Edwin A. Abbott, pasteur anglais et précurseur de la pensée à quatre dimensions de la fin du XIXe siècle, est l'auteur d'une fable mathématique ("Flatland") qui a été exhumé à la suite des théories relativistes et quantiques.

La vidéo : ICI

L'hypercube emprunté à Gigistudio

La note de Blog a maths ( version française du livre Flatland ) : ICI

C'est justement qu'une telle résistance au changement s'avérait poser problème depuis plus de 50 ans. Le problème avait été posé par le Polonais Waclaw Sierpinski.

Alors que l'arithmétique avait élu les nombres premiers ( divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes, ex : 5;7;11;13...)  rois des nombres, il s'agissait de savoir s'il existait des nombres non premiers résistant au changement quelconque de deux de leur chiffres tout en conservant cette caractéristique.

Ainsi, si vous remplacez deux des chiffres de ce nombre, il n'y aura aucune chance que le nouveau nombre obtenu soit premier.

PS: Je n'ai pas vérifié tous les cas, il m'en reste encore un peu à tester....:)

Source : La Recherche décembre 2007

En 1478, il y avait 84 ateliers d'ébénisterie à Florence s'occupant principalement de marqueterie. Les marqueteurs étaient nommés les maîtres de la perspective.

C'est vers les années 1450 que la marqueterie évolua de simple décor architectural secondaire à la position éminente d'art géométrique par excellence. A cette époque, les panneaux de marqueterie représentaient souvent des scènes urbaines vues comme au travers d'une fenêtre ouverte. Certains panneaux représentaient aussi de façon saisissante le contenu d'un buffet dont les portes seraient entrebâillées. Ils éaient parfois composés de plus d'un millier de pièces découpées avec une extrême précision dans des essences de bois diverses ( ébène, cyprès, buis, noyer ) après qu'eut été réalisé un dessin en perspective et que l'aspect naturel de certains morceaux ait été modifié par teinture ou apr brûlage superficiel afin de renforcer l'effet de profondeur.

Les deux théoriciens de la perspective qui permirent l'essor de cet art étaient Florentins. Il s'agissait de Filippo Brunelleschi et de Leon Batista Alberti.

C'est Alberti qui fut à l'origine de ce que l'on appelle aujourd'hui le point de fuite et la ligne d'horizon. C'est lui aussi qui représenta le premier la grille figurant un plancher carrelé dont les figures diminuent avec l'éloignement.

Depuis le moyen-âge, s'affrontaient les partisans de l'extramission qui affirmaient que l'oeil envoyait de rayons lumineux et ce ceux de l'intramission qui pensaient au contraire que les rayons provenaient des objets pour se diriger vers l'oeil. Les  théoriciens médiévaux des deux camps se sont accordés sur.... le rayon central, celui par lequel le monde est le mieux perçu et symbole de la moralité divine. Alberti n'avait pas besoin de pencher dans l'un ou l'autre camp puisque sa pyramide de vision, à la base de sa théorie, gardait la même géométrie quelque soit le sens du rayon. Le sommet de cette pyramide coïncidait avec l'oeil et sa base avec ce qu'il voyait.

Avec cette formulation, la construction des oeuvres possédait une base théorique tout aussi solide que celle élaborée par les Pythagoriciens 550 ans avant JC sur la musique et perpétuée jusqu'alors par le quadrivium de la scolastique.

Peindre ou représenter le monde visible devenait alors le moyen d'étudier les lois de la nature et l'on comprend à quel point il était nécessaire d'être le plus fidèle possible à la réalité.

Fra Giovanni de Vérone était un maître de la marqueterie de cette époque. Il réalisa le panneau suivant aux alentours de 1519. On y voit dans sa partie supérieure un polyèdre à 72 faces, symbole de l'architecture. Accrochés sous l'étagère, on trouve les instruments de marqueterie - le compas, la règle, la pièce carrée - autour desquels est  enroulé un ruban sur lequel est écrit en grec " Voici les outils de marqueterie". Sur le bas du buffet est représenté, comme posé, le mazzochio, cette structure torique en boudin, qui était à la fois une coiffure florentine et un symbole de la géométrie dans l'espace.

