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Paradoxes, limitations,erreurs - Page 7

  • Une autre preuve de l'hypothèse de Riemann?

    Démontrer la conjecture de Riemann, c'est la quête du Graal en mathématiques.

    La liste de ceux ayant échoué est déjà longue : ICI

    Depuis  le 30 septembre 2008, Anne Bergstrom publie sur Arxiv des réponses aux questions posées à la pereuve qu'elle a mise en ligne. Il y a quelques jours, le 28 avril 2009, une cinquème version a été postée : ICI

    Est-ce la démonstration complète de l'hypothèse de Riemann ? Je vous laisse le soin de la réponse...

    Portrait of Bernhard Riemann (1826-1866), Mathematician

    Photo: Smithsonian Institution

  • Contrôler le chaos

    La dynamique chaotique a été depuis toujours présente en biologie, physique, chimie ou sociologie et les chercheurs scientifiques ont en permanence cherché à comprendre la mathématique qui décrit ces systèmes, en espérant un possible contrôle ultérieur. Un résultat récent montre la possibilité de contrôler les signaux chaotiques mais aussi de les amplifier. Cela pourrait sembler totalement indésirable (personne ne souhaite amplifier le niveau de bruit dans un circuit, par exemple), une analyse plus détaillée pourrait suggérer que l'amplification d'un signal chaotique peut avoir des applications extrêmement utiles.
    Le récent article, paru dans le revue Physical Review Letters, de Ioan GROSU, professeur de physique à la Faculté de Bio-ingénierie de l'Université de Médecine et Pharmacie de Iasi, en collaboration avec un groupe de scientifiques indiens, présente une méthode mathématiquement rigoureuse qui permet de déterminer la forme exacte des termes de couplage nécessaires à une synchronisation entre deux systèmes chaotiques.

    Le professeur Ioan GROSU est un expert du chaos, domaine sur lequel il travaille depuis de nombreuses années. Ce récent travail a comme base des idées plus anciennes de l'auteur dans le domaine du contrôle des systèmes non-linéaires. Ce nouveau résultat est important car il fournit une méthode de détermination analytique rigoureuse du terme qui doit être ajouté à un système chaotique qu'on le synchronise avec un autre. Cette méthode pourrait par exemple être utilisée dans l'amplification des signaux dans la communication sans fil. Depuis les années 1990, le chaos est utilisé dans les systèmes de transmissions sécurisées (cryptosystèmes) : l'information est "cachée" dans un signal porteur chaotique.

    http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/57833.htm

     

    P-chaos.JPG

  • Le jeu de la vie en 3D

    Le jeu de la vie est ce que l'on appelle un automate cellulaire. Il n'y a pas besoin d'être deux pour y "jouer". Il faut se munir d'un quadrillage sur lequel on place au hasard, ou pas,  des jetons ( ce sont les cellules). 

    Les règles du "jeu" sont d'une simplicité incroyable mais les évolutions, d'une complexité terrible, à tel point que l'issue du jeu est indécidable, c'est à dire qu'il n'existe aucun procédé permettant de connaître pour toutes les configurations initiales comment va évoluer le jeu de la vie dans le futur.

    Quelles sont ces règles ?

    Si une case vide touche exactement trois jetons, alors on met un jeton sur cette case.

    Si un jeton touche exactement deux ou exactement trois jetons, alors on le garde sinon on l'enlève.

    Puis on regarde ce qui se passe au bout d'un grand nombre de tours de jeux, que l'on appelle itérations.

    Les résultats sont surprenants !

    Apparaissent des canons à planeur, un clown ou un jardin d'Eden qui, quant à lui, est une configuration impossible à atteindre, quelque soit la situation initialement choisie.

    727860947[1].gif

    Cliquer sur l'image pour voir différentes configurations de base évoluer.


    Pour faire apparaître le clown c'est très simple, il suffit d'aller ICI, d'appuyer sur GO, de sélectionner le jeu de la vie (par défaut) à gauche et 50 à droite pour voir les cases, de cliquer sur 7 cases au milieu de l'échiquier en formant un U orienté vers le bas et de cliquer 110 fois sur "Pas" en bas. La tête de clown sera au rendez-vous.

