Inclassables Mathématiques 2.0

En maths, on utilise un mot assez mystérieux, qui l'est pour les non-matheux mais surtout pour les matheux, il s'agit du mot "conjecture".

La conjecture, c'est la chose que le matheux sent vraie mais qu'il n'arrive pas à démontrer, soit parce que c'est très difficile et qu'il existe très peu (ou pas) de mathématiciens ayant le niveau pour faire la démonstration, soit parce qu'il n'y a tout simplement pas de démonstration, soit parce que les maths ne sont pas encore assez évoluées pour la faire.

La conjecture est d'autant plus sympa qu'elle s'énonce facilement et qu'elle résiste à l'assaut des mathématiciens.

En voilà une petite (enfin c'est un point de vue personnel).

Prenons les nombres entiers suivants :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 49, 51, 67, 72, 76, 77, 81, 86.

Calculons les puissances de 2 de ces nombres :

2¹=2

2²=2x2=4

2³=2x2x2=8

2⁴=2x2x2x2=16

…

2³⁴=2x2x2x2x…x2=17179869184

…

2⁸⁶=77371252455336267181195264

Anne, ma soeur Anne, ne vois-tu rien venir?

Ben si justement, regarde:

2⁸⁷=154742504910672534362390528

C'est ça la conjecture!

86 est semble être le plus grand entier dont l'écriture décimale de sa puissance de 2  ne contient aucun 0. [A007377].

Dialogue entre un Solognot et un Orléanais:

Pôrce que les matheux y zon bien assayé de calculer les puissances de 2 de 87 jusqu'ô 47 000 000 et y zon  toujours trouvé des 0 adedans.

Certes, nous pourrions continuer ainsi plus longtemps, très cher, mais voyez-vous, la probabilité de ne pas trouver de 0 après, est comme qui dirait... minuscule : 1.764342396 ⋅10^-633620 .

Fin du dialogue.

Personnellement, j'ai bien une démonstration mais je ne voudrais pas vous ennuyer avec ça.

Billet moyen réalisé à partir de cet excellent billet.

La voie la plus simple pour répondre à la question est de dire que par définition 0 est ou n'est pas un entier naturel. En mathématiques, il est possible de poser la définition  que l'on souhaite. Celle-ci se trouve marquée dans le marbre et interdit toute négociation possible. Considérons par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels de façon axiomatique. Le premier axiome dit que 0 appartient à cet ensemble.  0 sera ensuite défini comme le plus petit élément de cet ensemble par un axiome suivant.

L'ambiguité sur la présence du zéro dans l'ensemble des entiers naturels est abordée très clairement dans l'article de Wikipédia sur le sujet:

Au début :

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre…

Au milieu :

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N₀ ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

N

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Mais au fait, pourquoi est-ce interdit de diviser par 0 ? Qu'est-ce que ça fait si on transgresse l'interdit ?

Ce serait marrant de mettre en commentaires l'adresse d'une image (sous license Créative Commons) représentant pour vous, la division par 0. Je pourrai faire un montage ensuite avec toutes les représentations.

Si vous ne connaissez pas le Yi-king, lisez cette note : ICI

Interprétation : 2 traits rigides entourés par 4 souples font penser au trigramme de l'eau où la lumière est enfermée par l'obscurité extérieure et dominante. Cet hexagramme, agrandissement du trigramme de l'eau nous incite à la prudence, celle de l'eau, symbole des plus grandes peurs et des plus grands dangers mais aussi source de vie. Les deux traits lumineux sont minoritaires et intérieurs, ils sont comme prisonniers et toute tentative de mouvement entrainerait rapidement leur perte, leur destruction. Il s'agit donc d'adopter une attitude humble en attendant que la situation évolue. Cet hexagramme représente en quelque sorte la résignation de la faiblesse devant le plus nombreux, le plus puissant, l'incapacité d'atteindre rapidement quelque levier de changement positif mais aussi une grande volonté à demeurer dans l'action,  qui par sa constance va ammener inéluctablement à ce que la situation évolue. Le Tonnerre, au dessus de la Montagne se fait entendre, il se fait voir, le tremblement de terre fait vibrer la Montagne, mais celle-ci reste immuable à notre échelle et il serait vain de croire que la force du Tonnerre et de la germination puisse avoir une quelconque influence sur la montagne. Mieux vaut poursuivre l'action modérée sans attendre une modification profonde et immédiate de la situation.  L'hexagramme 62 représente à mes yeux l'image du travail de l'ombre, de toutes ces forces qui agissent positivement et de façon souteraine en attendant que les circonstances soient plus favorables pour atteindre leur maturité et apparaître au grand jour.