On remarque très bien la maîtrise totale de l'artiste dans son art en regardant les panneaux suivants ( source ICI - en italien, que je vous conseille de parcourir intégralement).

ã Copyright 2001 dell'associazione l'Arengario, Monza

Les marqueteurs étaient des artistes, des géomètres et des menuisiers.

Dans beaucoup d'oeuvres, la géométrie ne figure pas comme seul moyen de conception et d'execution, mais elle est aussi au centre de la représentation elle-même. La marqueterie est ainsi un exemple assez surprenant d'autoréférence, propriété particulièrement intéressante pour les philosophie des arts, du langage et des mathématiques.

Il est intéressant de noter que Platon opposait la fausseté de l'art à la vérité des mathématiques, il résuma l'ordre, l'harmonie et l'explication du monde aux cinq solides parfaits... qui comme pour faire un pied de nez à toute son oeuvre se retrouvent au centre des représentations artistiques. La possibilité qu'ont les artistes à les représenter augmentant la compréhension qu'ils ont de ces objets et du monde,

C'est certainement dans la figure du mazzochio, que s'unissaient symboliquement les mathématiques et les ats picturaux. La construction de cette figure était considérée comme très difficile jusqu'à la fin du XVème siècle. Pour les marqueteurs le mazzochio était certainement le lien entre leur travail et la renaissance des mathématiques. Il était le "chef-d'oeuvre" de ces maîtres de la perspective.

Sa représentation demandait des connaissances et une technique importante en perspective. En effet, avant d'arriver à la figure finale, il fallait itérer un processus complexe pour l'époque.

La première étape consistait à construire deux octogones  symétrique par rapport à une verticale, puis a tracer les horizontales joignant leurs sommets.

La deuxième étape consiste à construire les polygones concentriques que l'on voit sur la figure ci-dessus ( cliquer sur la figure pour ouvrir le fichier PDF et agrandir l'image page 2).

La troisième étape permet de reporter les points obtenus par projection des cercles sur la figure de l'étape 1 comme on le voit très bien sur l'image précédente en bas à gauche.

La quatrième étape permet de construire un quadrillage adapté à le représentation dans l'espace.

La cinquième étape permet de construire une première ligne polygonale en perspective.

Le mazzochio complet est obtenu avec sept itérations successives des étapes 4 et 5. Chacune de ces itérations permet le tracé d'une ligne polygonale en perspective.

On retrouve cette figure du mazzochio représentée par Uccello dont les dessins préparatoires laissent apparaître les trous de la pointe du compas et les lignes du tracé.

On peut se laisser séduire par l'achat d'une  représentation de ce mazzochio en se rendant sur le site des musées italiens ( cliquez sur l'image ).

© MuZéO 2006 

 

Après que cet art fut porté au plus haut, son déclin n'en fut que plus fulgurant. Au XVème, Vasari, reflétant la pensée du moment déclarait que la marqueterie était pratiquée par ceux qui avaient plus de patience que de talent! Vasari pensait d'ailleurs que les travaux d'Uccello étaient une perte de temps.

Le climat artistique changea profondément et le milieu du XVIème vit l'apparition d'un Michel-Ange qui s'éleva contre une formulation trop stricte des règles de perspective.

Bientôt les mathématiques tant honorées le siècle précédent furent dénigrées avec vigueur. Zuccari rejeta même complètement l'apport des mathématiques dans la peinture.

Le désintérêt de la perspective sonna le glas de la marqueterie. En fait après 1525, les travaux de marqueterie n'étaient plus réalisés que d'après des cartons sans grande valeur artistique, les marqueteurs devenant ainsi de pâles imitateurs de peintures, alors qu'il avaient été à l'origine des plus grandes avancées dans le domaine de la perspective, ce qui permit au peintre de se les approprier.

