Inclassables Mathématiques 2.0

J'ai trouvé cet exercice dans un livre et j'ai utilisé le logiciel Xcas pour le résoudre partiellement avec les élèves. C'est vrai que c'est sympa de faire faire à une machine un calcul fastidieux. Et ce qui est encore plus sympa c'est de vérifier avec les élèves les calculs à la main... et de trouver une erreur dans les résultats issus du logiciel, à cause d'une inversion de coordonnées dans les points!

Xcas est aussi en ligne et tiens pour me venger :

C'est presque trop facile. Pfff.

Je ne connaissais pas ce théorème mais il est génial et utilisable par les plus petits.

Il suffit de prendre une feuille de papier pointé et d'y tracer un polygone aux sommets de coordonnées entières, comme dans l'exemple suivant :

* On peut facilement calculer son aire de façon additive à l'aide des pointillés.

Ce polygone est constitué d'un grand rectangle d'aire 12 et de deux petits carrés d'aire 1 soit 12+1+1=14.

Il est aussi constiué de 3 triangles d'aire la moitié des aires des rectangles (ou carrés) associés soit: 2+1+1=4.

L'aire de ce polygone est donc de 14+4=18.

* Utilisons maintenant le théorème de Pick:

Déterminons le nombre de points intérieurs à ce polygone : 10

Calculons la moitié du nombre de points du contour : 18/2=9

Enlevons 1

10+9-1=18

Surprenant et simple non ?

Je viens de découvrir SpaceTime, un  logiciel de calcul formel, de représentation et plus généralement de calcul scientifique. Il est très fluide et libre! Il me semble de plus excellent pour le peu que j'en ai testé. Il suffit de cliquer sur les graphiques pour les agrandir puis de recliquer sur la fenêtre pour revenir au CAS.

Voilà une copie d'une fenêtre que j'ai réalisée, avec la représentation d'une surface, d'une courbe, le développement d'un binôme avec une valeur complexe et deux calculs de limites:

Un essai de représentation dans l'espace avec le code associé:

MultiPlot3D(Plot3D((y-4,x-2),[x,-10,10],[y,-10,10],colors=[orange,blue]),ParametricPlot3D((u,v,500),[u,-1000,1000],[v,-1000,1000],color=[green]),Plot3D((0.001*(x^2+y^2)),color=[yellow]))

J'ai quelque peu "bidouillé" pour obtenir un affichage cohérent entre les deux plans y=4 et x=2 et le plan horizontal qui nécessite une définition paramétrique.

Une courte vidéo permettant de voir le basculement entre les fenêtres de visualisation et le CAS:

La vidéo de présentation:

A ne pas oublier: le blog sur lequel j'ai découvert ce logiciel.

Le 3 mars 2010 aura lieu la plus grande compétition internationale de calcul mental afin de le promouvoir. Plus de 2 millions de jeunes de 5 à 18 ans, individuels ou regroupés par classe et même des adultes se battront numériquement les uns contre les autres tant que la journée du 3 mars durera dans le monde.

Pour y participer rien de plus simple, il suffit de se rendre sur le site de World Maths Day et de s'y inscrire.

Une fois inscrit, il est possible de s'entrainer avant le grand jour.... contre des adversaires de tous pays!

Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

L'équipe de Stanislas Dehaene de l'Inserm/Cea a mis un lien assez inattendu en évidence dans le cerveau, celui de la représentation des nombres et de l'espace. Comme activité cérébrale, le calcul mental ressemblerait à un déplacement spacial. Additionner des nombres serait comme déplacer ses yeux suivant une ligne, de la gauche vers la droite, comme si les nombres y étaient représentés.

Sources : CEA, Scientific American, Libération

Photo: urbanmkr

Il est désormais possible d'utiliser Magicalculator directement en ligne. Pour le visualiser correctement sur Firefox, il faudra installer le plugin IE-Tab. Il fonctionne correctement sous IE8 et sous Chrome.

Si avec un titre comme ça, si je n'arrive pas à la première ligne sur Google... je ne comprends plus rien !

Voilà un petit texte comme je les adore.

Je l'ai traduit de l'anglais. Il s'agit du podcast 83 de MathMutation. Un vrai régal.

Le texte original du podcast

Ma traduction:

Si vous êtes comme moi, vous vous rappelez probablement du roman satirique de Voltaire Candide comme l’un des romans du 18ème siècle les plus agréables que vous avez lu au lycée. Son intrigue implique un jeune homme plutôt idiot qui est instruit par un philosophe optimiste nommé Pangloss. Pangloss insiste sur le fait qu’ils vivent dans le meilleur des mondes, malgré qu’il ait perdu un oeil et une oreille, qu’il ait attrapé la syphillis, qu’il ait été vendu comme esclave et qu’il ait vécu l'épreuve de terribles désastres tels que le feu, les tremblements de terre, et un tsunami.

