Inclassables Mathématiques 2.0

Source: Let's play maths!

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L'Ecole d'Athènes est une fresque réalisée par le peintre Raphaël entre 1509 et 1510. L'oeuvre fait près de 8 mètres de large sur 2,5 mètres de hauteur.

Cette fresque symbolique présente les figures majeures de la pensée antique. Les personnages sont représentés en des places et des postures particulières, ornés de certains attributs, ce  qui permet d'en identifier certains. Ils sont disposés sur deux lignes horizontales principales, et sont séparés par une verticale nettement discernable, ce qui confère à ce tableau ordre et symétrie parfaite.  L'Ecole d'Athène représente un haut lieu de culture philosophique, dont l'humanisme transpire d'ailleurs du tableau, qui s'oppose à la culture théologique. Le cadre architectural est classique. On ne peut s'empécher d'y voir le souvenir des termes romains. Cet environnement fait contrepoid aux univers mythologiques souvent présents dans les tableaux de Raphaël. Le regard du spectateur se dirige en premier lieu vers le centre du tableau où se tiennent debout les deux personnages principaux: Platon (14) et Aristote (15) , majestueux et habillés de la toge romaine. Platon tient le Timée, et pointe le doigt vers le haut pour montrer que la connaissance procède d'un mouvement ascendant, qui va de la terre au ciel de l'idéal philosophique, alors qu'Aristote,  dirige la paume de la main vers le sol indiquant que tout idéal philosophique ne peut exister que dans le monde d'ici-bas.

Tous les personnages sont référencés dans l'article de wikipédia. Il semble qu'il y ait quelques doutes sur l'identité de certains d'entres eux. Nous nous arréterons dans cette note à la seule composante "mathématique" des figurants de cette fresque

Une lecture dynamique de cette fresque est possible ICI . On y voit en particulier les éléments de perspective, d'éclairage et la présence du nombre d'or ( rectangles et carrés ) au centre de la scène. Une étude des éléments de perspective du tableau est disponible ICI.

La première question qui vient à l'esprit est Y a-t-il des maths dans le Timée que tient Platon à la main? ( que j'espère tout le monde a lu !).

La réponse vient sans se faire attendre puisque s'il n'y a pas de mathématiques pures dans le Timée ( le problème du doublement de la surface d'un carré se trouve par exemple dans le Ménon ), il y a bien la présence des quatre solides réguliers de l'espace sur cinq,  dit d'ailleurs de Platon. Les mathématiciens de l'époque connaissaient leur existence. Ces joyaux géométriques sont formés à partir des trois polygones réguliers suivants: le triangle équilatéral, le carré et le pentagone régulier donnant naissance en les rapprochant dans l'espace autour d'un sommet aux cinq polyèdres suivants: le tétraèdre (chaque sommet voit trois triangles équilatéraux) , l'octaèdre (chaque sommet voit quatre triangles équilatéraux), l'icosaèdre (chaque sommet voit cinq triangles équilatéraux), le cube (chaque sommet voit trois carrés), et le dodécaèdre (c'est celui qui manque et chaque sommet voit trois pentagones réguliers). En fait une fois l'existence de ces merveilleux objets établie, montrer qu'il n'en existe pas d'autres est très simple puisqu'il suffit de constater que si l'on place  six triangles équilatéraux dans un plan autour d'un sommet commun on occupe la totalité des 360° disponibles et on ne peut pas les replier dans l'espace. Il en est de même avec un sommet qui verrait quatre carrés de 90°, ce qui remplit aussi l'espace. Quatre pentagones ayant un sommet commun se recouvrent déjà dans le plan, impossible donc de les replier dans l'espace pour former un volume!