     

    u.jpg
    clown.jpg

     

    Wolfram a eu l'idée d'empiler les états du jeu les uns sur les autres, ce qui donne pour chaque configuration initiale, une structure tridimentionnelle. Il est ainsi plus facile de suivre l'évolution dans le temps de configurations initiales particulières.

    Le rouge indique la configuration initiale et le vert l'état du jeu après le nombre d'itérations indiqué.

     

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    Et la question qui reste encore non-résolue est pourquoi cette configuration s'appelle Hockey Game ?

     

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    Pour visualiser les animations dynamiques de Wolfram, il faut télécharger le player gratuit.

  • 1125899906842624 dessins

    Avec 50 cases à cocher, affichant chacune un dessin ou un autre, vous pouvez réaliser exactement 250 jolis dessins. C'est ce que propose Wolfram ICI.

     

     

    puissance de 2.jpg

     

    Sachant que vous allez regarder à peu près un dessin par seconde, combien de temps devrez-vous avoir devant vous pour les regarder tous ?
    Impressionnant non ? Allez on se dépèche, et je suis d'accord pour repousser l'interro la semaine prochaine :)

     

     

     

  • Il était une fois les mathématiques...

    Il était une fois, il y a bien longtemps de cela, la Philosophie embrassait toutes les Sciences. Certes ce que l'on appelait Science autrefois n'avait qu'un lointain rapport avec la façon dont on les pense maintenant. Les mathématiques étaient, suivant l'usage que l'on en faisait, la philosophie que l'on choisissait, préalables à toute connaissance ou détenaient au contraire une faible valeur probatoire en rapport de la Physique. L'essentiel était qu'elles soient bien au chaud sous la coupe de mère Philosophie et qu'elles alimentent les dialogues où le mathématicien se trouvait être, selon la situation, maître du monde de la connaissance ou artisan de l'inutile. Dans chacun des deux cas, la simple connaissance de l'existence du mathématicien suffisait et il fallait laisser à ces spécialistes ou à quelques illuminés, la tâche ingrate de faire des mathématiques. Et puis vient petit à petit l'idée grandiose que l'investigation rationnelle de la nature ne pouvait se faire qu'en respectant une méthode rigoureuse et quasi-mathématique. La Philosophie devait réserver une place de choix, un espace de plus en plus grand aux mathématiques qui ne cessaient de grandir et de mûrir. Les choses commencèrent à s'améliorer nettement pour notre Mathématique et leurs représentants. L'ensemble prit d'ailleurs tellement de place qu'ils durent se séparer de la trop encombrante et lourde philosophie pour pouvoir se développer librement. La Mathesis Universalis prenait son envol. De l'enseignement des plus jeunes enfants aux grands corps d'Etat, il n'était pas d'endroit ( au moins en France ) qui ne voyait pointer le bout du nez de la Reine des Sciences. Alors les mathématiciens s'habituèrent petit à petit à parler plus forts entre eux, fiers de leur position dominante, de toutes ces choses importantes que l'on ne pouvait saisir qu'à la condition d'une pratique intensive et exigeante. Et puis vint le temps de la Grande Harmonisation, qui malgré quelques échos qui s'entendaient déjà bien forts d'une impossible puissance infinie, se fit et emporta aussi avec elle tout le flot des paroles des mathématiciens qui devaient s'incliner devant autant de rigueur et de force. Il était même de bon temps de dire que ce qui était vrai dans les mathématiques, devait aussi l'être pour leur enseignement. Alors la mathématique qui embrassait à son tour, toutes les mathématiques et les mathématiciens se mirent à réver toujours plus fort et toujours plus loin. Les mathématiciens en oublièrent d'ailleurs presque qu'il fut un temps où leur existence était quasiment décorative ou utilitaire, et que ce temps pourrait revenir très vite. Ils oublièrent aussi au passage de parler au peuple de ce que pouvait bien contenir leur science de haut vol. Mais Mère Philosophie n'était plus là pour rattraper ses marmots et l'enfant qui avait grandit devait se débrouiller seul, solitude qu'il avait d'ailleurs bien choisi. Et puis les choses commencèrent à se corser lorsqu'un certain ministre osa clamer l'inutilité pure et simple des mathématiques et presque de leur enseignement. Les mathématiciens avaient beaucoup parlé entre eux et ne s'attendaient pas à si peu de considération pour leur discipline. Puis vint la grande crise, pas une crise des fondements comme ils eurent l'habitude d'en essuyer pas mal de façon interne, mais une simple crise financière, extérieure, qui les projeta sur le devant de la scène. Ils furent accusés de tous les maux et bon nombre de procès leur fut intentés. Les mathématiques et les mathématiciens furent ébahis, car ce qu'ils prenaient pour de la grandeur, s'était transformé devant leurs yeux en décadence. Et comment lutter puisqu'ils n'avaient dit mot jusque-là sauf dans quelques cercles tellement restreints que rien ne filtrait vers l'extérieur, ils ne savaient d'ailleurs pas ce qu'était un micro ni une caméra. Comment rattraper l'étendue des dégats sans porte-voix? De l'enseignement primaire à la recherche de haut niveau, les mathématiques, déconnectées de leur sens profond, devenaient illisibles et presque inutiles à la société toute entière. Deux questions légitimes apparaissent de fait: A quoi servent les mathématiques et est-il utile de les enseigner? Si d'un point de vue interne les réponses affirmatives à ces deux questions semblent couler de source, cela est bien loin de faire l'unanimité à l'extérieur.