Commentaire:

La première idée qui m'est venue lorsque j'ai réfléchi à cet hexagramme est celle du catalyseur, cette substance rajoutée en quantité limitée qui permet à une réaction d'avoir lieu tout en n'étant pas consommée par celle-ci. Ce catalyseur peut même servir à la cicatrisation des ailes d'avions ou des pales d'éoliennes, mais si celui-ci est trop onéreux, son usage est abandonné, le "faible" ne doit pas trop en demander. Le matériau devient ainsi comme vascularisé. L'éclairage se fait à l'intérieur de la matière, matière auparavant obscure qui est maîtrisée de l'intérieur. Les recherches sur les nanotubes sont à l'origine de ces progrès. Les mathématiques, toujours discrètes ( sans jeu de mot ! ) ne sont pas étrangères à cette meilleure compréhension, elles interviennent, via l'informatique, dans la modélisation des matériaux nano-structurés. Comme toute technologie, celle du petit, celle de l'intérieur,  doit faire preuve de modération. Elle fait peur, plus elle fait subir à l'extérieur de fortes pressions, plus celui-ci réagit. On le voit lorsqu'il s'agit d'organismes génétiquement modifiés qui véhiculent de nombreuses peurs alors que des technologies locales autour d'une tumeur cancéreuse seraient plus aptes à susciter l'adhésion collective.

Dans mon introduction, j'ai cité Leibniz dont je ne sais pas si il a vraiment été émerveillé par le Yi-King ou simplement été un peu « harcelé » par ce Père Bouvet pour confirmer, à ses yeux, le génie de ce texte millénaire par des calculs savants.

De Leibniz au calcul différentiel, il n'y a qu'un pas à franchir et il suffit de le faire avec Newton. Le calcul différentiel s'appuie justement sur une idée géniale  et lumineuse qui sait se faire oublier , attendant juste le temps qu'il faut avant de disparaître. Sa puissance est à la hauteur de sa petitesse et plus "prétencieux" serait cet infiniment petit  qu'il ne serait d'aucun usage. A cette « quantité évanescente » de supporter le calcul presque jusqu'à son terme, pour ensuite disparaître au profit de la puissance du résultat qu'il produit. C'est dans la métaphore géométrique donnée par Leibniz lui-même que peut s'entrevoir l'image de cette «quantité évanescente» : le dx est au x, ce que le point est à la droite . Cette notion d'infiniment petit, ou de très petit d'ordre supérieur me paraît tout à fait en accord avec le sujet de l'hexagramme. S'évanouir devant plus grand que soit, mais produire un résultat puissant. La rigueur de ce sacrifice n'est pas encore totale et il faudra encore des années de travail mathématique pour mettre tout cela dans une théorie solide. Cela me paraît être une bonne illustration de l'hexagramme 62.

