Inclassables Mathématiques 2.0

La base de Sloane (Online Encyclopedia of Integer Sequences) réunit plusieurs dizaines de milliers de suites mathématiques considérées comme « intéressantes » par certains mathématiciens. La représentation graphique de la fréquence d’occurrence de n en fonction de n montre une fonction rapidement décroissante, et un nuage qui semble séparé en deux par une zone claire qu’on nomme ici le fossé de Sloane.
La décroissance et la forme générale s’expliquent assez facilement mathématiquement, mais l’explication du fossé nécessite d’autres considérations.

L'article de Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delaye et Hector Zenil qui vient d'être mis en ligne.

L'origine de la découverte par Philippe Guglielmetti sur son blog Pourquoi Comment Combien.

Un nombre 321 dit de Thābit pour Thābit ibn Qurra, est un nombre de la forme K_n=3·2ⁿ−1 , où n est un entier naturel. 

Pour les premières valeurs de n =0, 1, 2... ces nombres valent 2, 3, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727... (Suite A055010).

Les premiers nombres de Thābit premiers appelés aussi 321-premiers sont : 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (Suite A007505).

La premières valeurs de n pour lesquelles on trouve des 321-premiers sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414 (Suite 002235).

Les nombres premiers pour n≥234760 furent trouvés à partir de 2003 à l'aide du 321 project. Le plus grand d'entre eux a été découvert par Dylan Bennet en 2008 avec la valeur de n=4235414. Ce nombre possède 1274988 chiffres en base 10.

La représentation binaire de ces nombres est particulière. Elle est formée de 10 puis de n 1.

Par exemple pour K₇=3·2⁷−1=383, l'écriture binaire est 101111111.

Thābit ibn Qurra était un mathématicien, physicien, astronome et musicologue persan qui vécu de 826 à 901.

Il montra que si K_n, K_n−1, and 3×K_2n−1 + 2 sont tous premiers, alors les nombres 2ⁿ×K_n×K_n−1, 2ⁿ×(3×K_2n−1 +2) sont amicaux. Cette hypothèse se rencontre seulement trois fois, pour n = 2, 4, et 7, donnant les paires de nombres amicaux suivantes: (220, 284), (17296, 18416), et (9363584, 9437056). (Source: MathWorld et Wikipédia).

Le sujet est épineux. Quels rapports entretiennent les concepts mathématiques et les mots qui les définissent, ou plus exactement avec l'image mentale qui se construit lorsque l'on utilise des mots? Stella Baruk a abordé un aspect de cette question, en pointant les mélanges et confusions qui pouvaient se produire en associant les concepts mathématiques à des mots ainsi qu'en formulant des problèmes à contenu mathématique en langage courant (ou supposé comme tel).

Une équipe de l'Université de Chicago a réalisé une expérience très intéressante qui va certainement permettre de nombreuses autres avancées ultérieures. Les recherches ont été faites sur une population de sourds du Nicaragua qui  n'ont jamais appris le langage des signes et qui communiquent entre eux avec des gestes qu'ils ont développé eux-mêmes que l'on appellera autosigneurs. Ils sont dans l'incapacité de comprendre la valeur de nombres plus grands que trois parce qu'ils n'ont pas développé de signes associés.

En revanche, les personnes sourdes qui apprennent la langue des signes classique comme les enfants, peuvent apprendre le sens des grands nombres. Les chercheurs pensent que c'est parce que les langues contiennent des signes conventionnels, comme la langue parlée, que les enfants peuvent apprendre très tôt la routine du comptage.

L'étude illustre la complexité de l'apprentissage des relations symboliques inscrites dans le langage, y compris le simple concept de nombre. Le travail effectué pourra aider les chercheurs à mieux comprendre comment le langage façonne la manière dont les enfants aprennent les concepts mathématiques de façon précoce et comment ce processus crucial se déroule pendant la période préscolaire. 

Saurez-vous expliquer ce titre?

Les propriétés concernent les lignes, les colonnes et les diagonales entières de ce carré ?

Bibnum, qui d'accoutumée s'intéresse aux textes scientifiques s'attaque désormais à un os... et pas n'importe lequel celui d'Ishango:

Il est donc clair qu’à partir du moment où l’on a décidé que les paquets d’encoches sont des nombres, il est assez facile, moyennant quelque petits arrangements, de « faire parler » notre os, et même, en creusant un tout petit peu comme ci-dessus, de lui faire dire des choses contradictoires.

Photo: Wikimédia

L'os d'Ishango sur BibNum, une analyse de Olivier Keller.

Vous êtes né le 25 juin 1975 et vous voulez tout savoir sur les nombres composant votre date de naissance.

Je n'ai pas dit tout savoir sur votre avenir! Pour cela, il suffit de vous reporter à la rubrique Horoscope de votre magasine préféré, Voici, Closer, Maxi, Gala..., de pointer sur "Cancer" et de ne pas trop comparer les résultats ( en effet ils peuvent être contradictoires compte tenu du nombre important de paramètres entrant en compte dans une prévision de ce type). De nombreux sites en ligne vous permettront ainsi de connaitre votre avenir, avec une finesse difficilement égalée par la science, qui peine d'ailleurs à prévoir le temps qu'il va faire la semaine prochaine.

