Inclassables Mathématiques 2.0

L'idée m'est venue de publier une série de notes en utilisant comme base, les hexagrammes du Yi-king.

Le Yi-King ou Yi-Jing est basé sur un postulat que même ses plus fervents détracteurs ne pourront réfuter, à savoir que le changement est paradoxalement la seule chose permanente dans notre univers.

Je vais vous expliquer en quelques mots l'histoire et le principe de ce livre philosophique chinois dit « Livre des mutations ou des changements » dont les racines remonteraient à plus de 4000 ans avant Jésus-Christ d'après la tradition élaborée par les Han de 206 av. JC à 220 ap J.C ( historiquement un millénaire ). Les hexagrammes furent originellement utilisés par les devins chinois qui employèrent des os, des carapaces de tortue et par la suite de l'achillée à des fins divinatoires interprétant les figures selon la philosophie du Yi-king. La symbolique du Yi-king se réfère principalement au premier système structurant de la chine: il était féodal et rural. Pour ma part, je ne considérerai que la portée philosophique de ce livre déroutant, laissant de coté toute autre interprétation possible.

Le Yi-king est le fruit d'une recherche spéculative et cosmogonique élaborée, dont les articulations ont informé durablement la pensée chinoise. Sa structure mathématique a impressionné Leibniz, qui y aurait vu la première formulation de l'arithmétique binaire.

Il me semble important de vous résumer les bases de ce livre de près de 900 pages où le texte ancien est clairement dissocié des commentaires traditionnels qui le suivent. Tout naît du Yin et du Yang, du souple et du ferme matérialisés par un trait discontinu pour le premier et d'un trait continu pour le second avec la possibilité, que l'un vieillissant, peut se transformer en l'autre.

L'idée de les coupler est immédiate, deux traits discontinus l'un au dessus de l'autre forment un vieux Yin ( très ou trop souple ) et deux traits pleins forment un vieux Yang ( très ou trop rigide ). Mais quelle interprétation peut-on faire d'un trait plein et d'un trait discontinu ensemble? L'idée de jeunesse dynamique semble pertinente, mais alors qui donne le sens de cette union?

C'est celui qui est au dessous de l'autre, car il naît à la vie du bas vers le haut, telle une germination. Un trait Yin sous un Yang sera un jeune Yin, un peu trop jeune pour être sage mais plein de vitalité et il en sera de même pour la configuration inverse qui donnera un jeune Yang. C'est donc la place du dessous qui sera la place maîtresse.

L'idée d'empiler ces couples de deux traits l'un sur l'autre est aussi naturelle, le couple du dessous représenterait la terre, au milieu les traits seraient ceux de l'homme et au dessus il y aurait le ciel. Ceci constitue un hexagramme de 6 traits brisés ou non, empilés les uns sur les autres. Les plus matheux d'entre vous remarqueront qu'il y a 2 possibilités pour chacun des traits et donc 2x2x2x2x2x2=64 hexagrammes possibles ( et non 2+2+2+2+2+2 !). Les rapports entre les traits construiront le sens interne de l'hexagramme. La possibilité qu'ils ont de chacun se transformer en leur opposé donnera une dynamique externe. Cependant, l'interprétation de 3 couples de 2 traits pouvant chacun prendre 4 interprétations semblait trop pauvre, en effet que faire avec nos vieux ou jeunes yin ou yang, quel sens précis leur donner, quel sens philosophique pouvait en ressortir? Il aurait certainement été possible d'interpréter l'empilement avec ses trois couples comme éléments premiers mais une idée plus fine est apparue dans la tête de nos vieux sages chinois: et si l'on regroupait ces traits par 3 et non par 2, le sens en serait immédiat et l'hexagramme se transformerait en 2 trigrammes. Tentons l'expérience.

Trois traits pleins très durs, lumineux et rigides représenteraient le Ciel avec toute la puissance qu'on peut accorder à ce terme.

Trois traits discontinus très mous, soumis, représenteraient la Terre nourricière.

1 trait plein sous 2 traits discontinus représenteraient le Tonnerre qui jaillit, l'énergie qui naît, l'impulsion et le déclenchement.

