Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

Voici quelques phrases glanées durant la conférence de presse des lauréats de l'édition 2010 du Congrès International des Mathématiciens (ICM) qui a lieu à Hyderâbâd, en Inde.

Quel que soit le temps passé à faire des mathématiques, ce n'est jamais du temps perdu.

Cédric Villani

L'opposition faite entre mathématiques pures et mathématiques appliquées n'existe pas en réalité. Il existe des mathématiques dites appliquées dont les applications n'existaient pas encore au moment où ces théories ont été formulées.

Yves Meyer

Plus de citations sur le blog "Les Chroniques d'Hyderâbâd".

Soit A un succès dans la vie.

Alors A = x + y + z,

où x = travailler, y = s'amuser, z = se taire.

Albert Einstein

D'autres citations.

Le printemps 2010 est une série noire pour les mathématiques. Vous ne connaissez certainement pas le nom de Imre Toth, philosophe des sciences, né en 1921 en Transylvanie et mort le 11 mai 2010 à Paris. Docteur ès sciences de l’Université de Bucarest en 1968, ses travaux sur l’histoire de la géométrie non euclidienne lui ont assuré une renommée internationale qui lui a permis d’enseigner dans différentes universités (Francfort, Ratisbonne, Paris, Princeton) après avoir pu quitter la Roumanie en 1969.

Il a écrit un ouvrage remarquable et très original que je vous conseille, reconstituant avec des citations empruntées à de nombreux auteurs d'époques très distinctes, un dialogue imaginaire autour du triangle mélant politique, logique, philosophie et mathématiques : "Palimpseste - propos avant un triangle".

Présentation du livre:

Cette succession de textes (des Propos concernant le Triangle) forme un collage surréaliste. L’axiome du choix permet l’assemblage d’un texte composé uniquement de citations et même de citer des textes inexistants, écrits exprès et pour l’unique raison d’être cités. Le choix effectué par la lecture se trouve incarné dans l’ordre de l’écriture, et cet ordre est porteur d’un message, il véhicule une thèse, il articule une idée dont le sens ne devient transparent que par le tout. Ce palimpseste propose un regard nouveau sur le passé : à travers les ténébreuses galeries souterraines de l’Histoire, l’esprit prend conscience de sa propre liberté. C’est une « émission en direct » : des intellectuels engagés, réunis hors temps, dans l’espace de la pensée, parlent légèrement de choses graves.

Un autre livre de Imre Toth: Liberté et vérité, Pensée mathématique et spéculation philosophique

Qu'est-ce que la science? Comment distinguer un argumentaire scientifique de ce qui n'en est pas un? Ou pire de ce qui ne l'est pas tout à fait? Raisonnements éronnés, glissements de sens, effets de rétorique, les techniques sont nombreuses pour nous faire avaler l'ersatz à la place du produit original. Produit d'ailleurs qui se prête bien mal à sa digestion par le grand public. Mais tous les coups sont-ils permis? Ne finit-on pas par s'habituer au packaging? Et ne reproduit-on pas, parfois malgré-nous, les biais que l'on souhaiterai éviter?

Les mathématiques ne sont pas exemptes de cette vulgarisation abusive ou de leur usage détourné. On y trouvera comme exemple, la célèbre maladie de la Gödelite, c'est à dire des conclusions des théorèmes de Gödel mises à toutes les sauces, le fameux Chaos et son effet papillon, la vision très mystique et pythagoricienne du monde, la théorie des catastrophes utilisée de façon... catastrophique et nos plus grands mathématiciens oscillant entre grandeur et décadence. Le Post-modernisme quant à lui fut friand d'un vocabulaire mathématique, dont l'utilisation est bien souvent inadaptée en même temps que le sens des concepts  sous-jacents incompris.

A l'interstice du monde scientifique qui diffuse  et du grand public, la zététique propose d'une part de lister les principales sources d'égarement et de confusion, aussi bien dans les textes que dans les titres des revues de vulgarisation. Elle offre aussi un matériau pédagogique pour s'exercer et pour traiter des cas "d'école".