    L'élément le plus important est que les philosophies platoniciennes, aristotéliciennes et cartésiennes qui sont encore associées aux mathématiques ne sont plus efficaces pour répondre à ce type de questions. Elle butent sur le simple fait qu'elles n'ont pas été pensées au sein de sociétés technologiquement développées (on peut résumer en disant en gros que le développement technologique d'une société est corrélé avec sa capacité de simulation et de modélisation). Ainsi avec ce types de philosophies, il est impossible de penséer les mathématiques telles qu'elles sont et telles qu'elles devraient apparaître dans l'enseignement.

    Il semble donc urgent d'activer une philosophie sous-jacente aux mathématiques sur laquelle elles peuvent s'appuyer pour produire un discours justificateur et explicatif. Un malheur n'arrive jamais seul et non seulement les mathématiques ont été détachées de leur bases philosophiques depuis près de trois siècles mais on ne peut pas dire que la philosophie liée à la complexité du monde et aux sociétés technologiquement avancées soit en grande forme. Il manque donc le lien mais aussi le terreau.

    Il serait nécessaire que les mathématiques actuelles et leur enseignement soient associés à ce que je nommerai "la philosophie de la transmission". Le terme est suffisamment explicite et englobant pour faire sens. La transmission peut d'une part s'entendre au sens collectif ou individuel ( développement durable, générations futures, pédagogie, citoyenneté ), au sens politique ( choix décisifs ), au sens technologique ( récursivité, itération, modélisation, simulation ) ou au sens spirituel ( charité, don, action envers son prochain...). La transmission s'ancre dans l'action, la pratique et l'instant. Un développement de la philosophie de la transmission, intégrant la complexité dynamique, est devenue impérative pour solidifier l'édifice et lui permettre de s'élever à partir de racines profondes. Or force est de constater la maigreur de la littérature sur ce sujet.

    Le travail doit s'effectuer dans plusieurs champs distincts, complémentaires et inséparables.

    • Il faut modifier la philosophie sous-jacente aux mathématiques
    • Il faut modifier le discours sur les mathématiques
    • Il faut modifier modifier le discours sur l'enseignement des mathématiques

     

    • Modifier la philosophie sous-jacente aux mathématiques

    Faire évoluer et converger les philosophies qui sous-tendent les mathématiques en une philosophie de la transmission, de la pratique et de la diffusion centrée sur le moment présent et dont l'acte transcendant est le partage.

