On connaît pas mal de nombres ayant du caractère: certains sont complexes, ils se plaisent à posséder une partie imaginaire, et même hypercomplexes, d'autres sont entiers, certains sont naturels et d'autres bien relatifs. Les nombres transcendants sont peut-être portés vers la philosophie. Il en est qui aiment à se dire réels ( comme s'il pouvait en exister d'irréels ). Les plus spectaculaires sont certainement les irrationnels qui aiment à se distinguer des rationnels. Certains ont de la suite dans les idées et font dans les mathématiques discrètes. Mais il est aussi des nombres qui aiment à se faire remarquer et jusqu'aux narcissiques qui se complaisent à se regarder le nombril.

Regardez-moi ce 12345679, voilà qu'il s'est fait ôté un 8, et tout cela pour qu'on le multiplie par un multiple de 9, essayez-donc, il n'en sera que plus ravi ce prétentieux, de se voir ainsi multiplié par 9, 18,27 et ainsi de suite et d'obtenir une série de clones 11111111, 22222222...!

Il y a aussi 15873 qui nous fait le même coup avec les multiples de 7, comme si un seul ne suffisait pas.

Et puis il y a ces nombres qui se prennent pour des cristaux, à les écouter se serait même des diamants. Les voilà qui arrivent ces 15 et ce 16, les 15 emboîtés dans le 16... quel manque de goût:

16
1156
111556
11115556
1111155556

Et tout cela pourquoi ? Pff, simplement pour montrer qu'ils connaissent bien les 3 et le 4

4² =16
34² =1156
334²
3334²
33334²

Quelle vanité.

Et regardez moi ces fractions, exhibant leur dix chiffres, tous différents, et tout cela pour quoi? Pour que l'on voit que ce sont des nombres entiers:

97302/48651=2
26970/13485
96174/32058=3
50382/16794
94860/23715
60948/15237
93270/18654
67290/13458
98532/14076
98760/12345
83672/10459
97524/10836
95742/10638

Et si ce n'était que cela... Mais non, il y a ceux qui veulent être à la mode. Regardez-moi ça, ces palindromes qui se précipitent! Et pourquoi? Pour être premiers, quelle affaire, quelle utilité?

188888881
199999991
322222223
355555553
722222227
111181111
111191111
777767777

Tout cela pour copier sur les aînés, bien plus célèbres qu'eux, les palindromes carrés de 1, mais si rappellez-vous:

1 = 1²
121 = 11²
12321 = 111²
1234321 = 111²
..............................

Si je vous dit que vous n'avez encore rien vu, vous ne me croirez pas !

Je connaissais les nombres parfaits qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs ( sauf lui!) , comme 6 par exemple dont les diviseurs sont 1,2 et 3 et 1+2+3=6.

Je connaissais aussi les nombres amiables qui sont des couples de nombres dont la somme des diviseurs de l'un donnent l'autre...

Attention, ce que je vais vous confier maintenant va peut-être vous choquer, mais il est important que le monde entier sache qu'il existe une espèce de nombres pire que les autres. Celle de ceux qui ne cessent de se regarder le nombril, celle de ceux qui risquent à tout instant de tomber amoureux de leur propre reflet, il s'agit des
nombres narcissiques.

Un nombre narcissique d'ordre k est un nombre qui est égal à la somme de ses chiffres élevés à la puissance k.

Si on les connaît moins bien que les autres et qu'on a bien du mal à soupçonner leur existence, c'est qu'il n'en existe pas de 2 chiffres et que 1 n'a que peu d'intérêt.

Le plus petit connu est 153, il est d'ordre 3, en effet: 153 = 1³ + 5³ + 3³

Le suivant c'est 370 car :

370 = 3³ + 7³ + 0³

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Je demande à voir.

Ensemble ils forment même des cycles. Allez donc voir ICI et vous aurez plus de renseignements, mais ne vous étonnez pas si l'atmosphère n'est pas très respirable tellement ce lieu est peuplé d'individus imbus de leur personne.


Vous croyez avoir tout vu? Mais non, j'en ai encore à vous apprendre, d'autres nombres peuvent aussi se regarder le nombril et être qualifiés de narcissiques car on  peut s'inventer la règle que l'on souhaite.

Par exemple:

438 579 088 = 4⁴ + 3³ + ... + 8⁸ + 8⁸

Et ceux là :

81  = (8+1)²

512  = (5+1+2)³

2401  = (2+4+0+1)⁴

Ragardez moi-aussi ceux là :

114 = (1+4+4)x1x4x4

Suite à une enquête quasi-policière de Pierre Tougne dans la revue "Pour la Science" de décembre 1982, on a même appris que ce réseau très structuré dans la base 10 possédait des ramifications dans d'autres bases.

