Inclassables Mathématiques 2.0

Dans la vie, il y a 10 sortes de personnes: ceux qui savent compter en binaire et ceux qui ne savent pas.

Anonyme

Citation trouvée sur le blog de PapySerge : ICI

On connaît pas mal de nombres ayant du caractère: certains sont complexes, ils se plaisent à posséder une partie imaginaire, et même hypercomplexes, d'autres sont entiers, certains sont naturels et d'autres bien relatifs. Les nombres transcendants sont peut-être portés vers la philosophie. Il en est qui aiment à se dire réels ( comme s'il pouvait en exister d'irréels ). Les plus spectaculaires sont certainement les irrationnels qui aiment à se distinguer des rationnels. Certains ont de la suite dans les idées et font dans les mathématiques discrètes. Mais il est aussi des nombres qui aiment à se faire remarquer et jusqu'aux narcissiques qui se complaisent à se regarder le nombril.

Regardez-moi ce 12345679, voilà qu'il s'est fait ôté un 8, et tout cela pour qu'on le multiplie par un multiple de 9, essayez-donc, il n'en sera que plus ravi ce prétentieux, de se voir ainsi multiplié par 9, 18,27 et ainsi de suite et d'obtenir une série de clones 11111111, 22222222...!

Il y a aussi 15873 qui nous fait le même coup avec les multiples de 7, comme si un seul ne suffisait pas.

Et puis il y a ces nombres qui se prennent pour des cristaux, à les écouter se serait même des diamants. Les voilà qui arrivent ces 15 et ce 16, les 15 emboîtés dans le 16... quel manque de goût:

16
1156
111556
11115556
1111155556

Et tout cela pourquoi ? Pff, simplement pour montrer qu'ils connaissent bien les 3 et le 4

4² =16
34² =1156
334²
3334²
33334²

Quelle vanité.

Et regardez moi ces fractions, exhibant leur dix chiffres, tous différents, et tout cela pour quoi? Pour que l'on voit que ce sont des nombres entiers:

97302/48651=2
26970/13485
96174/32058=3
50382/16794
94860/23715
60948/15237
93270/18654
67290/13458
98532/14076
98760/12345
83672/10459
97524/10836
95742/10638

Et si ce n'était que cela... Mais non, il y a ceux qui veulent être à la mode. Regardez-moi ça, ces palindromes qui se précipitent! Et pourquoi? Pour être premiers, quelle affaire, quelle utilité?

188888881
199999991
322222223
355555553
722222227
111181111
111191111
777767777

Tout cela pour copier sur les aînés, bien plus célèbres qu'eux, les palindromes carrés de 1, mais si rappellez-vous:

1 = 1²
121 = 11²
12321 = 111²
1234321 = 111²
..............................

Si je vous dit que vous n'avez encore rien vu, vous ne me croirez pas !

Je connaissais les nombres parfaits qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs ( sauf lui!) , comme 6 par exemple dont les diviseurs sont 1,2 et 3 et 1+2+3=6.

Je connaissais aussi les nombres amiables qui sont des couples de nombres dont la somme des diviseurs de l'un donnent l'autre...

Attention, ce que je vais vous confier maintenant va peut-être vous choquer, mais il est important que le monde entier sache qu'il existe une espèce de nombres pire que les autres. Celle de ceux qui ne cessent de se regarder le nombril, celle de ceux qui risquent à tout instant de tomber amoureux de leur propre reflet, il s'agit des
nombres narcissiques.

Un nombre narcissique d'ordre k est un nombre qui est égal à la somme de ses chiffres élevés à la puissance k.

Si on les connaît moins bien que les autres et qu'on a bien du mal à soupçonner leur existence, c'est qu'il n'en existe pas de 2 chiffres et que 1 n'a que peu d'intérêt.

Le plus petit connu est 153, il est d'ordre 3, en effet: 153 = 1³ + 5³ + 3³

Le suivant c'est 370 car :

370 = 3³ + 7³ + 0³

115 132 219 018 763 992 565 095 597 973 971 522 401

Je demande à voir.

Ensemble ils forment même des cycles. Allez donc voir ICI et vous aurez plus de renseignements, mais ne vous étonnez pas si l'atmosphère n'est pas très respirable tellement ce lieu est peuplé d'individus imbus de leur personne.


Vous croyez avoir tout vu? Mais non, j'en ai encore à vous apprendre, d'autres nombres peuvent aussi se regarder le nombril et être qualifiés de narcissiques car on  peut s'inventer la règle que l'on souhaite.