Au regard de l'histoire, les marqueteurs méritent donc d'être replacés au centre de la renaissance comme ceux qui ont permis "la rationalisation de l'espace vu".

Source : Pour la Science Septembre 1982

On connaît pas mal de nombres ayant du caractère: certains sont complexes, ils se plaisent à posséder une partie imaginaire, et même hypercomplexes, d'autres sont entiers, certains sont naturels et d'autres bien relatifs. Les nombres transcendants sont peut-être portés vers la philosophie. Il en est qui aiment à se dire réels ( comme s'il pouvait en exister d'irréels ). Les plus spectaculaires sont certainement les irrationnels qui aiment à se distinguer des rationnels. Certains ont de la suite dans les idées et font dans les mathématiques discrètes. Mais il est aussi des nombres qui aiment à se faire remarquer et jusqu'aux narcissiques qui se complaisent à se regarder le nombril.

Regardez-moi ce 12345679, voilà qu'il s'est fait ôté un 8, et tout cela pour qu'on le multiplie par un multiple de 9, essayez-donc, il n'en sera que plus ravi ce prétentieux, de se voir ainsi multiplié par 9, 18,27 et ainsi de suite et d'obtenir une série de clones 11111111, 22222222...!

Il y a aussi 15873 qui nous fait le même coup avec les multiples de 7, comme si un seul ne suffisait pas.

Et puis il y a ces nombres qui se prennent pour des cristaux, à les écouter se serait même des diamants. Les voilà qui arrivent ces 15 et ce 16, les 15 emboîtés dans le 16... quel manque de goût:

16
1156
111556
11115556
1111155556

Et tout cela pourquoi ? Pff, simplement pour montrer qu'ils connaissent bien les 3 et le 4

4² =16
34² =1156
334²
3334²
33334²

Quelle vanité.

Et regardez moi ces fractions, exhibant leur dix chiffres, tous différents, et tout cela pour quoi? Pour que l'on voit que ce sont des nombres entiers:

97302/48651=2
26970/13485
96174/32058=3
50382/16794
94860/23715
60948/15237
93270/18654
67290/13458
98532/14076
98760/12345
83672/10459
97524/10836
95742/10638

Et si ce n'était que cela... Mais non, il y a ceux qui veulent être à la mode. Regardez-moi ça, ces palindromes qui se précipitent! Et pourquoi? Pour être premiers, quelle affaire, quelle utilité?

188888881
199999991
322222223
355555553
722222227
111181111
111191111
777767777

Tout cela pour copier sur les aînés, bien plus célèbres qu'eux, les palindromes carrés de 1, mais si rappellez-vous:

1 = 1²
121 = 11²
12321 = 111²
1234321 = 111²
..............................

Si je vous dit que vous n'avez encore rien vu, vous ne me croirez pas !

Je connaissais les nombres parfaits qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs ( sauf lui!) , comme 6 par exemple dont les diviseurs sont 1,2 et 3 et 1+2+3=6.

Je connaissais aussi les nombres amiables qui sont des couples de nombres dont la somme des diviseurs de l'un donnent l'autre...

Attention, ce que je vais vous confier maintenant va peut-être vous choquer, mais il est important que le monde entier sache qu'il existe une espèce de nombres pire que les autres. Celle de ceux qui ne cessent de se regarder le nombril, celle de ceux qui risquent à tout instant de tomber amoureux de leur propre reflet, il s'agit des
nombres narcissiques.

Un nombre narcissique d'ordre k est un nombre qui est égal à la somme de ses chiffres élevés à la puissance k.

Si on les connaît moins bien que les autres et qu'on a bien du mal à soupçonner leur existence, c'est qu'il n'en existe pas de 2 chiffres et que 1 n'a que peu d'intérêt.

Le plus petit connu est 153, il est d'ordre 3, en effet: 153 = 1³ + 5³ + 3³

Le suivant c'est 370 car :

370 = 3³ + 7³ + 0³

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Je demande à voir.