Le recherche d'harmonie est sous-jacente à la construction de cet univers tridimensionnel parfait et si le triangle équilatéral et le carré sont à son origine, c'est parce que ces deux figures peuvent être formée à partir des éléments "atomiques" de la géométrie que sont les triangles rectangles. Un triangle équilatéral peut se concevoir en juxtaposant  deux triangles rectangles dont les deux cotés adjacents à l'angle droit mesurent la moitié l'un de l'autre, mais c'est une construction encore plus harmnieuse que choisira de présenter Platon dans le Timée qui utilise non pas deux mais six triangles rectangles. Il est aussi possible de former un carré à partir de deux triangles rectangles isocèles. Il devient ainsi plus aisé de comprendre pourquoi le dodécaèdre formé à partir de pentagones réguliers ( qui ne peuvent se construirent à partir de triangles rectangles ) a été découvert plus tardivement. On notera sans doute la forte influence pythagoricienne dans ces raisonnements.

Tout ceci est remarquablement illustré, expliqué et apparait sous forme animée sur le site IcosaWeb dans une page intitulée "Les corps platoniciens "

Mais l'objectif de Platon était en fait de mettre ces quatre volumes parfaits en relation avec le monde d'en bas ( Platon associera l'éther au dodécaèdre plus tardivement), et si vous avez parcouru la page précédente, vous n'avez pas pu manquer le fait que ces quatres corps de base ont été associés à deux éléments dont l'existence est garantie par le toucher et la vue: la terre et le feu et deux éléments "nécessaires" pour garantir deux moyens proportionnels: eau et l'air. L'idée est encore atomiste, les quatre éléments sont les briques insécables à partir desquelles peut se construire (penser) le Monde de façon harmonieuse. André Ross explique cela très bien dans l'article suivant intitulé "Mathématiques et civilisation" ainsi que dans Platon et les mathématiques".

Si l'on considère que la figure de référence du plan est le carré dont chaque coté peut être partagé dans un rapport a et b.  Trois "nombres-surface" suffisent pour recomposer le carré : aa, ab et bb.

Alors que si l'on découpe un cube dans les mêmes proportions, il faut quatre "nombres-volume" et donc quatre éléments ( or l'univers est bien tridimentionnel!) : aaa, abb, aab, bbb et le fait qu'ils soient en proportion géométrique garantira l'harmonie de la construction!

On a donc bien présent dans le Timée la première équation mathématique modélisant le monde. Les mathématiques aparaissent comme le langage intermédiaire permettant de faire le lien entre le monde d'en bas imparfait et périssable et le Ciel des Idées parfait et intemporel :

Dans ce livre, en pointant son doigt vers le ciel, c'est ce message que Platon envoie au monde terrestre et qui, je le pense, reste encore bien présent de nos jours.

La seconde question qui peut-être intéressante est de savoir quels sont, dans ce tableau, les personnages ayant un rapport privilégié avec les mathématiques?

On trouve peut-être en 1, Zénon d'Elée qui est à l'origine  des premiers paradoxes de type "mathématique". On se rappellera d'Achille qui ne peut pas rejoindre la tortue et de la flèche qui n'atteint jamais son but. - (Diaporama)

En 6, il s'agit de Pythagore (VIème siècle avant J.C.) dont le nom est très connu mais dont le personnage possède encore beaucoup de mystères, historiques d'une part et sur qui qu'il était vraiment.

En 9, Hypatie première femme mathématicienne connue au destin tragique, apparaît peut-être sous les traits de Francesco Maria I^er della Rovere.

En 18 Euclide ou Archimède pourraient être représentés sous les traits de Bramante, maître et protecteur de Raphaël.

Les principaux représentants antiques des mathématiques ( sauf Thalès ) semblent donc présents, certes sous d'autres traits, mais c'est aussi le cas pour Platon qui a prit les traits de Léonard de Vinci pour l'occasion.

En ce qui concerne Pythagore, on pourra consulter les liens suivants afin de mieux connaître cet homme prédicateur, qui fonda une communauté religieuse et politique composée exclusivement d'hommes vétus de blancs fuyant les femmes en couche, qui évitent de rentrer dans la maison d'un mort, refusent de croquer une fève ou de manger un oeuf, qui doivent respecter la règle du silence et une discipline stricte tout en exaltant le courage et l'honneur du combat. En fait la communauté est partagée entre deux attitudes correspondant à celles des deux leaders. Il y a d'un coté les adeptes de Pythagore, le mage ascète, replié sur lui, retiré de la cité, inquiet de toutes les formes d'impuretés qui pourrait faire obstacle au salut de l'âme et de l'autre, les pythagoriciens "politiques" qui suivent Milon de Crotone son gendre, mangent de la viande, acceptent le monde de la cité avec l'intention d'agir sur lui pour le transformer .