Par exemple:

438 579 088 = 4⁴ + 3³ + ... + 8⁸ + 8⁸

Et ceux là :

81  = (8+1)²

512  = (5+1+2)³

2401  = (2+4+0+1)⁴

Ragardez moi-aussi ceux là :

114 = (1+4+4)x1x4x4

Suite à une enquête quasi-policière de Pierre Tougne dans la revue "Pour la Science" de décembre 1982, on a même appris que ce réseau très structuré dans la base 10 possédait des ramifications dans d'autres bases.

On a trouvé en base 3, le chef du réseau semble-t-il:  un nombre narcissique hyperparfait :

Son ordre , son nombre de chiffres et et sa base sont tous égaux!

Cela fait peur non ?

  (122)₃ = 17 = 1³ + 2³ + 2³

Restez vigilants et n'hésitez pas à témoigner si vous possédez quelques renseignements supplémentaires. L'enquête remonte à plus de 25 ans...


Pour un rappel sur la base des bases c'est ICI

L'idée m'est venue de publier une série de notes en utilisant comme base, les hexagrammes du Yi-king.

Le Yi-King ou Yi-Jing est basé sur un postulat que même ses plus fervents détracteurs ne pourront réfuter, à savoir que le changement est paradoxalement la seule chose permanente dans notre univers.

Je vais vous expliquer en quelques mots l'histoire et le principe de ce livre philosophique chinois dit « Livre des mutations ou des changements » dont les racines remonteraient à plus de 4000 ans avant Jésus-Christ d'après la tradition élaborée par les Han de 206 av. JC à 220 ap J.C ( historiquement un millénaire ). Les hexagrammes furent originellement utilisés par les devins chinois qui employèrent des os, des carapaces de tortue et par la suite de l'achillée à des fins divinatoires interprétant les figures selon la philosophie du Yi-king. La symbolique du Yi-king se réfère principalement au premier système structurant de la chine: il était féodal et rural. Pour ma part, je ne considérerai que la portée philosophique de ce livre déroutant, laissant de coté toute autre interprétation possible.

Le Yi-king est le fruit d'une recherche spéculative et cosmogonique élaborée, dont les articulations ont informé durablement la pensée chinoise. Sa structure mathématique a impressionné Leibniz, qui y aurait vu la première formulation de l'arithmétique binaire.

Il me semble important de vous résumer les bases de ce livre de près de 900 pages où le texte ancien est clairement dissocié des commentaires traditionnels qui le suivent. Tout naît du Yin et du Yang, du souple et du ferme matérialisés par un trait discontinu pour le premier et d'un trait continu pour le second avec la possibilité, que l'un vieillissant, peut se transformer en l'autre.

L'idée de les coupler est immédiate, deux traits discontinus l'un au dessus de l'autre forment un vieux Yin ( très ou trop souple ) et deux traits pleins forment un vieux Yang ( très ou trop rigide ). Mais quelle interprétation peut-on faire d'un trait plein et d'un trait discontinu ensemble? L'idée de jeunesse dynamique semble pertinente, mais alors qui donne le sens de cette union?

C'est celui qui est au dessous de l'autre, car il naît à la vie du bas vers le haut, telle une germination. Un trait Yin sous un Yang sera un jeune Yin, un peu trop jeune pour être sage mais plein de vitalité et il en sera de même pour la configuration inverse qui donnera un jeune Yang. C'est donc la place du dessous qui sera la place maîtresse.

L'idée d'empiler ces couples de deux traits l'un sur l'autre est aussi naturelle, le couple du dessous représenterait la terre, au milieu les traits seraient ceux de l'homme et au dessus il y aurait le ciel. Ceci constitue un hexagramme de 6 traits brisés ou non, empilés les uns sur les autres. Les plus matheux d'entre vous remarqueront qu'il y a 2 possibilités pour chacun des traits et donc 2x2x2x2x2x2=64 hexagrammes possibles ( et non 2+2+2+2+2+2 !). Les rapports entre les traits construiront le sens interne de l'hexagramme. La possibilité qu'ils ont de chacun se transformer en leur opposé donnera une dynamique externe. Cependant, l'interprétation de 3 couples de 2 traits pouvant chacun prendre 4 interprétations semblait trop pauvre, en effet que faire avec nos vieux ou jeunes yin ou yang, quel sens précis leur donner, quel sens philosophique pouvait en ressortir? Il aurait certainement été possible d'interpréter l'empilement avec ses trois couples comme éléments premiers mais une idée plus fine est apparue dans la tête de nos vieux sages chinois: et si l'on regroupait ces traits par 3 et non par 2, le sens en serait immédiat et l'hexagramme se transformerait en 2 trigrammes. Tentons l'expérience.