1 trait discontinu sous deux traits pleins seraient le Vent qui pénètre tout, même ce qui est dur, le souple qui va dans le rigide, ce pourrait être aussi le Bois, par exemple celui des racines qui parviennent à venir à bout de toute construction avec le temps.

1 trait plein au milieu de deux traits discontinus matérialisent la lumière précipitée au milieu de l'obscurité. Cet hexagramme souple à l'extérieur possède aussi une force intérieure, un feu interne. Symbole de danger , d'abîme, cette énergie peut aussi s'avérer vitale. Cet hexagramme sera associé à l'Eau et à la symbolique qu'on lui connaît.

1 trait discontinu au milieu de 2 traits pleins représenteront le Feu, symbole de la séparation de ce qui était rigidement lié et de l'intelligence qui se diffuse, tout comme la souplesse de la flamme se nourrit de son combustible extérieur.Le feu se nourrit de son combustible.

1 trait plein au dessus de deux traits discontinus seront la Montagne, immuable, inébranlable. La lumière et la force en haut domine de sa majesté toute la vallée douce.

1 trait souple au dessus de 2 traits pleins seront le calme du Lac, ou des nuages. Un endroit paisible où la douceur passe au dessus de la rigidité.

L'interprétation de ces trigrammes peut se faire de façon anthropomorphique, chacun d'entre eux pouvant s'interpréter comme des qualités ou des défauts, devenir de pâles traits de caractères de l'homme ordinaire ou au contraire des qualités parfaites de l'homme noble. Il peuvent aussi être associés à des membres de la famille, le père la mère et les enfants dont la présence minoritaire d'un trait détermine le sexe de ce membre de la fratrie. Ce peut être aussi des directions, très importantes à l'époque considérée ( invasions, intempéries...). Ils possèdent des dynamiques propres, le Ciel monte et la Terre descend, l'Eau descend et le Vent monte et pénètre, la Montagne immobilise, le Tonnerre et le Feu montent.

Dans un hexagramme, chaque place peut s'interpréter de façon particulière et avoir un lien privilégié avec une autre place. Si l'on numérote les places de bas en haut et de 1 à 6, le premier trait (celui du bas), est faible donc Yang,c'est par lui que tout commence. Au dessus de lui, la place Yin est celle du haut fonctionnaire, il possède un peu d'autonomie mais pas d'indépendance. Le 3ème trait termine le premier trigramme mais voit au dessus de lui le trigramme supérieur entier ce qui rend sa position délicate. Le 4 ème trait, le premier du 2ème trigramme est celui du ministre et c'est le 5ème trait qui possède la position du souverain, 5ème trait qui gouverne l'hexagramme, sa place devant être Yang car c'est ici que se prennent les décisions et que la force doit être concentrée. Le 6ème trait un peu trop au dessus des choses de ce monde, est celle du sage ou de l'insensé, du visionnaire ou de celui qui arrive trop tard, lorsque tout est consommé. Les relations entre les traits sont donc codifiées et il est possible que certains soient isolés ou au contraire en harmonie suivant leur place et le fait qu'ils soient Yin ou Yang.

Il faut faire attention à une interprétation trop rapide des hexagrammes que je vais illustrer par deux exemples: considérons l'hexagramme où tous les traits seraient à leur place, le premier Yin puis la seconde Yang, on voit en poursuivant ainsi que l'eau est sous le feu, feu qui monte et eau qui descend... Pas très bon tout cela! Et pourtant tous les traits sont à leur place, alors quel est le problème ? Et bien le problème c'est justement ça, car la roue tourne et le fait que les choses soient à leur place demande la plus grande vigilance, car il n'y a que très peu de raisons que la situation dure bien longtemps, nous sommes donc Après l'Accomplissement, il est déjà bien tard. Une situation qui paraissait parfaite statiquement devient, lorsqu'on l'interprète à la lumière des changements, bien inconfortable.

