J'ai vraiment apprécié ce numéro 37 des Dossiers de La Recherche intitulé "Le pouvoir des mathématiques". Déjà j'ai bien aimé le petit éditorial, signé par un auteur, à l'égo peu mis en avant, ce qui est tellement rare dans notre monde, et qui s'appelle tout simplement: "La Recherche".

Les mathématiques sont la science de l'exploration en lien avec les autres sciences qui les alimentent.

Pour chacun des articles suivants, j'ai reproduit en italique quelques courts extraits. L'exercice est très personnel. Le mot "algorithme" est très présent dans le magazine, témoignant du rapprochement sans cesse croissant des problématiques théoriques mathématiques et informatiques et l'utilisation de l'ordinateur pour traiter de problèmes complexes.

Dates clés
Les grandes étapes de la recherche

En partant de 1900 et des 23 problèmes de Hilbert et en terminant en 2007 avec la description du groupe de Lie E8, 17 dates sont retenues, mélant preuves formelles et aidées de l'ordinateur à partir de 1976.

Entretien avec Jean-Yves Girard
« Prédire la difficulté d'un problème est impossible »

Savoir si un problème est difficile est un problème difficile. Formuler un problème est plus difficile que d'en trouver la solution. La science recherche des questions et accessoirement elle en recherche les réponses.

Philosophie
L'étonnante fécondité des mathématiques par Dominique Lambert

Mathématiques prédictives, rétrodictives, unificatrices, explicatives,  génératives, langage, pensée, significatives, vides, classificatrices, extension des domaines empriques...

Vocabulaire
L'art de bâtir les conjectures par Barry Mazur

Hilbert utilisa en premier ce mot avec son sens moderne. Le renard sait beaucoup de choses. Mais le hérisson connait une grande chose.

Classification
L'arbre de la complexité

Ruptures
Le mathématicien a-t-il besoin d'instruments ? par Gilles Dowek

L'ordinateur prolonge les facultés non pas de nos sens, mais de notre entendement.

Entretien avec Wendelin Werner
« Explorer les frontières et changer d'échelle »

Avec Greg Lawer, de l'université de Duke (puis Cornell et maintenant Chicago) aux Etats-Unis, nous avons compris progressivement les liens entre les interfaces de percolation et les bords browniens.

Complexité
Le plus difficile des problèmes difficiles par Pierre Lescanne et Nicolas Hermann

Les informaticiens et les logiciens ont alors remarqué que certains problèmes fondamentaux possédaient une complexité qui les rendait insurmontables, mais sans pouvoir dire si cette complexité était inhérente aux problèmes ou si elle pouvait être réduite en attaquant le problème autrement.

Cryptographie
Une géométrie pour les codes secrets par Phong Nguyen

En généralisant l'algorithme d'Euclide, Joseph-Louis Lagrange a démontré en 1773 que l'on peut résoudre le problème SVP en dimension 2. Mais le problème SVP devient de plus en plus difficile, au fur et à mesure que la dimension augmente. [...] SVP fait bien partie des problèmes les plus difficiles de l'informatique théorique.

Symétrie
La carte de la 248e dimension par Mathieu Nowak

Une fois ce travail fait, le plus gros outil dans l'histoire de l'étude des symétries sera fin prêt. Ne restera plus qu'à inventer ce à quoi il peut servir.

Démonstration
Comment on est venu à bout de la conjecture de Poincaré par Gérard Besson

La chirurgie peut réparer le traumatisme. Il suffit de sectionner transversalement chaque cylindre à trois dimensions en son milieu.

Nombres premiers
Des suites à l'envi par Benoît Rittaud

Peut-on encore apprendre quelque chose des nombres premiers? Oui.

Épistémologie
Les mathématiques ordonneront-elles le monde ? par Gregory Chaitin

Comprendre c'est comprimer. Les problèmes non résolus deviendront peut-être des axiomes. Des questions fondamentales resteront peut-être à tout jamais insoluble prenant à revers notre puissance de compréhension.

Document
Les irrégularités ont aussi leur modèle par Ian Stewart

Les travaux qui avaient valu un prix à Poincaré comportaient une grave erreur. Loin d'avoir découvert le chaos, comme on l'avait supposé, il avait prétendu prouver que celui-ci ne pouvait se produire. Voir page 34

APPLICATIONS

Le génome, moteur de la bio-informatique par François Rechenmann

Il s'agit de démarches de résolutions de problèmes qui ne garantissent pas l'obtention d'une solution, ni son optimalité, mais qui ont l'avantage d'être plus rapides.

La formule qui permet de naviguer sur les canaux par Jean-Michel Coron, Brigitte d'Andréa-Novel et Georges Bastin

Cette méthode d'analyse et de conception du contrôle des voies navigables a été utilisée notamment pour le réglage des vannes de la Sambre.

Les ordinateurs apprennent à lire par Olivier Baret

D'une façon générale les chèques difficiles à lire pour les ordinateurs le sont aussi pour une personne.

Résoudre des équations pour repérer les avions par Daniel Bouche

La seule solution pour résoudre les cas les plus complexes est de faire appel à l'ordinateur.

Le juste prix des options boursières par Yves Derriennic

Un dollar placé en 1926 en bons américains du Trésor aurait rapporté à son détenteur la somme de 12 $ en 1994. Le mêm investissement en actions, fondé sur l'indice S&P 500, aurait produit 811 $.

LES MATHÉMATIQUES DU XXIe SIÈCLE VUES PAR

Ingrid Daubechies
« Des problèmes issus de l'informatique théorique »

Cette interaction continuelle entre mathématiques et informatique théorique est passionante.

Guy Métivier
« Établir des théories pour la biologie »

Les mathématiques du vivant restent à inventer.

Pierre Cartier
« L'aube d'une révolution collaborative »

Nous sommes dans une phase de transition du même ordre que celle de l'invention de l'imprimerie ou de l'écriture.

Jean-Christophe Yoccoz
« Maîtriser des techniques toujours plus nombreuses »

De même qu'en musique, il faut faire des gammes pour acquérir une maîtrise suffisante qui permette d'oublier la technique et attaquer des morceaux intéressants, il est nécessaire de maîtriser les techniques mathématiques pour aborder les mathématiques intéressantes.

Cédric Villani
« La physique : un moteur des mathématiques »

Personne ne sait expliquer pourquoi l'eau bout quand on la chauffe.