Aussi curieux que cela puisse paraître, il est possible de creuser un "tunnel" dans un cube pour y faire passer un cube plus grand, certes plus grand de peu, mais néanmoins plus grand. En effet nous allons voir qu'il est possible de creuser un cube d'arête 29 pour y faire passer un cube d'arête 30.

Le dossier complet de Jean Lefort : ICI

C'est le titre d'un article de l'hebdomadaire " Courrier International " n° 896 du 2 janvier 2008. Cet article s'appuie lui-même sur un sujet traité par "New Scientist". Le texte n'est malheureusement pas disponible en ligne. Je consacre donc cette note à sa synthèse.


Évaluer le nombre de morts de la Seconde Guerre Mondiale : les historiens avancent le chiffre de 50 millions d'individus, mais les estimations varient suivant les méthodes utilisées et les sources entre 41 et 70 millions.

Consulter le registre des armées n'est pas suffisant pour comptabiliser ces pertes, il faut aussi inclure dans les conséquences des conflits, les décès causés par la malnutrition et les épidémies. Comment interpréter un logement vacant? Est-ce la mort des résidents ou leur exode qui en est la cause?

L'évaluation de l'impact d'un conflit ou la décision d'une aide humanitaire d'urgence se trouvent confrontées à ces obstacles. Une simple erreur d'estimation peut laisser des civils sans nourriture ou des crimes de guerre peuvent passer inaperçus.

En temps de paix, les informations sont collectées par le recensement. On peut même utiliser le confort du téléphone pour y accéder. Mais en temps de guerre, ce travail est beaucoup plus difficile et dangereux. Dans la pratique, la technique dite d'"échantillonnage par grappe" est utilisée. Celle-ci a été développée à l'origine pour évaluer l'impact des campagnes de vaccination. Les grappes sont des échantillons géographiquement déterminés représentatifs de la population et de sa densité. Des relevés au hasard sont effectués. Pour se faire, des équipes scientifiques doivent se déplacer sur les lieux, en étant la plupart du temps accompagnées par des gardes armés afin d'interroger les individus ou constater leur absence. Sans de sérieuses précautions ou lorsque la vigilance des enquêteurs s'affaiblit, ces chercheurs peuvent être confondus avec des agents du camp adverse et violentés. C'est d'ailleurs ce qui est arrivé, à deux membres d'une équipe norvégienne, en 1992 au Mali.

Chaque jour des scientifiques risquent leur vie dans les régions les plus violentes du monde pour exercer leur métier mal connu du grand public: déterminer le nombre de victimes d'un conflit de la façon la plus rigoureuse possible.

De la qualité de ces études dépend l'utilisation que l'on peut en faire. C'est par exemple l'une d'entre elles qui a servi à juger Slobodan Milosevic.

La difficulté de prélèvement des informations sur le terrain n'est pas la seule. Les autorités des pays concernés par les enquêtes peuvent voir d'un très mauvais oeil des statistiques qui ne leur conviennent pas, pouvant nuire à leur image ou à celle de leur pays. La publication des résultats se voit freinée ou même interdite, d'autant plus que ces états sont souvent partenaires et détiennent les cordons de la bourse.

Les ONG sont souvent les plus proches du terrain pour réaliser ces enquêtes, mais elles manquent de temps et de moyens pour les effectuer dans de bonnes conditions. En 2002, une analyse d'enquêtes a permis de suivre celles qui ont été réalisées par 9 ONG différentes sur 67 grappes d'individus. Il s'est avéré que seulement 6 d'entres elles étaient suffisamment rigoureuses. Ce manque de rigueur est d'ailleurs souvent  avancé pour discréditer les enquêtes et leurs résultats lorsqu'ils ne sont pas conformes aux attentes.

Une étude sur la mortalité en Irak après l'invasion américaine de 2003 par des chercheurs du Maryland et des irakiens a été publiée dans The Lancet. Dans 47 grappes d'individus, on a sélectionné au sein de chacune, 40 familles qui ont été interrogées. Le résultat de l'enquête est effrayant, puisqu'avec cette méthode, le nombre de morts estimé serait de 655 000 au lieux des quelques dizaines de milliers couramment évoqués.  G W Bush et Tony Blair ont écarté les résultats de cette enquête embarrassante. Certains opposants se sont même attaqués à la méthode elle-même. Parmi toutes les critiques évoquées, les spécialistes de la question ont émis les critiques les plus justifiées par rapport aux autres. Ils ont soulevé le problème du "biais de l'artère principale" qui pourrait être une source potentielle d'erreurs.  Il se résume ainsi : dans chaque grappe urbaine, les ménages sont sélectionnés à partir d'une rue commerçante, puis dans une rue perpendiculaire résidentielle une maison est choisie au hasard afin de débuter l'enquête de terrain. Il pourrait y avoir ici, selon certains chercheurs, un impact sur les résultats de l'enquête en avançant comme argument que les rues coupant les artères principales sont privilégiées au dépend de rues plus éloignés faisant moins l'objet de combats. Cet argument est réfuté par les initiateurs de l'enquête qui affirment la pertinence de leur processus de sélection.