Un deuxième exemple permet aussi d'illustrer une situation du même type. Considérons l'hexagramme constitué de 3 traits discontinus au dessous de 3 traits continus, soit le Ciel au dessus de la Terre. Quel paysage de rêve pourrait-on penser! Pas si sûr car la Terre descend et le Ciel monte, cet hexagramme n'augure pas une situation très favorable, il est d'ailleurs associé au déclin, à la décadence, à l'obstruction alors que l'hexagramme symétrique du premier où la Terre est au dessus du Ciel, traduisant ainsi une volonté d'entraide et de rapprochement. Il n'est pas du tout associé à un monde renversé, la tête en bas, mais bien au contraire à la prospérité, à la tranquillité.

C'est donc autour de cet univers  du Yi-king que j'ai décidé de produire 64 textes s'appuyant sur les messsages des hexagrammes, qui refléteront ma passion pour les mathématiques et les sciences en général,  mon esprit plongé dans notre monde actuel, emporté avec les différents flux de tous ordres qui nous assaillent, par le tourbillon de la vie et de ses changements inéluctables. Il est intéressant de mettre en parallèle une Philosophie du Changement et la Science immuable et définitive qu'est La Mathématique. Je ne sais pas si cette idée sera menée à son terme, si elle est bonne et si j'aurai le courage d'écrire autant de textes. J'essayerai toujours de maintenir cet équilibre de l'ouverture maximale et du souci de la rigueur qui m'ont animés jusqu'à maintenant pour alimenter ce blog.

J'espère que l'idée vous séduira, en tout cas, en ce qui me concerne elle m'intéresse. Le choix des hexagrammes est entièrement aléatoire et est généré par la séquence Int ( 64*Ran#+1) de ma calculatrice. Le premier numéro qui est tombé est le 62, il correspond dans le classement arbitraire des hexagrammes au Tonnerre sur la Montagne, c'est à dire au Petit en excès, à l'Accouchement du petit. Si le sujet vous intéresse, je vous envoie sur l'adresse suivante pour vous permettre de vous habituer un peu à cette philosophie ICI et sur Wikipédia ICI, en attendant la note que je vais commencer à écrire. J'espère qu'elle sera prête pour Noël. N'hésitez pas à me laisser votre avis sur cette idée farfelue ou intéressante.

La traduction de Philastre téléchargeable en cliquant sur le livre:

Leibniz et le Yi-king ( Minces Extraits de Leibniz et la Chine d'Olivier Roy) : ICI

Explication de l'arithmétique binaire,

Peinture Muriel Bonneville : ICI

Dans l'histoire des nombres, il est quelquefois difficile de faire la différence entre un zéro linguistique, indiquant une absence ou un vide, ou un zéro ayant statut de nombre. En 458, un texte en sanscrit traitant de cosmologie, le Lokavibhaga, est la plus ancienne attestation connue de l'emploi du zéro, qu'on écrit "vide" (en sanscrit !) pour indiquer une unité manquante. Le premier zéro sous la forme d'un rond semble être apparu en 605 dans ce qui est actuellement le Cambodge... mais si cette région était sous tutelle chinoise à l'époque, elle pratiquait de nombreux échanges avec l'lnde: chacun y retrouvera ses petits ! Dans "Le calcul indien'' cité plus haut, Khwarizmi écrit à peu près: ''pour que la position ne soit pas vide, on écrit un petit cercle en forme de O n'ayant aucune signification". Vers 850, Mahavira définit enfin le zéro comme Ia somme de deux nombres opposés. On connaît la suite.

Le fichier PDF de Michel Soutif qui précise les connaissances sur l'apparition du zéro dans " La numération décimale de position " ICI

La page dont est extraite le texte ci-dessus : ICI

L'histoire ( rapide ) des zéros : ICI et ICI

Lorsque l'on est mathématicien, informaticien ou ingénieur, la base binaire ou hexadécimale ne comporte aucun secret. Cependant lorsque l'on a fait une terminale L, que l'on est étudiant(e) en sciences du langage et que l'on a choisi l'option maths, calculer en base 4 n'a rien d'évident comme de se rappeler du cours de primaire sur la numération de position.

