Si vous aimez les maths et l'anglais ( ou plutôt l'américain ), il n'y a qu'a vous servir, c'est gratuit :

Les mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

Bertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

• Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
• Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

Pour compléter sur l'axiome du choix :

Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne

Nous sommes en 1867, à l'Académie des sciences. Le très respectable mathématicien Michel Chasles,  éponyme de la relation , bien connu de tous les lycéens, porte à la connaissance de cette illustre assemblée des lettres de Pascal à Newton, présentant des résultats dont l'origine avait été attribuée à ce dernier. Et si l'anglais Newton avait été un plagiaire de Pascal le français!

Deux ans de débats acharnés suivirent à l'Académie des Sciences opposant les partisans de l'autenticité des documents et ceux s'insurgeant devant cette mascarade.

L'affaire s'internationalise lorsque le supposé plagiaire pourrait bien être Anglais, que les Anglais rigolent de l'affaire Outre-Manche et que des lettres qui auraient été écrites par Galilée, à l'époque où celui-ci est supposé aveugle, apparaissent.

A chaque attaque en règle des défenseurs de Newton, un écrit arrive pour leur couper l'herbe sous le pied, d'autant plus que la droiture intellectuelle de Monsieur Chasles ne peut être facilement remise en cause...

Le livre de Jean-Paul Poirier " Mystification à l'Académie des sciences " aux éditions Le Pommier est à dévorer. Je viens de le finir. Il n'y a pas de passages techniques, juste le récit d'une histoire étonnante dont on a bien du mal à penser qu'elle ait pu réellement se produire tant les faits semblent inconcevables.

Pas moins de 27 000 pièces furent vendues en 7 ans par un certain Vrain-Lucas à Michel Chasles ce qui correspond à une production par ce faussaire d'exception de plus de 10 pièces par jour, dimanches et fêtes compris.

Je vous engage à vous plonger dans ce livre de 137 pages pour savourer pleinement ce récit surprenant.

Michel Poirier sur Canal Académie

L'arnaque Vrain-Lucas

En 1743, le Révérend Père Regnault de la compagnie de Jésus publiait ses " Entretiens mathématiques ", sorte de cours dialogué entre Eudoxe et Ariste dont on peut découvrir un extrait ci-après :

Entretiens mathématiques sur les nombres, l'algébre, la géométrie, la trigonométrie rectiligne, l'optique, la propagation de la lumière, les télescopes, les microscopes, les miroirs, l'ombre & la perspective De Père Regnault, Regnault (Noël)

En 2008, La Recherche publie un numéro Hors-Série Les Mathématiques en 14 mots-clés. L'intégralité des articles est accessible à des Terminales S, certains articles qui ne contiennent pas de formules avec ln, exp ou des notations intégrales peuvent même être lus par un public très large voulant étendre sa culture générale comme le laisse entendre le titre de l'édito "Les mathématiques pour tous". Les 14 articles extraits de la rubrique mensuelle Bac to Basics se présentent, tout comme les entretiens du Père Regnault, sous la forme de questions réponses, dont voici un cours extrait :

Que se passe-t-il quand on les additionne ( il s'agit des nombres premiers )?

Nous l'avons vu, la raison d'être des nombres premiers est de permettre une décomposition des entiers en produit de facteurs premiers. La multiplication est ainsi l'opération naturelle pour parler de nombres premiers. L'addition, en revanche, pose de très sérieux problèmes, notamment une célèbre question qui compte parmi les plus anciennes et les plus difficiles des mathématiques : la « conjecture de Goldbach ». Elle affirme que tout entier positif pair (non nul) peut s'écrire comme somme de deux nombres premiers. Par exemple, 18 = il + 7,26 = 13 +13, etc. Posée il y a près de trois siècles, cette question, qui s'énonce en quelques mots d'un vocabulaire accessible à tous, résiste encore et toujours aux assauts des mathématiciens.

Force est de constater que la forme dialoguée n'a pas perduré en ce qui concerne l'édition des livres d'enseignement des mathématiques mais qu'elle reste bien présente pour les vulgariser.

Les 14 mots-clés en question sont :

les nombres premiers,

les nombres complexes,

pi et la quadrature du cercle,

les polynômes,

les fonctions,

les intégrales,

le point, le triangle,

les graphes,

les algorithmes,

le programme,

la simulation numérique,

le hasard,

les sondages.

Les illustrations de Jean-Pierre Cagnat contribuent,elles aussi, à la réussite de ce numéro.

Lancez la vidéo ICI, c'est tout mignon, la musique est adorable et s'il y a un traducteur qui passe par là !

C'est en fait la vidéo de présentation corresondant à deux livres japonais :

Story: "I" am a high school student, who love mathematics. "I" meet beautiful girls in the high school. "I" and the girls enjoy not only the high school life, but also solving math problems! 

"Mathematical Girls" books show the beauty of mathematics, the excitement of challenging hard problems, and happiness of discussing with friends. Beautifully typeset with LaTeX and the Euler Font. Suitable from junior high students to mathematicians.