La question mérite d'être posée et c'est Didier Nordon qui y répond. Vous pouvez assister à la conférence filmée ( Quicktime) en cliquant ICI

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La page de l'IREM de Rennes est ICI

Je suis d'une nature curieuse et j'ai voulu lire les articles composant le premier numéro de "Repères", le bulletin de l'IREM ( Institut de Recherche sur l'Enseignement des mMathématiques ). Ce premier numéro est paru en 1991 et je ne fut pas surpris d'y trouver un article sur la démonstration, un sur les nouveaux programmes de 6ème, un sur les géométries non euclidiennes et un sur la résolution de problèmes de second cycle, mais l'article qui attira mon attention fut le dernier de la revue. Il a été écrit pas Rudolf Bkouche qui l'intitula " Pourquoi enseigner la géométrie? ". Je ne vais pas en faire un résumé ici, mais je l'ai trouvé très intéressant. Cela me donna l'idée de faire une recherche sur Rudolf Bkouche et j'ai trouvé une page comportant de nombreux textes ICI

L'extrait suivant est tiré d'un texte de cette page " De la transposition didactique " que j'ai aussi trouvé très intéressant ( pp 22-23 ).

Premier paradoxe, la dévolution du problème.

En fait la dévolution repose sur un implicite, une forme de constructivisme qui laisse entendre que c'est à l'élève de construire son propre savoir, le rôle du professeur étant de créer la situation pour que l'élève puisse mener à bien cette construction. Déjà une première contradiction apparaît, le savoir créé par l'élève doit correspondre au savoir que l'on veut lui enseigner, il s'agit donc d'un constructivisme orienté. Il y a ici une mécompréhension de l'enseignement si l'on considère que le problème de l'enseignement est moins d'amener l'élève à construire du savoir que de lui donner les moyens d'acquérir du savoir, c'est-à-dire de faire sien un savoir qui lui est a priori extérieur; il est vrai que, posé de cette façon, l'acte d'enseignement apparaît impossible; mais cet impossible repose sur le pré-supposé constructiviste qui déclare que tout vient du sujet (mauvaise lecture de Kant pourrait-on dire) ou que le sujet et l'objet ne font qu'un (mauvaise lecture de la phénoménologie). Le constructivisme didacticien n'est alors qu'une façon de réduire le rapport au savoir à de simples jeux d'interaction, autrement dit d'éviter de le penser. Mais peut-être faut-il ici revenir sur la polémique Piaget-Chomsky qui oppose il est vrai deux dogmatismes, celui du constructivisme et celui de l'innéisme, mais le plus ouvert reste celui de Chomsky dans la mesure où il marque une confiance dans la possibilité, pour celui qui apprend, de construire à partir de l'acquis. Il y a ici deux conceptions opposées, celle du constructivisme pour qui tout savoir est construit par le sujet et celle des qualités innées (qu'il faudrait alors situer dans l'identité biologique de l'homme) qui permet à tout individu d'acquérir un savoir extérieur et de le faire sien. Le paradoxe du constructivisme est que le savoir à construire n'est pas défini par le seul individu qui apprend, il se situe dans un contexte social qui exige que celui qui apprend construise le savoir qu'on lui demande de construire; ce qui suppose le "coup de pouce" à la dévolution du problème que Brousseau présente comme un paradoxe, et il est vrai que c'en est un du point de vue constructiviste; à moins de reconnaître que la dévolution n'est autre qu'une manipulation qui doit conduire l'élève à faire ce que l'on attend qu'il fasse, la manipulation reposant sur l'illusion de l'autonomie. On comprend que dans ces conditions le professeur se sente malheureux, malheureux de ne pas laisser sa pleine liberté à l'élève dans la construction de son savoir, mais malheureux aussi lorsque, laissant toute liberté à l'élève, le contrat didactique n'est pas rempli. Dans ces conditions la didactique, poussée à ses limites, nous apprend que l'acte d'enseignement est impossible.