Le débat reste ouvert en attendant de futures publications sur le sujet. Malgré cela les scientifiques continuent à exercer leur dangereux métier, dont la principale motivation est "de permettre à ceux qui se trouvent dans ces situations de se faire entendre".

Edwin A. Abbott, pasteur anglais et précurseur de la pensée à quatre dimensions de la fin du XIXe siècle, est l'auteur d'une fable mathématique ("Flatland") qui a été exhumé à la suite des théories relativistes et quantiques.

La vidéo : ICI

L'hypercube emprunté à Gigistudio

La note de Blog a maths ( version française du livre Flatland ) : ICI

C'est justement qu'une telle résistance au changement s'avérait poser problème depuis plus de 50 ans. Le problème avait été posé par le Polonais Waclaw Sierpinski.

Alors que l'arithmétique avait élu les nombres premiers ( divisibles seulement par 1 et par eux-mêmes, ex : 5;7;11;13...)  rois des nombres, il s'agissait de savoir s'il existait des nombres non premiers résistant au changement quelconque de deux de leur chiffres tout en conservant cette caractéristique.

Ainsi, si vous remplacez deux des chiffres de ce nombre, il n'y aura aucune chance que le nouveau nombre obtenu soit premier.

PS: Je n'ai pas vérifié tous les cas, il m'en reste encore un peu à tester....:)

Source : La Recherche décembre 2007

En 1478, il y avait 84 ateliers d'ébénisterie à Florence s'occupant principalement de marqueterie. Les marqueteurs étaient nommés les maîtres de la perspective.

C'est vers les années 1450 que la marqueterie évolua de simple décor architectural secondaire à la position éminente d'art géométrique par excellence. A cette époque, les panneaux de marqueterie représentaient souvent des scènes urbaines vues comme au travers d'une fenêtre ouverte. Certains panneaux représentaient aussi de façon saisissante le contenu d'un buffet dont les portes seraient entrebâillées. Ils éaient parfois composés de plus d'un millier de pièces découpées avec une extrême précision dans des essences de bois diverses ( ébène, cyprès, buis, noyer ) après qu'eut été réalisé un dessin en perspective et que l'aspect naturel de certains morceaux ait été modifié par teinture ou apr brûlage superficiel afin de renforcer l'effet de profondeur.

Les deux théoriciens de la perspective qui permirent l'essor de cet art étaient Florentins. Il s'agissait de Filippo Brunelleschi et de Leon Batista Alberti.

C'est Alberti qui fut à l'origine de ce que l'on appelle aujourd'hui le point de fuite et la ligne d'horizon. C'est lui aussi qui représenta le premier la grille figurant un plancher carrelé dont les figures diminuent avec l'éloignement.

Depuis le moyen-âge, s'affrontaient les partisans de l'extramission qui affirmaient que l'oeil envoyait de rayons lumineux et ce ceux de l'intramission qui pensaient au contraire que les rayons provenaient des objets pour se diriger vers l'oeil. Les  théoriciens médiévaux des deux camps se sont accordés sur.... le rayon central, celui par lequel le monde est le mieux perçu et symbole de la moralité divine. Alberti n'avait pas besoin de pencher dans l'un ou l'autre camp puisque sa pyramide de vision, à la base de sa théorie, gardait la même géométrie quelque soit le sens du rayon. Le sommet de cette pyramide coïncidait avec l'oeil et sa base avec ce qu'il voyait.

Avec cette formulation, la construction des oeuvres possédait une base théorique tout aussi solide que celle élaborée par les Pythagoriciens 550 ans avant JC sur la musique et perpétuée jusqu'alors par le quadrivium de la scolastique.

Peindre ou représenter le monde visible devenait alors le moyen d'étudier les lois de la nature et l'on comprend à quel point il était nécessaire d'être le plus fidèle possible à la réalité.

