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théorème

  • Atout Pick

    Je ne connaissais pas ce théorème mais il est génial et utilisable par les plus petits.

    Il suffit de prendre une feuille de papier pointé et d'y tracer un polygone aux sommets de coordonnées entières, comme dans l'exemple suivant :

    pick.jpg

     

    * On peut facilement calculer son aire de façon additive à l'aide des pointillés.


    Ce polygone est constitué d'un grand rectangle d'aire 12 et de deux petits carrés d'aire 1 soit 12+1+1=14.

    Il est aussi constiué de 3 triangles d'aire la moitié des aires des rectangles (ou carrés) associés soit: 2+1+1=4.

    L'aire de ce polygone est donc de 14+4=18.

     

    * Utilisons maintenant le théorème de Pick:

    Déterminons le nombre de points intérieurs à ce polygone : 10

    Calculons la moitié du nombre de points du contour : 18/2=9

    Enlevons 1

    10+9-1=18


    Surprenant et simple non ?

  • Le théorème de Thalès par "Les Luthiers"

    C'est drôle, c'est en musique, en chansons et en espagnol et c'est génial !

     

     

    La source : Francis (th)E mule Science's News

     

  • Nom d'un théorème !

    Souvent le découvreur ou le diffuseur d'un théorème est éponyme. Qui ne connaît pas le théorème de Thalès ou de Pythagore? Mais certains théorèmes possèdent des noms assez surprenants. J'en ai trouvé quelques uns, mais pas énormément comme je l'aurai pensé initialement. Une explication en langue usuelle est donnée dans chacun des cas. Les mathématiques sous-jacentes à l'énoncé de ces théorèmes ne sont pas toutes simples, et je ne doute pas que le spécialiste se documentera sur la question. Si vous en connaissez d'autres, ils seront les bienvenus...

     

    Patrouille_cycliste_de_gendarmes.jpgLe théorème des gendarmes

    Il est très connu des élèves de lycée.  Lorsque l'on est entre deux gendarmes et qu'ils se dirigent vers le même endroit, on n'a pas d'autre choix que d'y aller aussi.



    Photo: www.ahgv.ch

     

    Toits_notre_dame_paris.jpgLe théorème du toit

    Il est aussi très connu des élèves de lycée. Deux plans sécants de l'espace représentent le toit en question et l'intersection le faitage. Deux droites parallèles incluses respectivement danschacun des deux plans, comme par exemple des goutières, sont parallèles au faitage ( à la droite d'intersection des deux  plans ).

    Photo: Édouard BERGÉ

     

    Chinois.jpgLe théorème des restes chinois

    D'un niveau bien plus élevé que les précédents, il est ainsi nommé car il permet de répondre à la question suivante : Combien l'armée de Han Xing comporte-t-elle de soldats si, rangés par 3 colonnes, il reste deux soldats, rangés par 5 colonnes, il reste trois soldats et, rangés par 7 colonnes, il reste deux soldats ?

    Photo : Laurent van Roy

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  • Des p'tits problèmes de coloriage ?

    a003-099.gifLes mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

    Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

     

    Je t'ai apporte des crayons

     

    Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

    D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

    Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

    Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

     

    My son's color pencils

     

    Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

    L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

    m4-18.jpgBertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

    Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

    Explication :

    • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
    • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

     

    Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

    Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

    Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

     

    Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

     

    Pour compléter sur l'axiome du choix :

    Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne

     

     

     

  • Du papier et des maths

    Quelques symétries et autres fractales, une magnifique galerie flikr  des maîtres de l'origami à visiter ICI

     

    Pleated Form

     

    C'est un modèle de Jun Maekawa qui est d'ailleurs l'auteur d'un théorème  qui porte son nom :

     

    If one looks inside a flat origami without unfolding it, one sees a zigzagged profile, determined by an alternation of "mountain-creases" and "valley-creases." The numbers of mountains and valleys always differ by 2.