Pythagore fut le premier à envisager le nombre sous une perspective religieuse et mystique, libérant au passage les mathématiques de leur seule visée utilitaire à laquelle ils étaient cantonnés jusque là et c'est cette forme de pensée qui a résisté au temps. (Universalis ).

Pour compléter sur Pythagore:

Les diaporamas d'André Ross

Pythagore, la géométrie des nombres

Pythagore, des triplets au théorème

Pythagore, moyennes et proportions

Pythagore par l'Encyclopédie de l'Agora

Pour un rappel de la contribution de Pythagore dans l'histoire des mathématiques : La brève histoire des mathématiques

A noter : J.-F. Mattei : Pythagore et les pythagoriciens (Que sais-je n° 2732)

On pourra aussi lire le passage pittoresque suivant sur les purgations physiques et spirituelles d'André Dacier, philologue né en 1651 dans La vie de Pythagore, ses symboles; La vie de Hiéroclès et ses vers dorés:

Il en est, comme dit Aristote, qui d'une farousche stupidité, en font les desgoustez. J'en cognoy d'autres qui par ambition le font. Que ne renoncent ils encore au respirer ? que ne vivent-ils du leur, et ne refusent la lumiere, de ce qu'elle est gratuite : ne leur coutant ny invention ny vigueur ? Que Mars, ou Pallas, ou Mercure, les substantent pour voir, au lieu de Venus, de Cerez, et de Bacchus. Chercheront ils pas la quadrature du cercle, juchez sur leurs femmes ? Je hay, qu'on nous ordonne d'avoir l'esprit aux nues, pendant que nous avons le corps à table. Je ne veux pas que l'esprit s'y clouë, ny qu'il s'y veautre : mais je veux qu'il s'y applique : qu'il s'y see, non qu'il s'y couche. Aristippus ne defendoit que le corps, comme si nous n'avions pas d'ame : Zenon n'embrassoit que l'ame, comme si nous n'avions pas de corps. Touts deux vicieusement. Pythagoras, disent-ils, a suivy une philosophie toute en contemplation : Socrates, toute en moeurs et en action : Platon en a trouvé le temperament entre les deux. Mais ils le disent, pour en conter. Et le vray temperament se trouve en Socrates ; et Platon est plus Socratique, que Pythagorique : et luy sied mieux.

Quand je dance, je dance : quand je dors, je dors. Voire, et quand je me promeine solitairement en un beau verger, si mes pensees se sont entretenuës des occurrences estrangeres quelque partie du temps : quelque autre partie, je les rameine à la promenade, au verger, à la douceur de cette solitude, et à moy. Narure a maternellement observé cela, que les actions qu'elle nous a enjoinctes pour nostre besoing, nous fussent aussi voluptueuses. Et nous y convie, non seulement par la raison, mais aussi par l'appetit : c'est injustice de corrompre ses reigles.

Quand je vois, et Cæsar, et Alexandre, au plus espaiz de sa grande besongne, jouïr si plainement des plaisirs humains et corporels, je ne dis pas que ce soit relascher son ame, je dis que c'est la roidir, sousmettant par vigueur de courage, à l'usage de la vie ordinaire, ces violentes occupations et laborieuses pensées. Sages, s'ils eussent creu, que c'estoit là leur ordinaire vocation, cette-cy, l'extraordinaire. Nous sommes de grands fols. Il a passé sa vie en oisiveté, disons-nous : je n'ay rien faict d'aujourd'huy. Quoy ? avez-vous pas vescu ? C'est non seulement la fondamentale, mais la plus illustre de vos occupations. Si on m'eust mis au propre des grands maniements, j'eusse montré ce que je sçavoy faire. Avez vous sceu mediter et manier vostre vie ? vous avez faict la plus grande besoigne de toutes.