Par analogie, l'histoire du zéro semble se rapprocher de cette interprétation. Pendant très longtemps, on indiquait une absence par un simple espace approximatif entre deux chiffres. Le zéro est apparu sous un sens nouveau en ôtant l'identique d'une quantité à elle même, il a aussi été perçu comme signe d'anéantissement total, comme signe intéressant pouvant favoriser les calculs algébriques, comme premier entier... Le zéro s'est tapis pendant des siècles dans les interstices d'une humanité à la recherche de progrès calculatoires et pouvant refuser en même temps l'idée du vide qu'il véhiculait. Zéro, quel drôle de nombre qui éclaire de sa propre nullité tous les autres plein de dangers lorsque sa puissance n'est pas maîtrisée, lorsque son sens n'est pas clairement défini comme dans le cas où l'on voudrait calculer 0 puissance 0 ou simplement diviser par 0.

Les anciens voyaient en cet hexagramme un oiseau avec les ailes ouvertes, dont le corps serait formé des deux traits pleins. Il descend nécessairement pour apporter son message car s'il monte il risquerait de se brûler les ailes. Le vol de cet oiseau me fait penser à la conjecture de Syracuse où les nombres "oiseaux" ( ou feuilles ) montent jusqu'à l'altitude la plus élevée pour descendre à la fin de leur vol en piqué jusqu'au 1 tant attendu et délivrer leur message de victoire.

On peut, j'imagine trouver encore de nombreux exemples illustrant cet hexagramme, de la lumière qui ne peut rapidement sortir de l'ombre. Je ne sais pas si j'ai respecté à la lettre ( ou au nombre ), la pensée des anciens, mais à quoi bon?... Il me semble que la philosophie du Yi-king peut et doit être un support pour l'interprétation. J'espère que cette promenade sino-scientifico-mathématique vous a plus. Vous êtes maintenant arrivé à destination. Le prochain voyage se fera à bord de l'hexagramme 30: "le Feu".

De Khalil Jaouiche ( PDF de 13 pages ) ICI

Des remarques intéressantes sur le zéro et les nombres négatifs.

Dans l'histoire des nombres, il est quelquefois difficile de faire la différence entre un zéro linguistique, indiquant une absence ou un vide, ou un zéro ayant statut de nombre. En 458, un texte en sanscrit traitant de cosmologie, le Lokavibhaga, est la plus ancienne attestation connue de l'emploi du zéro, qu'on écrit "vide" (en sanscrit !) pour indiquer une unité manquante. Le premier zéro sous la forme d'un rond semble être apparu en 605 dans ce qui est actuellement le Cambodge... mais si cette région était sous tutelle chinoise à l'époque, elle pratiquait de nombreux échanges avec l'lnde: chacun y retrouvera ses petits ! Dans "Le calcul indien'' cité plus haut, Khwarizmi écrit à peu près: ''pour que la position ne soit pas vide, on écrit un petit cercle en forme de O n'ayant aucune signification". Vers 850, Mahavira définit enfin le zéro comme Ia somme de deux nombres opposés. On connaît la suite.

Le fichier PDF de Michel Soutif qui précise les connaissances sur l'apparition du zéro dans " La numération décimale de position " ICI