Fra Giovanni de Vérone était un maître de la marqueterie de cette époque. Il réalisa le panneau suivant aux alentours de 1519. On y voit dans sa partie supérieure un polyèdre à 72 faces, symbole de l'architecture. Accrochés sous l'étagère, on trouve les instruments de marqueterie - le compas, la règle, la pièce carrée - autour desquels est  enroulé un ruban sur lequel est écrit en grec " Voici les outils de marqueterie". Sur le bas du buffet est représenté, comme posé, le mazzochio, cette structure torique en boudin, qui était à la fois une coiffure florentine et un symbole de la géométrie dans l'espace.

On remarque très bien la maîtrise totale de l'artiste dans son art en regardant les panneaux suivants ( source ICI - en italien, que je vous conseille de parcourir intégralement).

ã Copyright 2001 dell'associazione l'Arengario, Monza

Les marqueteurs étaient des artistes, des géomètres et des menuisiers.

Dans beaucoup d'oeuvres, la géométrie ne figure pas comme seul moyen de conception et d'execution, mais elle est aussi au centre de la représentation elle-même. La marqueterie est ainsi un exemple assez surprenant d'autoréférence, propriété particulièrement intéressante pour les philosophie des arts, du langage et des mathématiques.

Il est intéressant de noter que Platon opposait la fausseté de l'art à la vérité des mathématiques, il résuma l'ordre, l'harmonie et l'explication du monde aux cinq solides parfaits... qui comme pour faire un pied de nez à toute son oeuvre se retrouvent au centre des représentations artistiques. La possibilité qu'ont les artistes à les représenter augmentant la compréhension qu'ils ont de ces objets et du monde,

C'est certainement dans la figure du mazzochio, que s'unissaient symboliquement les mathématiques et les ats picturaux. La construction de cette figure était considérée comme très difficile jusqu'à la fin du XVème siècle. Pour les marqueteurs le mazzochio était certainement le lien entre leur travail et la renaissance des mathématiques. Il était le "chef-d'oeuvre" de ces maîtres de la perspective.

Sa représentation demandait des connaissances et une technique importante en perspective. En effet, avant d'arriver à la figure finale, il fallait itérer un processus complexe pour l'époque.

La première étape consistait à construire deux octogones  symétrique par rapport à une verticale, puis a tracer les horizontales joignant leurs sommets.

La deuxième étape consiste à construire les polygones concentriques que l'on voit sur la figure ci-dessus ( cliquer sur la figure pour ouvrir le fichier PDF et agrandir l'image page 2).

La troisième étape permet de reporter les points obtenus par projection des cercles sur la figure de l'étape 1 comme on le voit très bien sur l'image précédente en bas à gauche.

La quatrième étape permet de construire un quadrillage adapté à le représentation dans l'espace.

La cinquième étape permet de construire une première ligne polygonale en perspective.

Le mazzochio complet est obtenu avec sept itérations successives des étapes 4 et 5. Chacune de ces itérations permet le tracé d'une ligne polygonale en perspective.

On retrouve cette figure du mazzochio représentée par Uccello dont les dessins préparatoires laissent apparaître les trous de la pointe du compas et les lignes du tracé.

On peut se laisser séduire par l'achat d'une  représentation de ce mazzochio en se rendant sur le site des musées italiens ( cliquez sur l'image ).

© MuZéO 2006 

 

Après que cet art fut porté au plus haut, son déclin n'en fut que plus fulgurant. Au XVème, Vasari, reflétant la pensée du moment déclarait que la marqueterie était pratiquée par ceux qui avaient plus de patience que de talent! Vasari pensait d'ailleurs que les travaux d'Uccello étaient une perte de temps.

Le climat artistique changea profondément et le milieu du XVIème vit l'apparition d'un Michel-Ange qui s'éleva contre une formulation trop stricte des règles de perspective.

Bientôt les mathématiques tant honorées le siècle précédent furent dénigrées avec vigueur. Zuccari rejeta même complètement l'apport des mathématiques dans la peinture.

Le désintérêt de la perspective sonna le glas de la marqueterie. En fait après 1525, les travaux de marqueterie n'étaient plus réalisés que d'après des cartons sans grande valeur artistique, les marqueteurs devenant ainsi de pâles imitateurs de peintures, alors qu'il avaient été à l'origine des plus grandes avancées dans le domaine de la perspective, ce qui permit au peintre de se les approprier.

Au regard de l'histoire, les marqueteurs méritent donc d'être replacés au centre de la renaissance comme ceux qui ont permis "la rationalisation de l'espace vu".

Source : Pour la Science Septembre 1982