Ensemble ils forment même des cycles. Allez donc voir ICI et vous aurez plus de renseignements, mais ne vous étonnez pas si l'atmosphère n'est pas très respirable tellement ce lieu est peuplé d'individus imbus de leur personne.


Vous croyez avoir tout vu? Mais non, j'en ai encore à vous apprendre, d'autres nombres peuvent aussi se regarder le nombril et être qualifiés de narcissiques car on  peut s'inventer la règle que l'on souhaite.

Par exemple:

438 579 088 = 4⁴ + 3³ + ... + 8⁸ + 8⁸

Et ceux là :

81  = (8+1)²

512  = (5+1+2)³

2401  = (2+4+0+1)⁴

Ragardez moi-aussi ceux là :

114 = (1+4+4)x1x4x4

Suite à une enquête quasi-policière de Pierre Tougne dans la revue "Pour la Science" de décembre 1982, on a même appris que ce réseau très structuré dans la base 10 possédait des ramifications dans d'autres bases.

On a trouvé en base 3, le chef du réseau semble-t-il:  un nombre narcissique hyperparfait :

Son ordre , son nombre de chiffres et et sa base sont tous égaux!

Cela fait peur non ?

  (122)₃ = 17 = 1³ + 2³ + 2³

Restez vigilants et n'hésitez pas à témoigner si vous possédez quelques renseignements supplémentaires. L'enquête remonte à plus de 25 ans...


Pour un rappel sur la base des bases c'est ICI

J'avais commencé l'histoire un peu romancée de Li Shanlan. Je me suis appuyé sur un article de Jean-Claude Martzloff dans la revue Pour la Science de Mai 1988, et je cherchais depuis tout ce temps plus de renseignements disponibles sur le Web que les liens que je vais fournir. Le début de l'histoire de Li est ICI et la suite ICI,  l'histoire se termine juste avant qu'il n'échoue à la licence. Notez que les conditions décrites sont réelles, c'est ainsi qu'avait vraiment lieu le concours ( voir à ce sujet, le document Word passionnant "Pratique des examens littéraires en Chine" :  ICI ) .

Vous trouverez sa biographie complète en anglais ICI

Quelle fut l'oeuvre mathématique de cet homme autodidacte dont l'échec à l'examen triennal de la licence sonna le début de sa carrière mathématique alors qu'il était littéraire ?

En 1867, à 56 ans il fit paraître la collection de ses oeuvres intitulées " Les mathématiques du studio voué à l'imitation des Anciens".

Le traité Duoji bilei ( somme finie d'entiers ), dans lequel il présente la formule de Li Renshu ( c'est lui ) est déconcertant: pas de théorèmes, pas de définitions, pas de démonstrations! La langue utilisée est celle du XIIIème siècle et les formules sont justes...
On y reconnaît les nombres eulériens, les nombres de Stirling de première espèce. La traduction du texte laisse apparaitre entre des tas de petites billes et des petits cubes représentants des nombres figurés, des formules dont aucune trace n'apparaît avant 1867 pour la formule dite de Li Renshu et avant 1883 pour la formule dite de Worpitzki. Le style et la présentation très personnels de Li Shanlan décontenancèrent les premiers historiens. Li indique qu'il voulu présenter son travail avec clarté tout en restant fidèle au style traditionnel, ce qui rend impossible d'établir les démonstrations de ses résultats dans une forme qui nous est familière.
La logique du Duoji bilei serait plus d'ordre heuristique que formel. Beaucoup d'indices convergent dans ce sens : abondance des généralisations à partir d'exemples, mises à profit des ressemblances de situations proches, procédés de suggestion des résultats.

Li Shanlan a su utiliser à merveille le Triangle de Pascal ( voir notes et références de l'article de Wikipédia ) et eut l'idée des triangles de Pascal généralisés. Sans expliquer comment il s'y prend pour calculer des sommes complexes d'entiers, il ne se trompe pourtant jamais dans les formules, ce qui montre qu'il savait vraiment s'y prendre.