Depuis bien longtemps, on n'a plus besoin du concept de base pour comprendre 2 345 et pour faire une addition simple. Du moins on a oublié ce qu'était la base de la base 10 et la numération positionnelle.


Retour sur la base 10

Nous écrirons les nombres avec des séparateurs et nous les lirons dorénavant en commençant par la droite contrairement à ce que nous faisons usuellement.

2345 devient 2.3.4.5 et on lit le 5 puis le 4 puis le 3 puis le 2

La première place ( à gauche ) est celle des unités, ici c'est 5

Pour écrire des unités en base 10 il nous faut 10 caractères ( ce sont nos chiffres ):

        - Le premier pour indiquer qu'il n'y a pas d'unité, nous choisirons le caractère 0
        - puis 9 autres caractères pour comptabiliser, nous choisirons 1,2,3,4,5,6,7,8,9

En base 10, la deuxième place, ici occupée par 4 est celle des "10"aines, 10 est justement lié à la base dans laquelle on compte.

En se décalant encore vers la gauche d'un cran, la troisième place occupée par 3 est celle des "10x10" aines, donc des centaines.

On se décale encore vers la gauche, la dernière place ( ici) occupée par un 2 est celle des "10x10x10"aines que l'on appelle les milliers.

Ainsi par reconstruction additive de ce nombre, il correspond exactement à 3 unités + 4 dizaines + 3 centaines + 2 milliers !

Vous avez sans doute remarqué que les mêmes caractères sont utilisés pour la comptabilité des dizaines, des centaines et des milliers et que l'on peut poursuivre ces raisonnements pour des nombres contenant plus de chiffres et donc s'augmentant vers la gauche suivant le même principe.


        L'addition en base 10.

      C'est très simple lorsque l'on est à 9 unités et que l'on veut en ajouter 1 supplémentaire:

     - d'une part je n'ai plus de caractère à ma disposition pour indiquer 10 unités à la place des unités
     - d'autre part j'ai un moyen très simple de le faire en indiquant que :

       9 unités + 1 unité = 1.0  qui se lit " zéro unité + une "10"aine"

     C'est le principe "élémentaire" de la retenue, principe qui peut se reproduire sur les "10"aines, les "10x10" aines,   etc

L'exemple de la base 4

Nous allons reprendre les mêmes raisonnements:


Combien faut-il de caractères pour écrire un nombre en base 4 ?

Par analogie avec la base 10, il en faut 4: le 0 pour indiquer l'absence et 3 autres caractères 1,2,3.

Considérons le nombre 321 que l'on écrit 3.2.1 et qu'on lit à partir de la droite

Le 1 est à la place des unités
Le 2 est la place des "4"aines, 4 est lié à la base, nous sommes en base 4 !
Le 3 est à la place des "4x4"aines soit des "16"aines

Par reconstruction additive, on obtient la valeur de ce nombre dans notre bonne vieille base 10

3.2.1 en base 4 est égale à 1 unité + 2 "4"aines + 3 "16"aines soit 1+8+48= 57 en base 10


        Et l'addition en base 4 ?

        On utilise le même principe de retenue qu'en base 10, sauf qu'en base 4, le dernier caractère  permettant la comptabilité est 3, ainsi:

         3+1 = 1.0
         3+2 = 1.1
         3+3 = 1.2
         3+ 1.0 = 1.3
         3 +1.1 = 2.0 etc


Un autre exemple, celui de la base 12

Toujours par analogie avec la base 10, il faut 12caractères, le 0 pour l'absence, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mais il manque 2 caractères, on ne peut pas utiliser 10 et 11 car il sont formés de plusd'un caractère et on perdrait le coté " positionnel " de notre numération.

Par exemple 101 pourrait se lire 1.0.1 ou 10.1 !

Nous allons donc utiliser les lettres de l'alphabet: le A correspondra au 10 et B au 11.

Ainsi le nombre 1.A.B correspondra à B ( 11 en fait ) unités + A ( 10 en fait ) "12"aines + 1 "12x12"aine soit 11+120+144 = 275 en base 10

        Et l'addition ?
        En base 12 : B+1= 1.0   !