On a trouvé en base 3, le chef du réseau semble-t-il:  un nombre narcissique hyperparfait :

Son ordre , son nombre de chiffres et et sa base sont tous égaux!

Cela fait peur non ?

  (122)₃ = 17 = 1³ + 2³ + 2³

Restez vigilants et n'hésitez pas à témoigner si vous possédez quelques renseignements supplémentaires. L'enquête remonte à plus de 25 ans...


Pour un rappel sur la base des bases c'est ICI

J'avais commencé l'histoire un peu romancée de Li Shanlan. Je me suis appuyé sur un article de Jean-Claude Martzloff dans la revue Pour la Science de Mai 1988, et je cherchais depuis tout ce temps plus de renseignements disponibles sur le Web que les liens que je vais fournir. Le début de l'histoire de Li est ICI et la suite ICI,  l'histoire se termine juste avant qu'il n'échoue à la licence. Notez que les conditions décrites sont réelles, c'est ainsi qu'avait vraiment lieu le concours ( voir à ce sujet, le document Word passionnant "Pratique des examens littéraires en Chine" :  ICI ) .

Vous trouverez sa biographie complète en anglais ICI

Quelle fut l'oeuvre mathématique de cet homme autodidacte dont l'échec à l'examen triennal de la licence sonna le début de sa carrière mathématique alors qu'il était littéraire ?

En 1867, à 56 ans il fit paraître la collection de ses oeuvres intitulées " Les mathématiques du studio voué à l'imitation des Anciens".

Le traité Duoji bilei ( somme finie d'entiers ), dans lequel il présente la formule de Li Renshu ( c'est lui ) est déconcertant: pas de théorèmes, pas de définitions, pas de démonstrations! La langue utilisée est celle du XIIIème siècle et les formules sont justes...
On y reconnaît les nombres eulériens, les nombres de Stirling de première espèce. La traduction du texte laisse apparaitre entre des tas de petites billes et des petits cubes représentants des nombres figurés, des formules dont aucune trace n'apparaît avant 1867 pour la formule dite de Li Renshu et avant 1883 pour la formule dite de Worpitzki. Le style et la présentation très personnels de Li Shanlan décontenancèrent les premiers historiens. Li indique qu'il voulu présenter son travail avec clarté tout en restant fidèle au style traditionnel, ce qui rend impossible d'établir les démonstrations de ses résultats dans une forme qui nous est familière.
La logique du Duoji bilei serait plus d'ordre heuristique que formel. Beaucoup d'indices convergent dans ce sens : abondance des généralisations à partir d'exemples, mises à profit des ressemblances de situations proches, procédés de suggestion des résultats.

Li Shanlan a su utiliser à merveille le Triangle de Pascal ( voir notes et références de l'article de Wikipédia ) et eut l'idée des triangles de Pascal généralisés. Sans expliquer comment il s'y prend pour calculer des sommes complexes d'entiers, il ne se trompe pourtant jamais dans les formules, ce qui montre qu'il savait vraiment s'y prendre.

De Khalil Jaouiche ( PDF de 13 pages ) ICI

Des remarques intéressantes sur le zéro et les nombres négatifs.

Conférence donnée par Etienne Klein : ICI

Vidéo de la conférence d'Alexandre Moatti donnée devant les élèves de l'ENA le 22 mars 2007

Objectif : Montrer que l'informatique et l'Internet, d'un usage constant, n'existeraient pas sans les mathématiques.

Sommaire :

• Codage ASCII : comment transformer un alphabet en binaire (Word, Internet),
• Du petit théorème de Fermat (nombres premiers) au chiffrement des numéros de cartes bleues sur Internet, des notions simples de cryptographie,
• Une histoire de l’Internet, du DARPA américain en 1962 (ordinateurs en réseau) au premier mél envoyé par HM Elizabeth II en 1982, à l’invention de l’ypertexte et de l’adressage http au CERN à Genève en 1991 (T. Berners-Lee),
• Les choix de politique publique française sur les réseaux de données dans les années 1980,
• Le calcul informatique lourd (CEA, météorologie… ), ses applications, les choix d’investissement ; le calcul informatique réparti dit « grid compution », les applications (ex. : décryptage du génome).
  

La page de l'ENA : ICI

Le blog d'Alexandre Moatti : ICI