-il pas celui qui ne parvient pas à répondre positivement sans qu'on lui ai vraiment enseigné les stratégies d'apprentissages qui lui permettent d'intérioriser facilement la demande extérieure. Et pour poursuivre sur la même ligne, l'échec n'est-il pas une mesure de l'abandon par  fatigue (au sens mécanique) et par absence d'enseignement de processus d'apprentissages et la réussite scolaire n'est-elle pas une simple mesure de l'adaptation à un environnement ou les implicites d'apprentissages ne sont pas enseignés?

En ce sens ne devient-il pas nécessaire d'enseigner les processus d'apprentissage en même temps que les contenus?

Qu'en pensez-vous ?

Il me semble que le débat "pédagogique" a été mal placé en créant une disjonction à un endroit où il n'y en avait pas. Il s'agit du débat qui serait censé opposer les "constructivistes",  pour lesquels l'élève construit de façon plus ou moins autonome son savoir, le professeur étant là pour l'aider au travail de synthèse et d'orientation et les "traditionnels", ces derniers étant persuadés de l'intérêt du travail frontal entre l'enseignant et les élèves.

De mon point de vue, l'enseignement idéal se situe dans une voie moyenne, qui serait non pas celle d'un équilibre quantitatif entre ces deux options mais plutôt une respiration temporelle dont l'alternance créérait une dynamique. Il y a moment pour chacun de ces temps et c'est ce rythme qui créé l'efficacité.

Le travail frontal ne s'oppose pas au travail de l'élève qui se trouve en phase de questionnement et de construction, et réciproquement le travail autonome de l'élève n'exclut pas une intervention de l'enseignant, même longue. La difficulté est de comprendre l'opportunité de l'action ou de l'inaction.

Dans l'utilisation d'outils dynamiques d'enseignement, il est donc nécessaire de concilier ces deux visions complémentaires qui ne s'excluent cependant pas l'une et l'autre. Ce qui est de l'orde de l'exclusion serait de choisir une seule de ces deux voies, tirant un trait sur l'autre. Ce serait aussi de ne pas  prendre conscience de l'importance du "moment" d'enseignement, celui à partir duquel et pendant lequel on se place dans l'une ou l'autre de ces options.

Dès lors que l'on considère que ces deux pédagogies ne s'excluent pas l'une et l'autre comme ça été trop souvent présenté de façon caricatuale, par les promotteurs de chacun de ces systèmes, créant au passage dogmes et discours politiques boiteux, on peut réellement se pencher sur la question et y déterminer les compétences requises pour exercer une pédagogie de façon diversifiée et rythmée. La définition des différents "moments" est certainement aussi importante que la réflexion sur les contenus, le débat de classe associés et les interrogations suscitées.

Pour illustrer mes propos, beaucoup d'entre nous ont appris que la somme des angles d'un triangle faisait 180° mais combien en ont fait l'expérience? Ont réellement intériorisé ce que cela signifiait dans plein de triangles particuliers ou non?

Apprise comme une vérité première, cette propriété se transforme vite en règle puis en par coeur. On voit d'ailleurs rapidement s'arréter la généralisation de cette propriété. L'a-t-on vue pour un quadrilatère et existe-t-elle d'ailleurs? Pour un pentagone... et pour les polygones? Il n'y a rien de plus normal, car comprendre ce type de propriété demande du temps, demande d'en avoir fait l'expérience, ce dont disposaient les anciens et dont nous manquons cruellement. Par contre, nous disposons aujourd'hui de formidables outils nous permettant de visualiser, de faire bouger, d'être témoin, de se placer dans des cas particuliers puis de généraliser. Cette mise en contact de l'élève avec la mobilité, la dynamique n'enlève en rien la nécessité qu'il doive lui même construire et solidifier ses savoirs, compétences et connaissances. Il ne faut cependant pas qu'il les rigidifie, au point d'être incapable d'en sortir. Cela motive certainement d'autant plus les démonstrations qui elles aussi peuvent être "assistées" par la visualisation (on peut voir le site de Gérard Villemin).

Cette respiration n'est pas de l'activisme, c'est une prise de maturité dans l'enseignement qui ne peut rester figé dans une trop grande abstraction ou dans l'application  rituelle de propriétés faiblement adaptables, dans l'apprentissage par coeur ou dans la question de l'utilité. Un théorème n'est connu que lorsqu'on sait l'appliquer mais pour cela il a fallu "visualiser" suffisamment de cas d'applications ou de contre exemples. Qui a par exemple fait l'expérience d'un théorème de Thalès appliqué avec des droites non parallèles? Personne j'imagine par manque de temps alors que 5 minutes de projection suffisent pour comprendre la nécessité de l'hypothèse "droites parallèles". La manipulation dynamique rend caduque les sempiternelles remarques sur l'utilité des savoirs car ici c'est le "processus à comprendre" qui prime sur le "stock à connaître par coeur".