Et pour vous aider dans votre travail, un petit convertisseur bien sympathique ( utiliser impérativement le pavé numérique ) : ICI


Vous pouvez par exemple, essayer de convertir un nombre donné en base 10 vers une base quelconque !

Par exemple convertir 121 en base 12 puis en base 5 puis en base 2 !

C'est à vous et on ne copie pas...

C'est ce sacré..... et non !

Au programme proverbes et inversions dures comme de la pierre : ICI et pour une présentation générale de l'école, c'est ICI . Il reste peut-être encore quelques places, qui sait ?

Je lisais un article de "La recherche" publié en février 1983 concernant les calculs de primalité ( un nombre est-il premier ou non ? ) lorsque je suis tombé sur une petite remarque ( entre parenthèses ) que je voulais vous faire partager. Elle semble tellement naturelle à l'auteur J.L. Nicolas, que l'on a bien du mal à concevoir la situation scolaire 20 ans plus tard à la lumière de cette évidence rappelée au lecteur.

C'est au milieu de l'extrait : la_recherche_fevrier_1983.bmp

Le zéro posa beaucoup de difficultés à l'humanité. Les égyptiens ne le connaissaient pas, les romains non plus. Les babyloniens utilisèrent un symbole  ( deux clous inclinés ) permettant de différencier 16 de 106 autrement qu'en écartant les  chiffres 1 et 6  ce qui indiquait dans le deuxième cas que la place des dizaines était vacante et qu'il fallait lire 106 et non 16 ( leur système était sexagésimal : base 60 => 3600,60,1 ainsi (106) = 1x3600+0x60+6x1=3636 en numération décimale) . Le zéro de position était né mais pas notre zéro ( celui de la tête à toto ). Les grecs en avaient tellement peur qu'ils en nièrent l'existence de peur de faire effondrer leur conception théologico-mathématico-philosophique. Admettre son existence c'est admettre l'existence du vide, du néant, et cela ne pouvait être compatible avec leur construction géométrique de l'univers et son harmonie. Son absence mis la pagaille jusque dans le calendrier. Souvenons-nous du vrai faux passage au 3ème millénaire en 2000 qui aurait du être fété en 2001 puisque l'année 0 n'est pas comptée ! Regardez où est notre pauvre 0 sur un clavier téléphonique , sur un pavé numérique, seul ou après le 9, jamais dans la suite 0, 1, 2,... mais heureusement il y eu les Mayas qui eurent un peu moins peur que tous les occidentaux réunis et ne freinèrent pas l'idée du 0 jusqu'au XVI ème siècle où la conception aristotélicienne du monde ( sans vide ) commença à sérieusement à s'effriter. Les Mayas  possédaient deux systèmes de numération, l'un fondé sur des points, des traits et sûrement des coquillages et l'autre, plus exotique et moins courante, basé sur des glyphes céphalomorphiques qu'ils écrivaient verticalement.