Montaigne Essais Livre III chapitre XIII " De l'expérience " .

Pythagore voyait dans les nombres la musique de l'univers. Elle se laissa quant à elle gentiment "mathématiser". Il fut celui qui relia le nombre à la musique. Certains grands noms lui emboîtèrent le pas, comme Kepler, ce que lui reprocha d'ailleurs Madame du Châtelet dans ses commentaires des Principia. Aujourd'hui un nouveau pas est franchi, qui serait celui de la découverte d'une vérité originelle, d'un retour aux sources. Les mathématiciens grecs eurent bien des difficultés à relier les nombres et la géométrie, c'était d'ailleurs cette dernière qui prédominait dans leurs esprits au détriment des premiers, plus difficles d'accès. La musique quant à elle était naturellement reliée au nombre et elle y est restée jusqu'à la musique contemporaine, celle de Xénakis par exemple. Il n'existait jusqu'à aujourd'hui qu'un unique couple possible,  musique et nombre,  même si les générations successives se sont permises qulelques libertés, jusqu'à y introduire le chaos et de hasard.

Nous allons pouvoir à partir d'aujourd'hui, commencer à concevoir la musique de façon géométrique. Une révolution est en marche.

Pour compléter:

Musique et mathématiques au Moyen-Age: ICI

Le Palais de la Découverte de Paris nous propose plusieurs points d'accès aux mathématiques.

Le premier se fait au travers  des formes mathématiques ICI et en ce moment de la présentation de la courbe du jour et de plus de 150 courbes algébriques transcendantes ou ornementales. Il est possible d'imprimer une fiche en format PDF de chacune d'entre elles avec un brève explication : ICI

On y trouvera aussi :

Montre-moi des théorèmes
Les origines des mathématiques se perdent dans la nuit des temps : architectes, commerçants, ou autres corporations, ont découvert très tôt, chacun dans ses domaines, des résultats mathématiques, des techniques, des recettes qu’ils se transmettaient oralement.
6 animations du théorème de Pythagore : ICI


Somme des angles d’un triangle sphérique
Nous avons tous appris, dès le plus jeune âge, que la somme des angles d'un triangle ... vaut 180°. Oui mais les astronomes et les navigateurs savent depuis longtemps que leurs droites sont souvent tracées sur une sphère ; un triangle sur la sphère s'obtient par intersections deux à deux de trois grands cercles, qui jouent sur la sphère le rôle que jouent les droites sur le plan. Quelle est alors la somme des angles d'un triangle ?

Planter des choux…

Le deuxième point d'entrée est celui des Nombres ICI.

On y trouvera :

Autour du nombre pi
La longue histoire du nombre π commence bien avant qu'Euler ne rende populaire cette notation, due à William Jones, en 1706, bien avant que π (rapport du périmètre au diamètre d'un cercle) ne soit considéré comme un nombre. La quête du nombre π et de ses décimales accompagne toute l'histoire des nombres et de la compréhension des nombres entiers, décimaux, rationnels, irrationnels, algébriques, transcendants. π n'a-t-il qu'un nombre fini de décimales ? En a-t-il une infinité ? 

Les palindromes.
Un palindrome est un mot qui se lit de la même façon de gauche à droite que de droite à gauche : RADAR, LAVAL Ce peut être aussi une phrase, mais alors on ne tient pas compte de ...

Bien évidemment, ce n'est pas Pythagore. Ce serait trop simple. Tout comme Archimède et sa baignoire ou Newton et sa pomme, bien des légendes se sont construites au fil du temps. On ne sait même pas si Pythagore s'est un jour intéressé à ce théorème, connu bien avant lui comme le montrent des tablettes babyloniennes en argile, datant de 1800-1700 av. J.-C. On y trouve des séries de chiffres qui satisfont à ce théorème dit de Pythagore. Rappelons qu'il stipule que dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La fameuse formule a² = b² + c².