Après avoir lu la thèse de Baudoin Jurdant : Les problèmes théoriques de la vulgarisation scientifique, je me suis attaqué à une  autre thèse, plus orientée vers les cas pratiques, celle de Richard Monvoisin, Pour une didactique de l'esprit critique.

Entre carpaccios et effets paillasson, le propos est intéressant et permet de disposer d'indicateurs concrets pour déceler les effets utilisés afin de valider un propos qui n'a rien de scientifique alors que son auteur le proclame ou le présente comme tel ou en fait un argument qui devrait être irréfutable.

Au fur et à mesure de la lecture, on découvre des encarts faisant apparaître une maxime intitulée "Facette Z" (comme Zététique ou Zorro?). Elle permet de synthétiser un passage incontournable pour diffuser au plus près les objets de Science. Un exemple parmi beaucoup d'autres: "Les faits, rien que les faits quelquesoit la personne qui les rapporte".

On trouvera un résumé-condensé des facettes Z dans le cours de Zététique-Méthodologie Scientifique de Broch à la page 47.

Il est intéressant de noter dans un sondage de 2001 (page 36), que "seulement" 72.3% des européens pensent que les mathématiques sont plutôt scientifique contre 92.6% pour la médecine et 52.7% pour l'astrologie!

Il est à noter aussi l'existence de l'observatoire de Zététique et de l'AFIS.

Bonne lecture.

Photo: dgj103

La SMAI est la Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles. Elle a édité en 2008 une brrchure dont l'introduction est la suivante:

Au moment ou sont engagées de vastes reformes de l’organisation de la recherche scientifique nationale et de l’enseignement, il a semblé particulièrement utile à la SMAI de conduire une réflexion prospective sur les directions de recherche

Les plus prometteuses en termes d’avancées scientifiques, d’innovation industrielle, et de retombées sociétales.

Ce document, destiné à la communauté mathématique, au grand public, et aux décideurs politiques et industriels, résume les travaux de la SMAI, qui se sont articules autour des points suivants :

– l’image des mathématiques dans le grand public ne reflète pas

A quel point celles-ci sont fortement impliquées et utilisées dans la vie quotidienne ;

– les mathématiques sont une science vivante, alimentée par le dialogue

Avec les autres disciplines (sciences du vivant, sciences de l’information et de la communication, sciences des matériaux, économie, écologie,etc.) et leurs besoins spécifiques, ainsi qu´avec l´industrie ;

– comme les carrières mathématiques semblent perdre de leur attractivité, il faut tenter de répondre a la question : quel avenir pour quels mathématiciens ?

– la structuration de la recherche et les réformes engagées actuellement appellent quelques commentaires de la part de la SMAI.

Le fichier PDF de la brochure

J'ai vraiment apprécié ce numéro 37 des Dossiers de La Recherche intitulé "Le pouvoir des mathématiques". Déjà j'ai bien aimé le petit éditorial, signé par un auteur, à l'égo peu mis en avant, ce qui est tellement rare dans notre monde, et qui s'appelle tout simplement: "La Recherche".

Les mathématiques sont la science de l'exploration en lien avec les autres sciences qui les alimentent.

Pour chacun des articles suivants, j'ai reproduit en italique quelques courts extraits. L'exercice est très personnel. Le mot "algorithme" est très présent dans le magazine, témoignant du rapprochement sans cesse croissant des problématiques théoriques mathématiques et informatiques et l'utilisation de l'ordinateur pour traiter de problèmes complexes.

Dates clés
Les grandes étapes de la recherche

En partant de 1900 et des 23 problèmes de Hilbert et en terminant en 2007 avec la description du groupe de Lie E8, 17 dates sont retenues, mélant preuves formelles et aidées de l'ordinateur à partir de 1976.

Entretien avec Jean-Yves Girard
« Prédire la difficulté d'un problème est impossible »

Savoir si un problème est difficile est un problème difficile. Formuler un problème est plus difficile que d'en trouver la solution. La science recherche des questions et accessoirement elle en recherche les réponses.

Philosophie
L'étonnante fécondité des mathématiques par Dominique Lambert

Mathématiques prédictives, rétrodictives, unificatrices, explicatives,  génératives, langage, pensée, significatives, vides, classificatrices, extension des domaines empriques...