Mais saviez-vous que la philosophie que parodie Pangloss provient de façon directe du développement du calcul ?

Cette connexion vient du fait que Gottfried Leibniz, le co-inventeur du calcul différentiel, était aussi un philosophe de grande renommée. Vous vous rappelez certainement que la clé du calcul différentiel tient dans sa capacité à trouver la valeur maximale d’une fonction. Cela fonctionne parce que le calcul nous permet de regarder la pente d’une courbe, en mesurant de quelle façon elle monte ou elle descend, de façon infinitésimale en chacun de ses points.

Quand une courbe a arrêté de monter et est sur le point de redescendre, sa pente est de 0 et elle a atteind un maximum local. Ainsi si vous pouvez déterminer le point où la pente d'une courbe est 0, vous pouvez trouver un maximum.

Dans les mathématiques, cette idée est indiscutable. Mais Leibniz a étendu cette possibilité au domaine de la philosophie. Comme prémisse de base, il a commencé par une de sa religion chrétienne, en affirmant qu'il y avait un Dieu omniscient et tout-puissant qui a conçu l'univers.

Un Dieu omniscient ou omnipotent connaitrait, très probablement le calcul et serait capable de produire un super-calcul divin beaucoup plus puissant que celui que Leibniz a développé.

Etant omniscient, il connaitrait toutes les variables qui permettraient de décrire l’univers et de définir la fonction complexe qui permettrait la description correcte de l’univers.
Supposons aussi que Dieu possède une bonté infinie,. Il est indicutable qu’il appliquerait son super-calcul à la fonction de bontée de l’univers et déterminerait ainsi son maximum absolu.

Donc si quelquechose de local semble mauvais, c’est seulement parce qu’en association avec les autres variables de l’univers, ce doit être nécessaire pour atteindre ce maximum absolu.

En réalité, je trouve que c’est dur de batailler avec un tel raisonnement. Des siècles après Leibniz, beaucoup de fonctions compliquées ont été définies, dont nous ne possédons pas d'algorithmes pour les optimiser dans un temps raisonnable, mais Dieu qui possèderait toutes les techniques mathématiques dont il a besoin, ne se soucierait pas des délais fixés. Après tout, s'il y a vraiment un dieu tout-puissant qui aime créer des univers, il peut aussi prendre son temps en le faisant, même s'il doit y passer plusieurs éternités en exécutant un algorithme NP-complet d’optimisation.

Ainsi, si votre religion admet l’existence d’un Créateur omniscient et omnipotent, alors Pangloss et Leibniz ont tous les deux raison et l’on doit vraiment vivre dans le meilleur des mondes.

Widget "Podcasts mathématiques"

MagiCalculatorV2.2 est un calculateur pédagogique virtuel développé en ActionScript2 (il migrera en ActionScript3) utilisable par les enseignants et les élèves sur ordinateur compatible PC.

Il est très intuitif  à utiliser,  son interface s’adaptant au niveau de  l’utilisateur pour l’aider à calculer ou vérifier, du CM à la terminale, la plus grande partie de son travail algébrique. Son interaction avec un traitement de texte lui donne une grande souplesse d’emploi. Il permettra facilement, même avec de très jeunes élèves, de commencer à construire des programmes de calculs ou élaborer des fonctions à une ou plusieurs variables afin de les réutiliser dans des expressions algébriques.

Ce logiciel possède des fonctions surprenantes que l’on ne trouve pas habituellement. Entre autres :

Calculs exacts et approchées de toute sorte d’expression ( on peut régler la précision de la valeur approchée )
 Possibilité de copier/coller, depuis ou vers un traitement de textes, les expressions et leurs résultats.
 Possibilité de créer très facilement de nombreuses fonctions de une à quatre variables
 Convertisseur pédagogique qui interagit avec le calculateur.
 Possibilité de calculs algorithmiques par “lots” afin d’étudier une fonction ou une expression dans un intervalle donné.
 Elaboration progressive de modules de cours pour rendre l’utilisation “active”.
 Puissants vérificateurs du travail de l’élève avec vérification du travail numérique, littéral et de la résolution d’équations.

L'adresse du blog Magicalculator

Info trouvée sur Blogmaths

De Pierre Léna de l'Académie des Sciences.

Beaucoup d’enfants entrent aujourd’hui au collège sans maîtriser les automatismes de base du calcul : un constat alarmant ! Le ministère de l’éducation nationale, qui lance un chantier consacré à l’apprentissage du calcul à l’école primaire, a récemment consulté l’Académie des sciences sur la question. Pierre Léna expose les conclusions du rapport auquel il a participé.

L'article complet : ICI