Trois traits pleins très durs, lumineux et rigides représenteraient le Ciel avec toute la puissance qu'on peut accorder à ce terme.

Trois traits discontinus très mous, soumis, représenteraient la Terre nourricière.

1 trait plein sous 2 traits discontinus représenteraient le Tonnerre qui jaillit, l'énergie qui naît, l'impulsion et le déclenchement.

1 trait discontinu sous deux traits pleins seraient le Vent qui pénètre tout, même ce qui est dur, le souple qui va dans le rigide, ce pourrait être aussi le Bois, par exemple celui des racines qui parviennent à venir à bout de toute construction avec le temps.

1 trait plein au milieu de deux traits discontinus matérialisent la lumière précipitée au milieu de l'obscurité. Cet hexagramme souple à l'extérieur possède aussi une force intérieure, un feu interne. Symbole de danger , d'abîme, cette énergie peut aussi s'avérer vitale. Cet hexagramme sera associé à l'Eau et à la symbolique qu'on lui connaît.

1 trait discontinu au milieu de 2 traits pleins représenteront le Feu, symbole de la séparation de ce qui était rigidement lié et de l'intelligence qui se diffuse, tout comme la souplesse de la flamme se nourrit de son combustible extérieur.Le feu se nourrit de son combustible.

1 trait plein au dessus de deux traits discontinus seront la Montagne, immuable, inébranlable. La lumière et la force en haut domine de sa majesté toute la vallée douce.

1 trait souple au dessus de 2 traits pleins seront le calme du Lac, ou des nuages. Un endroit paisible où la douceur passe au dessus de la rigidité.

L'interprétation de ces trigrammes peut se faire de façon anthropomorphique, chacun d'entre eux pouvant s'interpréter comme des qualités ou des défauts, devenir de pâles traits de caractères de l'homme ordinaire ou au contraire des qualités parfaites de l'homme noble. Il peuvent aussi être associés à des membres de la famille, le père la mère et les enfants dont la présence minoritaire d'un trait détermine le sexe de ce membre de la fratrie. Ce peut être aussi des directions, très importantes à l'époque considérée ( invasions, intempéries...). Ils possèdent des dynamiques propres, le Ciel monte et la Terre descend, l'Eau descend et le Vent monte et pénètre, la Montagne immobilise, le Tonnerre et le Feu montent.

Dans un hexagramme, chaque place peut s'interpréter de façon particulière et avoir un lien privilégié avec une autre place. Si l'on numérote les places de bas en haut et de 1 à 6, le premier trait (celui du bas), est faible donc Yang,c'est par lui que tout commence. Au dessus de lui, la place Yin est celle du haut fonctionnaire, il possède un peu d'autonomie mais pas d'indépendance. Le 3ème trait termine le premier trigramme mais voit au dessus de lui le trigramme supérieur entier ce qui rend sa position délicate. Le 4 ème trait, le premier du 2ème trigramme est celui du ministre et c'est le 5ème trait qui possède la position du souverain, 5ème trait qui gouverne l'hexagramme, sa place devant être Yang car c'est ici que se prennent les décisions et que la force doit être concentrée. Le 6ème trait un peu trop au dessus des choses de ce monde, est celle du sage ou de l'insensé, du visionnaire ou de celui qui arrive trop tard, lorsque tout est consommé. Les relations entre les traits sont donc codifiées et il est possible que certains soient isolés ou au contraire en harmonie suivant leur place et le fait qu'ils soient Yin ou Yang.

Il faut faire attention à une interprétation trop rapide des hexagrammes que je vais illustrer par deux exemples: considérons l'hexagramme où tous les traits seraient à leur place, le premier Yin puis la seconde Yang, on voit en poursuivant ainsi que l'eau est sous le feu, feu qui monte et eau qui descend... Pas très bon tout cela! Et pourtant tous les traits sont à leur place, alors quel est le problème ? Et bien le problème c'est justement ça, car la roue tourne et le fait que les choses soient à leur place demande la plus grande vigilance, car il n'y a que très peu de raisons que la situation dure bien longtemps, nous sommes donc Après l'Accomplissement, il est déjà bien tard. Une situation qui paraissait parfaite statiquement devient, lorsqu'on l'interprète à la lumière des changements, bien inconfortable.

