Inclassables Mathématiques 2.0

Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont  un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.

Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!

Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.

L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques  Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.

Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.

Prenons un peu de recul: 

En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:  
 

La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.

Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.

L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.

On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.

Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation  (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.

L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de  la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui  minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.

Pour trouver le cercle, il suffit  de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).

Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:

Autour de la cycloïde "Maths en Jean"

Complètement cycloïdique "Blog Sciences"

Courbe brachistochrone "Mathcurve"

Brachistochron Problem "Wolfram"

Courbe Brachistochrone "Wikipédia"

Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"

Soap films help to solve mathematical problems

Animation GeoGebra

Source : Feuille de vigne 117 ( pas encore en ligne) de l'IREM de Dijon.

En attendant la démonstration est laissée au soin du lecteur.

La courbe en cloche est dite de Gauss et le hasard c'est de faire tomber des billes sur une grille ajourée.

Cliquez sur l'image pour voir le résultat de façon dynamique ( nécessite JAVA ).

Construire un graphique 2D ou 3D avec Archimy est un jeu d'enfant. Pour connaître la syntaxe, lancez un exemple. Vous pouvez éditer le code HTML du résultat et vous amuser avec. Je ne parviens pas à l'importer sur ce blog mais ça marche sur cet autre blog : ICI.

Le Palais de la Découverte de Paris nous propose plusieurs points d'accès aux mathématiques.

Le premier se fait au travers  des formes mathématiques ICI et en ce moment de la présentation de la courbe du jour et de plus de 150 courbes algébriques transcendantes ou ornementales. Il est possible d'imprimer une fiche en format PDF de chacune d'entre elles avec un brève explication : ICI

On y trouvera aussi :

Montre-moi des théorèmes
Les origines des mathématiques se perdent dans la nuit des temps : architectes, commerçants, ou autres corporations, ont découvert très tôt, chacun dans ses domaines, des résultats mathématiques, des techniques, des recettes qu’ils se transmettaient oralement.
6 animations du théorème de Pythagore : ICI


Somme des angles d’un triangle sphérique
Nous avons tous appris, dès le plus jeune âge, que la somme des angles d'un triangle ... vaut 180°. Oui mais les astronomes et les navigateurs savent depuis longtemps que leurs droites sont souvent tracées sur une sphère ; un triangle sur la sphère s'obtient par intersections deux à deux de trois grands cercles, qui jouent sur la sphère le rôle que jouent les droites sur le plan. Quelle est alors la somme des angles d'un triangle ?

Planter des choux…

Le deuxième point d'entrée est celui des Nombres ICI.

On y trouvera :

Autour du nombre pi
La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation, due à William Jones, en 1706, bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre. La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants. π n'a-t-il qu'un nombre fini de décimales ? En a-t-il une infinité ? 

Les palindromes.
Un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche : RADAR, LAVAL Ce peut être aussi une phrase, mais alors on ne tient pas compte de ...

« Le chemin théoriquement le plus court, parce que le plus direct, entre deux points devrait être la ligne droite. Et ce serait la ligne droite, si l’univers était parfaitement plat, plat comme la feuille blanche sur laquelle nous tentons de tracer avec application une droite entre deux points. Mais même cette feuille qui repose sur mon bureau n’est pas entièrement plate, et le trait tracé suit donc la courbure, même infime, imposée par le papier. Concrètement, le plus court chemin d’un point à un autre est une courbe qui s’accorde à la courbure du monde. L’espace abstrait rectiligne, royaume des angles droits, des lignes droites, n’existe pas. »

Jean-Marc Lévy-Leblond.  Physicien (théoricien), épistémologue (expérimentateur) et “critique de science”, Jean-Marc Lévy-Leblond est également professeur émérite de l’université de Nice, et a enseigné dans les départements de physique, de philosophie et de communication.
Il est directeur de programme au Collège international de philosophie, directeur des collections scientifiques des éditions du Seuil, et de la revue Alliage (culture, science, technique).

Une interview de France Culture qui est la dernière archive des émissions " Les évidences universelles ", elle va bientôt disparaître.... Si le sujet vous intéresse dépêchez-vous de l'écouter : ICI

Je viens de trouver sur le site de l'Académie de Nouméa, une page sur la description de ZSGCalc : ICI. Je l'ai téléchargé, c'est un logiciel polyvalent dont les fonctions vont au-delà de celles d'un grapheur, par contre je ne l'ai pas encore testé en profondeur.

Ci-dessus le résultat de la représentation de y=sin(1/x) avec ZSGCalc et ci-dessous le résultat avec Geogebra qui semble plus régulier.

Par contre je n'ai pas  trouvé sur ZSGCalc la possibilité de fixer l'échelle d'impression comme c'est possible de le faire sur Geogebra que j'utilise pour l'impression des graphiques usuels.

C'est en anglais et bien fait par Xah Lee : ICI
Allez aussi faire un petit tour à la fin de la page dans la galerie des surfaces célèbres.

Un très beau site d'objets mathématiques 3D : ICI
Un conseil : allez visiter la galerie et déplacez les objets avec votre souris.

Si vous ne connaissez pas les splines, les courbes de Bézier, vous pouvez aller faire un petit tour sur ce site : ICI

Si la théorie ne vous passionne guère, allez directement sur " illustration " ( l'animation nécessite Java ), cliquez 4 fois sur la souris pour obtenir 4 points  puis cochez sur bouger pour déplacer les extrémités et les points de contrôle et voir l'effet sur la courbe.
Pour avoir une idée de l'utilisation de ces courbes allez sur " application ". Sans oublier leur utilisation dans la quasi-totalité des jeux vidéos. Bonne visite.