La page dont est extraite le texte ci-dessus : ICI

L'histoire ( rapide ) des zéros : ICI et ICI

La sculpture du Dieu du Zéro réalisée par mon père

La liste des sujets des fiches mathématiques du Soir ( PDF ) : ICI

FICHE_60.pdf CQFM
FICHE_59.pdf Question
FICHE_58.pdf Référentiel
FICHE_57.pdf Conjecture
FICHE_56.pdf Mathémagique
FICHE_55.pdf Analogie
FICHE_54.pdf Essai et erreur
FICHE_53.pdf Google + ICI
FICHE_52.pdf Cryptographie
FICHE_51.pdf Arrondi
FICHE_50.pdf Binaire
FICHE_49.pdf Ordinateur + ICI
FICHE_48.pdf Boulier + ICI
FICHE_47.pdf Calculateur analogique
FICHE_46.pdf Machine de Turing
FICHE_45.pdf Règle à calcul
FICHE_44.pdf Différence
FICHE_43.pdf Bâtons de Napier + ICI
FICHE_42.pdf Loi des grands nombres
FICHE_41.pdf Binôme
FICHE_40.pdf Chaos
FICHE_39.pdf Statistique
FICHE_38.pdf Aléatoire + ICI
FICHE_37.pdf Probabilité
FICHE_36.pdf Attracteur
FICHE_35.pdf Factorielle
FICHE_34.pdf Complexité
FICHE_33.pdf Algorithme
FICHE_32.pdf Nombre premier
FICHE_31.pdf Progression
FICHE_30.pdf Fractal + ICI
FICHE_29.pdf Information
FICHE_28.pdf Projection
FICHE_27.pdf Tangente
FICHE_26.pdf Trochoïde
FICHE_25.pdf Dilemme
FICHE_24.pdf Paradoxe
FICHE_23.pdf Quantificateur
FICHE_22.pdf Barre de Sheffer .......  Vidéo : ICI
FICHE_21.pdf Syllogisme
FICHE_20.pdf Induction
FICHE_19.pdf Tiers Exclu
FICHE_18.pdf Lieu
FICHE_17.pdf Matrice
FICHE_16.pdf Intégrale
FICHE_15.pdf Optimisation
FICHE_14.pdf Dérivée
FICHE_13.pdf Fonction
FICHE_12.pdf Non Euclidien
FICHE_11.pdf Preuve
FICHE_10.pdf Hyperbole
FICHE_09.pdf Hypothénuse
FICHE_08.pdf Polyèdre + ICI
FICHE_07.pdf Graphes
FICHE_06.pdf L'infini
FICHE_05.pdf Nombres imaginaires
FICHE_04.pdf Le nombre e
FICHE_03.pdf Le nombre d'or + ICI + ICI + ICI
FICHE_02.pdf Zéro + ICI, ICI et ICI
FICHE_01.pdf Pi + ICI

Le zéro posa beaucoup de difficultés à l'humanité. Les égyptiens ne le connaissaient pas, les romains non plus. Les babyloniens utilisèrent un symbole  ( deux clous inclinés ) permettant de différencier 16 de 106 autrement qu'en écartant les  chiffres 1 et 6  ce qui indiquait dans le deuxième cas que la place des dizaines était vacante et qu'il fallait lire 106 et non 16 ( leur système était sexagésimal : base 60 => 3600,60,1 ainsi (106) = 1x3600+0x60+6x1=3636 en numération décimale) . Le zéro de position était né mais pas notre zéro ( celui de la tête à toto ). Les grecs en avaient tellement peur qu'ils en nièrent l'existence de peur de faire effondrer leur conception théologico-mathématico-philosophique. Admettre son existence c'est admettre l'existence du vide, du néant, et cela ne pouvait être compatible avec leur construction géométrique de l'univers et son harmonie. Son absence mis la pagaille jusque dans le calendrier. Souvenons-nous du vrai faux passage au 3ème millénaire en 2000 qui aurait du être fété en 2001 puisque l'année 0 n'est pas comptée ! Regardez où est notre pauvre 0 sur un clavier téléphonique , sur un pavé numérique, seul ou après le 9, jamais dans la suite 0, 1, 2,... mais heureusement il y eu les Mayas qui eurent un peu moins peur que tous les occidentaux réunis et ne freinèrent pas l'idée du 0 jusqu'au XVI ème siècle où la conception aristotélicienne du monde ( sans vide ) commença à sérieusement à s'effriter. Les Mayas  possédaient deux systèmes de numération, l'un fondé sur des points, des traits et sûrement des coquillages et l'autre, plus exotique et moins courante, basé sur des glyphes céphalomorphiques qu'ils écrivaient verticalement.