Un deuxième exemple permet aussi d'illustrer une situation du même type. Considérons l'hexagramme constitué de 3 traits discontinus au dessous de 3 traits continus, soit le Ciel au dessus de la Terre. Quel paysage de rêve pourrait-on penser! Pas si sûr car la Terre descend et le Ciel monte, cet hexagramme n'augure pas une situation très favorable, il est d'ailleurs associé au déclin, à la décadence, à l'obstruction alors que l'hexagramme symétrique du premier où la Terre est au dessus du Ciel, traduisant ainsi une volonté d'entraide et de rapprochement. Il n'est pas du tout associé à un monde renversé, la tête en bas, mais bien au contraire à la prospérité, à la tranquillité.

C'est donc autour de cet univers  du Yi-king que j'ai décidé de produire 64 textes s'appuyant sur les messsages des hexagrammes, qui refléteront ma passion pour les mathématiques et les sciences en général,  mon esprit plongé dans notre monde actuel, emporté avec les différents flux de tous ordres qui nous assaillent, par le tourbillon de la vie et de ses changements inéluctables. Il est intéressant de mettre en parallèle une Philosophie du Changement et la Science immuable et définitive qu'est La Mathématique. Je ne sais pas si cette idée sera menée à son terme, si elle est bonne et si j'aurai le courage d'écrire autant de textes. J'essayerai toujours de maintenir cet équilibre de l'ouverture maximale et du souci de la rigueur qui m'ont animés jusqu'à maintenant pour alimenter ce blog.

J'espère que l'idée vous séduira, en tout cas, en ce qui me concerne elle m'intéresse. Le choix des hexagrammes est entièrement aléatoire et est généré par la séquence Int ( 64*Ran#+1) de ma calculatrice. Le premier numéro qui est tombé est le 62, il correspond dans le classement arbitraire des hexagrammes au Tonnerre sur la Montagne, c'est à dire au Petit en excès, à l'Accouchement du petit. Si le sujet vous intéresse, je vous envoie sur l'adresse suivante pour vous permettre de vous habituer un peu à cette philosophie ICI et sur Wikipédia ICI, en attendant la note que je vais commencer à écrire. J'espère qu'elle sera prête pour Noël. N'hésitez pas à me laisser votre avis sur cette idée farfelue ou intéressante.

La traduction de Philastre téléchargeable en cliquant sur le livre:

Leibniz et le Yi-king ( Minces Extraits de Leibniz et la Chine d'Olivier Roy) : ICI

Explication de l'arithmétique binaire,

Peinture Muriel Bonneville : ICI

Les jeux sérieux, c'est du sérieux. Ils constituent une catégorie très bien définie des jeux vidéos dont certains d'entre eux peuvent avoir un usage pédagogique.

Les Serious Games (ou jeux sérieux) sont des applications développées à partir des technologies avancées du jeu vidéo, faisant appel aux mêmes approches de design et savoir-faire que le jeu classique (3D temps réel, simulation d'objets, d'individus, d'environnements…) mais qui dépassent la seule dimension du divertissement.
Véritable outil de formation, communication, simulation, ils sont en quelque sorte une déclinaison utile du jeu vidéo au service des professionnels.


Cinq catégories ont été proposées par Les universitaires Julian Alvarez et Olivier Rampnoux pour classer ces "serious games": Advergaming, Edutainment, Edumarket game, Jeux engagés et Jeux d’entraînement et simulation.

 

1. Advergaming

Ces serious games se destinent principalement à la publicité.

2. Edutainment

Ces serious games ont une vocation éducative.

3. Edumarket game

Le néologisme “Edumarket game” a été créé en 2006 par les universitaires Julian Alvarez et Olivier Rampnoux, les créateurs d’un serious game nommé Technocity. Edumarket game vient de l’anglais edu pour « education », de market « marché » et de game, « jeu » et pourrait se traduire par “jeu dont l’intention est d’éduquer sur un type de marché”. Les Edumarket games s’inscrivent donc dans le registre des outils dédiés à la stratégie de communication en s’appuyant sur les ressorts du jeu vidéo, mais en intégrant également un aspect éducatif.

Les Edumarket games permettent d’aborder notamment le registre des enjeux sociaux. Comme par exemple, le jeu Food Force qui a été lancé par les Nations Unies courant 2005, en libre accès sur le web, avec des localisations par pays (Italie, France, Pologne, Chine, Japon,…) et dont la vocation est de sensibiliser les enfants aux missions humanitaires que mènent les Nations Unies dans leurs combats quotidiens contre la famine.