Deuxième paradoxe, celui des situations.

Si le savoir savant, le "vrai" savoir, est le dernier état du savoir comme on l'a vu à propos de l'étude de Marie-Jeanne Perrin sur les aires, alors tout discours qui n'est pas celui du savoir savant est un discours faux. Mais le discours du savoir savant n'est pas transparent et ne peut être compris tel quel par l'élève, il doit donc être adapté pour être compris, adaptation qui le modifie et le transforme en un savoir qui devient "non seulement approximatif, mais aussi en partie faux et inadéquat.". Le professeur doit alors choisir "entre enseigner un savoir formel et dénué de sens ou enseigner un savoir plus ou moins faux qu'il faudra rectifier." Situation paradoxale qui conduit à choisir entre le vrai et le compréhensible. Ici encore l'analyse didacticienne conduit à l'impossibilité de l'enseignement.

On pourra lire aussi " De la fin de l'enseignement " qui aborde la pédagogie du vide et le sujet des TPE.

Le Palais de la Découverte de Paris nous propose plusieurs points d'accès aux mathématiques.

Le premier se fait au travers  des formes mathématiques ICI et en ce moment de la présentation de la courbe du jour et de plus de 150 courbes algébriques transcendantes ou ornementales. Il est possible d'imprimer une fiche en format PDF de chacune d'entre elles avec un brève explication : ICI

On y trouvera aussi :

Montre-moi des théorèmes
Les origines des mathématiques se perdent dans la nuit des temps : architectes, commerçants, ou autres corporations, ont découvert très tôt, chacun dans ses domaines, des résultats mathématiques, des techniques, des recettes qu’ils se transmettaient oralement.
6 animations du théorème de Pythagore : ICI


Somme des angles d’un triangle sphérique
Nous avons tous appris, dès le plus jeune âge, que la somme des angles d'un triangle ... vaut 180°. Oui mais les astronomes et les navigateurs savent depuis longtemps que leurs droites sont souvent tracées sur une sphère ; un triangle sur la sphère s'obtient par intersections deux à deux de trois grands cercles, qui jouent sur la sphère le rôle que jouent les droites sur le plan. Quelle est alors la somme des angles d'un triangle ?

Planter des choux…

Le deuxième point d'entrée est celui des Nombres ICI.

On y trouvera :

Autour du nombre pi
La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation, due à William Jones, en 1706, bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre. La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants. π n'a-t-il qu'un nombre fini de décimales ? En a-t-il une infinité ? 

Les palindromes.
Un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche : RADAR, LAVAL Ce peut être aussi une phrase, mais alors on ne tient pas compte de ...

Dans l'histoire des nombres, il est quelquefois difficile de faire la différence entre un zéro linguistique, indiquant une absence ou un vide, ou un zéro ayant statut de nombre. En 458, un texte en sanscrit traitant de cosmologie, le Lokavibhaga, est la plus ancienne attestation connue de l'emploi du zéro, qu'on écrit "vide" (en sanscrit !) pour indiquer une unité manquante. Le premier zéro sous la forme d'un rond semble être apparu en 605 dans ce qui est actuellement le Cambodge... mais si cette région était sous tutelle chinoise à l'époque, elle pratiquait de nombreux échanges avec l'lnde: chacun y retrouvera ses petits ! Dans "Le calcul indien'' cité plus haut, Khwarizmi écrit à peu près: ''pour que la position ne soit pas vide, on écrit un petit cercle en forme de O n'ayant aucune signification". Vers 850, Mahavira définit enfin le zéro comme Ia somme de deux nombres opposés. On connaît la suite.

Le fichier PDF de Michel Soutif qui précise les connaissances sur l'apparition du zéro dans " La numération décimale de position " ICI

La page dont est extraite le texte ci-dessus : ICI

L'histoire ( rapide ) des zéros : ICI et ICI