Les Mayas se préoccupaient beaucoup de la comptabilité des jours et des mois, ils connaissaient la numération de position et inventèrent le zéro. Ils  créèrent un système complexe de repérage temporel combinant le calendrier solaire et un calendrier rituel.  Chacun des glyphes numéroté de 1 à 13 était associé à une tête de divinité du monde supérieur. Par exemple le 5 était associé au dieu-Maïs, le 10 au dieu de la Mort ( on remarquera que sa machoire inférieure est rapportée ). Les glyphes numérotés de 14 à 19 ont été forgés à partir des glyphes 4 à 9 en décharnant leur machoire inférieure, l'opération constituait une règle arithmétique élémentaire puisque le dieu de la Mort ( 10) était symbolisé par un maxillaire inférieur.
Le dieu Zéro s'approche mais éloignons-nous un peu de lui auparavant.
En 1988, les fouilles entreprises à Teotihuacan à proximité de la pyramide de Quetzalcoalt ont mis à jour un grand nombre de tombes ainsi que les restes de 260 victimes sacrificiées lors de l'inauguration du monument dédié au serpent à plumes ( 150-200) assorties d'offrandes dont de nombreux maxillaires  supérieurs et des mandibules humains. Ces pratiques relevaient de la réactualisation d'anciens mythes. Xolotl est un dieu peint en noir et sur son pectoral figure un maxillaire inférieur humain décharné. Il représente la face nocturne de Quetzacoalt, son frère jumeau, sa personnalité chtonienne. C'est un être larvaire. Il avait la capacité de se dédoubler ce qui rendit son anéantissement difficile mais dès qu'il fut tué sous sa forme larvaire, le soleil se mit en mouvement. Un autre mythe le met en scène à  chaque coucher du soleil où se rejoue la bataille des dieux : Quetzalcoalt livre bataille contre les forces des ténèbres dans un jeu de balles divin ayant lieu à minuit. Les quatres protagonistes sont Quetzalcoalt le Dieu de l'aurore, le lune comme déesse mère, Xolotl comme dieu crépusculaire et le soleil comme victime sacrificielle. Xolotl gagne contre Quetzalcoalt et sacrifie le soleil, Quetzalcoalt s'unit à la déesse mère et de leur union nait chaque matin un nouveau soleil resplendissant : le dieu du maïs. C'est dans cet endroit maudit que les Jumeaux combattent éternellement pour que revive la lumière. Un des habitants de cet enfer symbolisait la mort par sacrifice : le dieu du chiffre zéro, il fut associé à un glyphe. Pour les mayas, la façon de transcrire les chiffres se fait verticalement, les plus grandes unités en haut, les plus petites en bas. Le zéro signifiait la fin, l'achèvement dont la main à la place de la machoire en témoigne. De par ses attributs, il s'impose comme le dieu de la mort sacrificielle qui patrone une forme de sacrifice particulièrement violent : l'arrachage de la machoire inférieure dont la main appliquée sur le glyphe semble ébaucher ce geste. On ne connait pas précisément l'origine de cette forme terrible de meurtre rituel mais il semblerait que l'arrachage de la mandibule inférieure résulte d'un mythe fondateur. 


Le fait que les mayas ne passèrent pas le cap de zéro algébrique fût du au fait que leur système de numération n'était pas tout à fait vigésimal c'est à dire en base vingt. En effet alors que l'on aurait dû trouver une écriture de nombres de trois chiffres sur la base 1, 20 et 20x20=400 : (111) = 1x400+1x20+1x1=421, leur système faisait intervenir la base 1, 20,  360  c'est à dire que (111) = 1x360+1x20+1x1=400, ce qui fit que 400 s'écrivait (120) et non (100) ôtant toute propriété algébrique au 0 !

Pour compléter : les Ecritures mayas du Nombre ( PDF ) : ICI

Pour en savoir plus :

Histoire universelle des chiffres Georges Ifrah

Zéro la biographie d'une idée dangeureuse Charles Seife

Revue de l'histoire des religions Les compagnons de l'enfer Jean-Claude Delhalle et Albert Luykx

Cliquer sur l'image pour accéder au musée de Cleveland

On reconnait sur la tête sculptée de ce jeune noble -?- , la main qui remplace la machoire inférieure.