4. Jeux engagés

L’objectif de cette catégorie de serious games est de détourner soit :

• les règles classiques des jeux vidéo. Par exemple en privant le joueur de la possibilité de pouvoir gagner un jour (September the 12th), ou encore en lui demandant de perdre pour gagner (AntiWar game)…

• les graphismes de titres connus : par exemple Anne-Marie Schleiner, Brody Condon et Joan Leandre proposent aux joueurs d’apposer des patches graphiques de propagandes pacifistes (Velvet-Strike) au sein du jeu de tir à la première personne (FPS) “Counter Strike”.

• à la fois les règles et les graphismes : Appelés Mods (abréviation de “Modifications”), ces patches modifient en profondeur des jeux connus. Comme par exemple le Mod “Escape from Woomera” qui transforme le FPS “Half Life” en un camp de réfugiés réellement situé en Australie, pour dénoncer l’existence de ce camp.

Les jeux détournés ont souvent pour vocation de dénoncer de façon directe des problèmes d’ordre politique ou géopolitique. Gonzalo Frasca, chercheur au Center for Computer Game Research de l’université de Technologie de l’information (IT) de Copenhague, Danemark, est un expert reconnu dans ce domaine. L’une de ses réalisations, September the 12th, par exemple, dénonce l’utilisation de la violence pour tenter d’endiguer le terrorisme.

5. Jeux d’entraînement et simulation

Ces serious games ont pour vocation soit :

• de permettre à l’utilisateur de s’entraîner à exécuter une tâche ou une manœuvre donnée
• d’étudier un phénomène s’inspirant du réel qui a été reproduit dans un environnement virtuel.

Vous trouverez toutes les informations sur un blog consacré à ce sujet : http://www.jeux-serieux.fr/ édité par le non moins sérieux CERIMES : Centre de Ressources et d'Information sur les Multimédias pour l'Enseignement Supérieur.


Mais revenons à notre jeu sérieux :

Binary Game est un casual game  réalisé pour CISCO. Binary Game montre qu’il n’y pas besoin de concevoir forcément des jeux de grande envergure pour qu’ils aient une utilité reconnue. Conçu comme un classique casual game pour le web, ce jeu utilisé par CISCO dans la formation aux mathématiques binaires a connu un très grand succès auprès des utilisateurs.

J'avais fait une note sur les bases des bases, voilà la séance de Travaux Pratiques pour la base 2 :

BINARY GAME

Mais attention, une fois que vous aurez compris le principe... l'addiction est garantie, je veux vous revoir passer sur mon blog régulièrement....

Sur l'utilisation pédagogique des jeux : ICI

Dans l'histoire des nombres, il est quelquefois difficile de faire la différence entre un zéro linguistique, indiquant une absence ou un vide, ou un zéro ayant statut de nombre. En 458, un texte en sanscrit traitant de cosmologie, le Lokavibhaga, est la plus ancienne attestation connue de l'emploi du zéro, qu'on écrit "vide" (en sanscrit !) pour indiquer une unité manquante. Le premier zéro sous la forme d'un rond semble être apparu en 605 dans ce qui est actuellement le Cambodge... mais si cette région était sous tutelle chinoise à l'époque, elle pratiquait de nombreux échanges avec l'lnde: chacun y retrouvera ses petits ! Dans "Le calcul indien'' cité plus haut, Khwarizmi écrit à peu près: ''pour que la position ne soit pas vide, on écrit un petit cercle en forme de O n'ayant aucune signification". Vers 850, Mahavira définit enfin le zéro comme Ia somme de deux nombres opposés. On connaît la suite.

Le fichier PDF de Michel Soutif qui précise les connaissances sur l'apparition du zéro dans " La numération décimale de position " ICI

La page dont est extraite le texte ci-dessus : ICI

L'histoire ( rapide ) des zéros : ICI et ICI

Lorsque l'on est mathématicien, informaticien ou ingénieur, la base binaire ou hexadécimale ne comporte aucun secret. Cependant lorsque l'on a fait une terminale L, que l'on est étudiant(e) en sciences du langage et que l'on a choisi l'option maths, calculer en base 4 n'a rien d'évident comme de se rappeler du cours de primaire sur la numération de position.