Placer l'élève au centre du sytème éducatif, ne fait pas de lui l'unique centre. C'est d'ailleurs assez déroutant de voir comment une simple phrase peut laisser sous-entendre  que le système éducatif est circulaire et qu'il disposerait d'un unique centre! L'ancien reste toujours là et s'appelle le professeur. Il n'y a pas déplacement du centre, comme on l'a beaucoup entendu, mais prise en considération que le professeur n'est plus le seul centre, et c'est très bien. Nous voyons donc apparaitre une figure à deux centres mais qui n'en possède pas nécessairement elle même. C'est dans cet espace dynamique que l'enseignement doit  trouver son souffle afin que la respiration se fasse. Il n'y a donc pas dans cette réthorique, la création d'un nouveau fixisme déplacé mais bien la création d'une dynamique que le système doit accompagner puisque c'est lui-même qui l'a engagé!

Il me semble qu'une prise de conscience commence à s'opérer que les frontières placées entre différentes pédagogies ne l'ont été que pour mieux servir la réthorique et l'argumentation de chacune des deux parties. Elles n'en restent pas moins artificielles et ont empéché toute réflexion sur le sujet de la dynamique éducative. Il est impressionnant de voir comment tout discours associé à l'école se transforme en un clin d'oeil en guerre des tranchées avec deux camps, dans lequel le professeur devrait se positionner en choisissant l'un ou l'autre. C'est caricatural et affligeant parce que ça ne correspond pas à la réalité. On retrouve par exemple ce travers dans le débat sur les notes ou de leur abandon complet. On n'entend jamais qu'une voie moyenne existe, pas celle d'un entre deux consensuel, mais simplement l'idée évidente que parfois il faut utiliser des notes ou un système d'évaluation, parfois non, et que le plus difficile est de trouver les moments où ce choix est essentiel. Une fois ce choix fait, un autre débat peut se situer en se demandant quoi faire de ces données brutes ou de leur absence? En quoi peut-on transformer  l'information ou l'absence afin d'en faire une réelle valeur ajoutée éducative. Ce que l'on fait  le 5 septembre doit certainement être différent de ce que l'on fait au mois de mai, tout comme ce que l'on fait en CP, en 6ème et en 2nde n'a certainement rien à voir avec ce qui est utile en CM2, en 3 ème et en Terminale. Ce que l'on fait en début de cours doit être différent de ce que l'on fait à la fin... Etc.

Pour conclure simplement, car c'était l'objectif de ce billet, je voulais juste dire que je suis très satisfait que le n°22 de Mathematice soit parut et que l'on y aborde ce sujet avec deux articles qui dépassent largement le cadre de la géométrie dynamique. Celui de Jean-Philippe Vanroyen qui explique comment est-ce que l'on peut voir et penser les choses de façon dynamique en mettant dans les mains du professeur les outils qui peuvent permettre à l'élève de mieux respirer et le mien.

Je n'oublie pas tous  les autres collègues qui eux aussi ont fait un énorme travail de rédaction et  je cite en passant le billet de Benjamin Clerc concernant les flux RSS des différentes sites académiques.

J'ai déjà parlé sur ce blog d'Edmodo, un réseau social pédagogique de type twitter mais fermé autour de groupes classes ou autres.

Edmodo accepte dorénavant le Latex dans le texte entre les balises [math] et[/math] .

Information obtenue ici.

Aujourd'hui c'est la journée de la statistique et à ce propos je voudrai rendre hommage à mes élèves de Terminale ES qui ont fait une découverte extraordinaire et à laquelle je n'avais jamais pensé auparavant!

Pour déterminer une équation réduite de droite passant par deux points à la calculatrice, il suffit de faire un ajustement affine par moindres carrés d'un nuage de.... 2 points !

Vive les stats.

LARP est un logiciel permettant la réalisation et la visualisation d'algorithmes. Il permet de rédiger directement le pseudo-code de l'algorithme ou de l'obtenir à partir de l'organigramme. LARP dispose d'un mode d'execution pas à pas, de la possibilité d'y intégrer des points d'arrêts ainsi que de très nombreuses fonctionnalités avancées.

PSEUDO-CODE

DÉBUT
    ÉCRIRE "Algorithme de Syracuse"
    ÉCRIRE ""
    REQUÊTE "Entrez un nombre entier", a
    TANTQUE a!=1 FAIRE
        SI a%2=0 ALORS
            a=a/2
            ÉCRIRE a
        SINON
            a=3*a+1
            ÉCRIRE a
        FINSI
    FINTANTQUE
FIN

Source: Projetice: l'Association met en place une formation en ligne sur le logiciel.