Vocabulaire
L'art de bâtir les conjectures par Barry Mazur

Hilbert utilisa en premier ce mot avec son sens moderne. Le renard sait beaucoup de choses. Mais le hérisson connait une grande chose.

Classification
L'arbre de la complexité

Ruptures
Le mathématicien a-t-il besoin d'instruments ? par Gilles Dowek

L'ordinateur prolonge les facultés non pas de nos sens, mais de notre entendement.

Entretien avec Wendelin Werner
« Explorer les frontières et changer d'échelle »

Avec Greg Lawer, de l'université de Duke (puis Cornell et maintenant Chicago) aux Etats-Unis, nous avons compris progressivement les liens entre les interfaces de percolation et les bords browniens.

Complexité
Le plus difficile des problèmes difficiles par Pierre Lescanne et Nicolas Hermann

Les informaticiens et les logiciens ont alors remarqué que certains problèmes fondamentaux possédaient une complexité qui les rendait insurmontables, mais sans pouvoir dire si cette complexité était inhérente aux problèmes ou si elle pouvait être réduite en attaquant le problème autrement.

Cryptographie
Une géométrie pour les codes secrets par Phong Nguyen

En généralisant l'algorithme d'Euclide, Joseph-Louis Lagrange a démontré en 1773 que l'on peut résoudre le problème SVP en dimension 2. Mais le problème SVP devient de plus en plus difficile, au fur et à mesure que la dimension augmente. [...] SVP fait bien partie des problèmes les plus difficiles de l'informatique théorique.

Symétrie
La carte de la 248e dimension par Mathieu Nowak

Une fois ce travail fait, le plus gros outil dans l'histoire de l'étude des symétries sera fin prêt. Ne restera plus qu'à inventer ce à quoi il peut servir.

Démonstration
Comment on est venu à bout de la conjecture de Poincaré par Gérard Besson

La chirurgie peut réparer le traumatisme. Il suffit de sectionner transversalement chaque cylindre à trois dimensions en son milieu.

Nombres premiers
Des suites à l'envi par Benoît Rittaud

Peut-on encore apprendre quelque chose des nombres premiers? Oui.

Épistémologie
Les mathématiques ordonneront-elles le monde ? par Gregory Chaitin

Comprendre c'est comprimer. Les problèmes non résolus deviendront peut-être des axiomes. Des questions fondamentales resteront peut-être à tout jamais insoluble prenant à revers notre puissance de compréhension.

Document
Les irrégularités ont aussi leur modèle par Ian Stewart

Les travaux qui avaient valu un prix à Poincaré comportaient une grave erreur. Loin d'avoir découvert le chaos, comme on l'avait supposé, il avait prétendu prouver que celui-ci ne pouvait se produire. Voir page 34

Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

Rien à voir avec les maths ni l'enseignement, une fois n'est pas coutume...

J'ai découvert sur Twitter via @EPN de Wallonie, l'adresse de Kiibook permettant de créer des livres artistiques. J'ai trouvé l'idée séduisante et j'ai utilisé ce site ainsi qu'un ancien texte que j'avais écrit pour faire la composition suivante. Le résultat me semble intéressant.

les impensées quotidiennes

C'est un Poème de Jacques Peletier du Mans, mathématicien et poète humaniste français (1517,1582), que l'on retrouvera, avec d'autres poèmes sur les mathématiques, dont certains très originaux, dans le livre "Quand les poètes chantent la science" de Michel Toyer.

(Bizarre... l'article de Wikipédia met deux "l" à son nom...)

Les parents de Gauss ont remarqué qu'il avait corrigé une erreur sur un livre de compte alors qu'il était agé de 3 ans. Li Shanlan lisait en cachette les neufs chapitres à l'âge de 10 ans.

Mais Euclide à 6 ans est-ce possible ?

C'est ce que semble affirmer Jean-Baptiste De La  Chapelle en 1763 ( page 7 ):

"Euclide peut être étudié à 6 ans; l'on a à cet âge des yeux & des mains"

J'ose espérer qu'il s'agit là d'une métonymie et qu'à la place de l'ingestion complète des Eléments d'Euclide, le pauvre enfant ne devra seulement découvrir que quelques éléments graphiques de géométrie.