Depuis bien longtemps, on n'a plus besoin du concept de base pour comprendre 2 345 et pour faire une addition simple. Du moins on a oublié ce qu'était la base de la base 10 et la numération positionnelle.


Retour sur la base 10

Nous écrirons les nombres avec des séparateurs et nous les lirons dorénavant en commençant par la droite contrairement à ce que nous faisons usuellement.

2345 devient 2.3.4.5 et on lit le 5 puis le 4 puis le 3 puis le 2

La première place ( à gauche ) est celle des unités, ici c'est 5

Pour écrire des unités en base 10 il nous faut 10 caractères ( ce sont nos chiffres ):

        - Le premier pour indiquer qu'il n'y a pas d'unité, nous choisirons le caractère 0
        - puis 9 autres caractères pour comptabiliser, nous choisirons 1,2,3,4,5,6,7,8,9

En base 10, la deuxième place, ici occupée par 4 est celle des "10"aines, 10 est justement lié à la base dans laquelle on compte.

En se décalant encore vers la gauche d'un cran, la troisième place occupée par 3 est celle des "10x10" aines, donc des centaines.

On se décale encore vers la gauche, la dernière place ( ici) occupée par un 2 est celle des "10x10x10"aines que l'on appelle les milliers.

Ainsi par reconstruction additive de ce nombre, il correspond exactement à 3 unités + 4 dizaines + 3 centaines + 2 milliers !

Vous avez sans doute remarqué que les mêmes caractères sont utilisés pour la comptabilité des dizaines, des centaines et des milliers et que l'on peut poursuivre ces raisonnements pour des nombres contenant plus de chiffres et donc s'augmentant vers la gauche suivant le même principe.


        L'addition en base 10.

      C'est très simple lorsque l'on est à 9 unités et que l'on veut en ajouter 1 supplémentaire:

     - d'une part je n'ai plus de caractère à ma disposition pour indiquer 10 unités à la place des unités
     - d'autre part j'ai un moyen très simple de le faire en indiquant que :

       9 unités + 1 unité = 1.0  qui se lit " zéro unité + une "10"aine"

     C'est le principe "élémentaire" de la retenue, principe qui peut se reproduire sur les "10"aines, les "10x10" aines,   etc

L'exemple de la base 4

Nous allons reprendre les mêmes raisonnements:


Combien faut-il de caractères pour écrire un nombre en base 4 ?

Par analogie avec la base 10, il en faut 4: le 0 pour indiquer l'absence et 3 autres caractères 1,2,3.

Considérons le nombre 321 que l'on écrit 3.2.1 et qu'on lit à partir de la droite

Le 1 est à la place des unités
Le 2 est la place des "4"aines, 4 est lié à la base, nous sommes en base 4 !
Le 3 est à la place des "4x4"aines soit des "16"aines

Par reconstruction additive, on obtient la valeur de ce nombre dans notre bonne vieille base 10

3.2.1 en base 4 est égale à 1 unité + 2 "4"aines + 3 "16"aines soit 1+8+48= 57 en base 10


        Et l'addition en base 4 ?

        On utilise le même principe de retenue qu'en base 10, sauf qu'en base 4, le dernier caractère  permettant la comptabilité est 3, ainsi:

         3+1 = 1.0
         3+2 = 1.1
         3+3 = 1.2
         3+ 1.0 = 1.3
         3 +1.1 = 2.0 etc


Un autre exemple, celui de la base 12

Toujours par analogie avec la base 10, il faut 12caractères, le 0 pour l'absence, 1,2,3,4,5,6,7,8,9 mais il manque 2 caractères, on ne peut pas utiliser 10 et 11 car il sont formés de plusd'un caractère et on perdrait le coté " positionnel " de notre numération.

Par exemple 101 pourrait se lire 1.0.1 ou 10.1 !

Nous allons donc utiliser les lettres de l'alphabet: le A correspondra au 10 et B au 11.

Ainsi le nombre 1.A.B correspondra à B ( 11 en fait ) unités + A ( 10 en fait ) "12"aines + 1 "12x12"aine soit 11+120+144 = 275 en base 10

        Et l'addition ?
        En base 12 : B+1= 1.0   !


Et pour vous aider dans votre travail, un petit convertisseur bien sympathique ( utiliser impérativement le pavé numérique ) : ICI


Vous pouvez par exemple, essayer de convertir un nombre donné en base 10 vers une base quelconque !

Par exemple convertir 121 en base 12 puis en base 5 puis en base 2 !

C'est à vous et on ne copie pas...