Les Mayas se préoccupaient beaucoup de la comptabilité des jours et des mois, ils connaissaient la numération de position et inventèrent le zéro. Ils  créèrent un système complexe de repérage temporel combinant le calendrier solaire et un calendrier rituel.  Chacun des glyphes numéroté de 1 à 13 était associé à une tête de divinité du monde supérieur. Par exemple le 5 était associé au dieu-Maïs, le 10 au dieu de la Mort ( on remarquera que sa machoire inférieure est rapportée ). Les glyphes numérotés de 14 à 19 ont été forgés à partir des glyphes 4 à 9 en décharnant leur machoire inférieure, l'opération constituait une règle arithmétique élémentaire puisque le dieu de la Mort ( 10) était symbolisé par un maxillaire inférieur.
Le dieu Zéro s'approche mais éloignons-nous un peu de lui auparavant.
En 1988, les fouilles entreprises à Teotihuacan à proximité de la pyramide de Quetzalcoalt ont mis à jour un grand nombre de tombes ainsi que les restes de 260 victimes sacrificiées lors de l'inauguration du monument dédié au serpent à plumes ( 150-200) assorties d'offrandes dont de nombreux maxillaires  supérieurs et des mandibules humains. Ces pratiques relevaient de la réactualisation d'anciens mythes. Xolotl est un dieu peint en noir et sur son pectoral figure un maxillaire inférieur humain décharné. Il représente la face nocturne de Quetzacoalt, son frère jumeau, sa personnalité chtonienne. C'est un être larvaire. Il avait la capacité de se dédoubler ce qui rendit son anéantissement difficile mais dès qu'il fut tué sous sa forme larvaire, le soleil se mit en mouvement. Un autre mythe le met en scène à  chaque coucher du soleil où se rejoue la bataille des dieux : Quetzalcoalt livre bataille contre les forces des ténèbres dans un jeu de balles divin ayant lieu à minuit. Les quatres protagonistes sont Quetzalcoalt le Dieu de l'aurore, le lune comme déesse mère, Xolotl comme dieu crépusculaire et le soleil comme victime sacrificielle. Xolotl gagne contre Quetzalcoalt et sacrifie le soleil, Quetzalcoalt s'unit à la déesse mère et de leur union nait chaque matin un nouveau soleil resplendissant : le dieu du maïs. C'est dans cet endroit maudit que les Jumeaux combattent éternellement pour que revive la lumière. Un des habitants de cet enfer symbolisait la mort par sacrifice : le dieu du chiffre zéro, il fut associé à un glyphe. Pour les mayas, la façon de transcrire les chiffres se fait verticalement, les plus grandes unités en haut, les plus petites en bas. Le zéro signifiait la fin, l'achèvement dont la main à la place de la machoire en témoigne. De par ses attributs, il s'impose comme le dieu de la mort sacrificielle qui patrone une forme de sacrifice particulièrement violent : l'arrachage de la machoire inférieure dont la main appliquée sur le glyphe semble ébaucher ce geste. On ne connait pas précisément l'origine de cette forme terrible de meurtre rituel mais il semblerait que l'arrachage de la mandibule inférieure résulte d'un mythe fondateur. 


Le fait que les mayas ne passèrent pas le cap de zéro algébrique fût du au fait que leur système de numération n'était pas tout à fait vigésimal c'est à dire en base vingt. En effet alors que l'on aurait dû trouver une écriture de nombres de trois chiffres sur la base 1, 20 et 20x20=400 : (111) = 1x400+1x20+1x1=421, leur système faisait intervenir la base 1, 20,  360  c'est à dire que (111) = 1x360+1x20+1x1=400, ce qui fit que 400 s'écrivait (120) et non (100) ôtant toute propriété algébrique au 0 !

Pour compléter : les Ecritures mayas du Nombre ( PDF ) : ICI

Pour en savoir plus :

Histoire universelle des chiffres Georges Ifrah

Zéro la biographie d'une idée dangeureuse Charles Seife

Revue de l'histoire des religions Les compagnons de l'enfer Jean-Claude Delhalle et Albert Luykx

Cliquer sur l'image pour accéder au musée de Cleveland

On reconnait sur la tête sculptée de ce jeune noble -?- , la main qui remplace la machoire inférieure.
                                 

Depuis leur découverte, ces ossements, conservés à l'Institut royal des sciences naturelles de Belgique, où seul le premier était jusqu'ici exposé, le second dormant dans les collections du musée, excitent la curiosité - et l'imagination - des archéologues et des préhistoriens. Car ils pourraient constituer le plus ancien témoignage des capacités mathématiques de l'humanité, quinze millénaires avant l'apparition de la numération, en même temps que de l'écriture, chez les Mésopotamiens (Irak actuel).

L'article du Monde : ICI

Sur le site de l'Institut Royal des Sciences naturelles : ICI

Préhistoire de la géométrie, le problème des sources, l'article d'Olivier Keller : ICI

L'os d'Ishango, l'objet mathématique le plus ancien, l'article de Dirk Huilebrouk ( PDF ) : ICI

L'article de Techno-Sciences : ICI

L'article du Portail de Bruxelles : ICI