Ainsi donc la personne née le 25 juin 1975 saura qu'elle effectuera son travail avec le plus grand zèle, même si elle est en vacances (l'astrologie nous apprend en effet que la notion de travail dépasse largement la notion intuitive de travail rémunéré), qu'elle prendra le temps de faire quelquechose avec son partenaire (pour de l'info c'est de l'info!), qu'elle devrait apprendre à mieux travailler en équipe (pas facile en vacances) et qu'elle a mal dormi (tiens elle ne savait pas mais puisque c'est écrit...).

Non ce que je vous propose ici c'est de connaître les caractéristiques mathématiques de certains nombres, par exemple ceux de votre date de naissance.

Pour cela il suffit de se rendre sur Number Gossip développé par Tanya Kovanova pour y apprendre que

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Tout le monde ou presque a déjà entendu parler de fractales. On sait généralement  que c'est un joli dessin qui peut ressembler à ça :

Et puis c'est à peu près tout. C'est déjà bien mais on peut tenter de faire mieux et de comprendre comment on obtient ces jooliiiis dessssins de fractales et avec quel logiciel libre obtenir ces images ( sur lesquelles on peut cliquer pour les agrandir).

Alors nous allons tenter de faire simple et procéder par étapes. Il suffira ensuite d'un peu d'imagination, non pas pour aller sur l'île aux enfants mais au pays, non pas celui de Candy mais des fractales.

Trèfle de plaisanterie, dit le lapin dans son carré de luzerne et revenons à nos moutons.

1) Prendre un nombre, le multiplier par lui-même et le retrancher:

Prenons 3, multiplions-le par lui même 3x3=9 et ôtons lui 3 soit 6

Prenons 4, multiplions-le par lui même 4x4=16 et ôtons lui 4 soit 12

Prenons 0.5, multiplions-le par lui même 0.5x0.5=0.25 et ôtons lui 0.5, il reste -0.25

2) Répéter l'opération:

Pour chaque nombre de départ, on répète indéfiniment la même opération.

Recommençons avec 3, la première étape donne 6, recommençons l'opération avec 6 en le multipliant par lui-même ce qui fait 36 et ôtons lui 6 ce qui nous fait 36-6=30 et recommençons jusqu'à l'infini. Il semble évident que les résultats vos devenir de plus en plus grands. On dira dans ce cas que la suite de nombres est divergente.

Prenons un autre nombre de départ, par exemple 1, on le multiplie par lui-même, on obtient 1 et lui ôte 1 ce qui donne 0. On recommence l'opération avec 0 que l'on multiplie par lui-même soit 0 et auquel on enlève 0, ce qui nous donne 0. Force est de constater que si l'on répète l'opération indéfiniment, le résultat sera toujours 0. On dira dans ce cas, puisque le résultat est un nombre, que la suite de nombres est convergente.

3) La peinture

Nous allons maintenant nous lancer dans le domaine artistique. Nous allons peindre les nombres de départ en fonction de la valeur qu'ils donnent au terme du processus répété indéfiniment que l'on vient d'énoncer précédemment. Les nombres qui sont à l'origine d'une suite convergente resteront noirs, comme le 1 ou le 0. Les autres prendront diverses couleurs, en fonction de la "vitesse" à laquelle la suite va diverger, c'est à dire  du nombre d'étapes qu'il faudra pour  faire atteindre une valeur donnée à cette suite de nombres. Si l'on regarde une droite où sont repérés tous les nombres, et si le processus est bien choisi , on devrait voir de nombreuses couleurs apparaître et des portions de droite restant noires, celles comprenant les nombres initiaux qui donnent une suite convergente.

L'équipe de Stanislas Dehaene de l'Inserm/Cea a mis un lien assez inattendu en évidence dans le cerveau, celui de la représentation des nombres et de l'espace. Comme activité cérébrale, le calcul mental ressemblerait à un déplacement spacial. Additionner des nombres serait comme déplacer ses yeux suivant une ligne, de la gauche vers la droite, comme si les nombres y étaient représentés.

Sources : CEA, Scientific American, Libération

Photo: urbanmkr

Vous êtes né le 26 janvier 1847 et vous voulez savoir si 2601 ou 1847 sont des nombres particuliers.

Vous aviez oublié que 6969 était strobogrammatique

et que 4511 = 4444 + 55 + 11 + 1.

What's special about this number? vous rafraîchira la mémoire.

Il y a aussi une très bonne façon de s'informer sur les nombres entiers en parcourant les deux pages de liens de Wikipédia intitulées "Catégorie nombres entiers".

On pourra ainsi trouver le premier nombre premier strobogrammatique.

Ou bien s'apercevoir que 6210001000 est le seul nombre autodescriptif en base 10.
Et qu'est-ce qu'un nombre auto descriptif?
Rien de plus simple c'est un nombre qui se décrit lui-même en base 10 ?

Et pourquoi se décrit-il lui même en base 10 ?

Monsieur Darcos n'a-t'il pas parlé d'autonomie? Alors je vous laisse chercher un peu ( ce n'est pas difficile!) et si personne ne laisse la réponse en commentaire, c'est promis, je vous aiderai.