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paradoxe

  • L'erreur de Martin Gardner ou l'importance de définir le protocole en probabilités

    Martin Gardner est décédé en mai dernier et laisse derrière lui un nombre considérable de publications, principalement dans le domaine des jeux mathématiques. Il publia pour la première fois le problème des deux enfants dans les colonnes du Scientific American en 1959. Il le republia plus tard dans  The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. La première réponse que donna Martin Gardner était eronnée ou plutôt incomplète. Il rectifia sa réponse dans une autre  édition mais c'est la solution erronée qui est restée plus populaire que la correction. De plus, en 2010, une variante du problème des deux enfants, celle de l'enfant-mardi est apparue et est devenue un sujet "viral" dont la solution proposée présente le même défaut.

    On peut certainement faire l'analogie de ce problème avec le paradoxe de Bertrand que j'avais abordé dans un billet précédent.

     Martin_Gardner.jpeg

    Le problème des deux enfants

    Il s'énonce comme suit:

    Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What
    is the probability that both children are boys?


    Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is
    the probability that both children are girls?

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  • Perdant+Perdant = Gagnant ou le paradoxe de Parrondo

    Imaginons une crémaillère presque verticale qui descend à vitesse régulière. Une bille est posée dessus. On appellera échec lorsque la bille arrive par exemple au sol et succès si elle arrive au plafond. Avec cette seule crémaillère la bille va descendre inexorablement vers le sol. la crémaillère descendante est donc un jeu perdant pour la bille.

    Posons maintenant la bille sur une autre crémaillère qui globalement descend, mais fait des mouvements alternés de descente et de montée. Ce jeu est aussi perdant pour la bille qui descendra, comme dans le cas précédent, jusqu'au sol.

    Supposons maintenant un système de couplage et de synchronisation des deux crémaillères, dans lequel la bille pourrait passer de l'une à l'autre. Parrondo a montré qu'il était possible sous certaines conditions de synchronisation de faire monter la bille jusqu'au plafond.

    C'est ce que nous montre l'animation suivante décrivant en premier lieu les systèmes seuls, puis leur couplage.

     

     

    Le paradoxe de Parrondo est utilisé en théorie des jeux, et ses applications en ingénierie, dynamique des populations, risques financiers font aussi l'objet de recherches. La plupart des chercheurs décrivent son utilité sur les marchés financiers comme la théorie le spécifie les 2 jeux A et B doivent être conçus pour copier un cliquet, ce qui signifie qu'ils doivent être en interaction.

    Applets et article sur Cut the Knot

  • Des p'tits problèmes de coloriage ?

    a003-099.gifLes mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

    Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

     

    Je t'ai apporte des crayons

     

    Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

    D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

    Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

    Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

     

    My son's color pencils

     

    Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

    L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

    m4-18.jpgBertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

    Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

    Explication :

    • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
    • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

     

    Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

    Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

    Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

     

    Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

     

    Pour compléter sur l'axiome du choix :

    Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne

     

     

     

  • Les mathématiques et la bureaucratie ou le formalisme dans les mathématiques.

    Aurait-on pu confier le théorème de Fermat à un groupe d'Enarques qui nous auraient fait des directives, des super-directives ? Y seraient-ils arrivés en 300 ans? C'est impossible, il faut des idées!

    Jean-Yves Girard (au sujet du formalisme en mathématiques - 19.45)

    Une excellente conférence pleine d'humour.

     

     

  • Le paradoxe de Monty Hall

    Qu'est-ce que le problème de Monty Hall ? Il est issu d'un jeu télévisé.

     

    Il y a trois cartes devant vous face cachée. L'une des trois est gagnate et vous devez la trouver.

    Vous en choisissez une des trois sans la regarder.

    Quelqu'un qui connait les cartes, en retourne, une des deux que vous n'avez pas choisie et qui est perdante.

    Que devez vous faire? Retourner la carte que vous avez chosie initialement ou retourner l'autre ?

    Les probabilités sont formelles, vous devez impérativement changer votre choix pour augmenter vos chances de gagner.

    Essayez par vous même:

     

    monty hall.jpg