On ne sait pas grand-chose de la vie de Pythagore et il n'a laissé aucun écrit direct. Mais qu'il ait été à son époque un « grand » des mathématiques n'est pas contestable. L'époque à laquelle il vivait est d'ailleurs particulièrement riche en grands esprits. Pythagore est né vers 570 av. J.-C. sur l'île de Samos, comme Archimède deux siècles plus tard. Pythagore est contemporain de Confucius et Lao-Tseu, de Bouddha et de Zarathoustra. Mais il ne les connaissait sans doute pas. Après avoir apparemment beaucoup voyagé, il se fixe à Crotone en Calabre, dans le sud de l'Italie (il y mourra vers 480 av. J.-C.). Là, il fonde une espèce de fraternité mystique basée sur les mathématiques et les nombres qui, pensent-ils, sont à la base de l'harmonie universelle. « Tout est nombre » est leur principe et ils attribuent à toute chose un nombre. Ils établissent aussi une correspondance entre les nombres et les mécanismes de la nature. « Les nombres seuls permettent de saisir la nature véritable de l'univers », affirment-ils. Ils croient à la réincarnation, Pythagore lui-même s'estimant la réincarnation d'Euphorbe, un héros troyen. Ils ont des règles de vie strictes comme manger cru et végétarien, ne pas s'habiller de laine ou... ne surtout pas manger de haricots.
Si Pythagore n'est pas l'auteur de « son » théorème, son école a apporté de nombreuses nouveautés en mathématiques. En premier lieu parce que les pythagoriciens avaient une vision du monde très en avance sur leur époque. Ils pensent ainsi, déjà, que la Terre est ronde et que les astres se déplacent sur des cercles concentriques qui obéissent à des lois mathématiques. Il invente ainsi le terme « cosmos » qui veut dire ordre. Ce sont aussi les premiers à développer les démonstrations (le théorème de Pythagore peut aujourd'hui se démontrer de plus de 350 façons différentes). Et ils ont beaucoup étudié les sons et les notes de musique, établissant les harmoniques, les accords et le rapport entre longueurs des cordes et sons.

En revanche, ils refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », de « non-existence » et que donc la nature refuse, et s'empêtrent dans les nombres dits « incommensurables » que l'on appelle aujourd'hui irrationnels. C'est-à-dire que ce ne sont ni des entiers, ni des fractionnaires. Les pythagoriciens ont découvert qu'il est impossible de trouver deux nombres entiers tels que le carré de l'un soit le double du carré de l'autre. Cette question des nombres irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre entier de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté. Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre est associé à chaque chose. Ils ont quand même beaucoup développé l'arithmétique, ont fondé les bases de la théorie des proportions et étudié les nombres pairs et impairs.
Mais comme de nombreux autres domaines scientifiques, il n'y a pas eu de progression linéaire et constante. Il y a parfois des avancées, parfois des reculs. Au XVIIIe siècle av. J.-C., les Mésopotamiens savaient résoudre des équations du second degré, ainsi que quelques équations du troisième et même du quatrième degré. Deux siècles plus tard, ce savoir se sera apparemment perdu et les Égyptiens ne sauront plus résoudre que des équations du premier degré.
L'histoire du zéro est aussi zigzagante. Si les pythagoriciens refusaient le zéro, longtemps avant eux, les Babyloniens l'utilisaient. Mais dans des formes balbutiantes. Toutes les civilisations, indiennes, mayas et autres, ont, à un moment ou à un autre, flirté avec le zéro. Et le plus difficile pour nous aujourd'hui est d'arriver à comprendre comment on pouvait faire des calculs sans le zéro tel que nous le connaissons, à la fois quantité nulle et chiffre des dizaines, centaines, milliers, etc.

L'article original : ICI

Toutes les chroniques de Jean-Luc Nothias sur www.lefigaro.fr/sciences

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La Gallerie complète de Serge Secconi à ne pas manquer : ICI

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C'est ICI

Une ressource exceptionnelle sur la vie de Pythagore.
Laërce, Diogène : Vies, doctrines et sentences des philosophes illustres (traduction Robert Genaille, 1933) : ICI