    La pensée est un acte et comme tel, elle vit dans l'instant. L'idée est sa réalisation.

    La philosophie de la transmission permet de penser le présent comme qualité potentiellement transcendante. La pratique, et la ritualisation des actes (physiques ou de pensée) redeviennent porteurs de sens en tant que balises visibles et régulières d'un chemin inconnu mais au but clairement identifié .

    Mettre le paradoxe de l'intransmissibilité au centre du questionnement philosophique.

    Replacer les mathématiques comme un élément central de la philosophie de la transmission ( rationnalité, outil, génération de problèmes philosophiques majeurs, socle des sociétés technologiquement avancées, éléments du choix et de la décision... )

    Il faut placer le récepteur, le destinataire, le lecteur, au centre de l'édifice philosophique et non pas le producteur. Ne pas le transformer en consommateur mais le penser comme agent actif et récepteur responsable d'un flux dynamique. La jouissance de l'instant se fait par mesure de son intensité et de sa qualité transmissive (interne ou externe).

     

    • Modifier le discours sur les mathématiques

    Faire évoluer le vocabulaire sur la description des mathématiques

    Elles sont utiles à la compréhension du monde et la permettent (physique, finances, interpolation, statistiques, théorie des jeux, chaos, complexité, comportements dynamiques, évolutions).

    C'est un outil indispensable aux générations futures (simulation, modélisation, extrapolation).

    Elles sont le fruit d'une synthèse universelle.

    Elles permettent de produire un discours rationnel sur les régularités et sur la complexité du monde.

    Elles permettent de parcourir de façon rationnelle un chemin inconnu.

    La pratique est la base de l'activité mathématique. La pratique des mathématiques c'est les mathématiques. On s'exerce à la démonstration, comme à toute technique mathématique.

    Repenser la place de la géométrie et de la preuve. La démonstration devient porte d'entrée dans le monde des mathématiques et non objectif final visé ( il y a beaucoup d'indécidabilité).La preuve n'est pas conclusive, elle est introductive (pour la visite de l'édifice mathématique, pas pour leur enseignement), la pratique (expérimentation) est conclusive et doit être effectuée de façon rigoureuse et sérieuse. Pour préciser, le preuve peut être trouvée sur le chemin de l'expérimentation (ou non) et le cas échéant cela laisse la place à l'expérimentation ( qui peut être celle de la preuve d'ailleurs !). C'est en ce sens que je dit que la preuve est nécessairement introductive et non terminale, c'est l'expérimentation qui l'est, comme outil de découverte d'un surplus de complexité ( si elle existe).

    La simplicité (toute relative!) se montre par la preuve (et ce qui ne veut pas dire que la preuve est simple), alors que la complexité ne se laisse attraper que par l'expérimentation.

    La compréhension n'est pas conditionnelle, c'est la pratique qui l'est.

    Modifier la dynamique de la pratique des mathématiques et la considérer d'origine intérieure se prolongeant vers l'extérieur et non le contraire (de toutes façon c'est une question de foi!).

    Il ne faut pas hésiter à avoir recours à la mise en forme de la présentation des mathématiques, au prosélytisme, rendu possible par les médias et principalement celui qui est le plus adapté aux mathématiques : le monde numérique et Internet.

     

    • Modifier le discours sur l'enseignement des mathématiques

    Donner du sens pour ceux qui ne les pratiqueront plus ou presque plus dans leur vie active et faire pratiquer ceux qui devront les utiliser et les produire de façon assez intensive

    Penser l'hétérogénéité (contenue) comme réellement positive en libérant les leviers d'action positifs et en diminuant l'idée de la figure dominante de l'enseignant pour lui affecter une figure de leader de groupe et de facilitateur de la diffusion des savoirs et des techniques. S'appuyer sur l'énergie du groupe pour diffuser les connaissances et les techniques.

    L'élève ne construit pas son savoir, il construit sa pratique (elle peut être en vue d'augmenter son savoir!) et se met en contact avec les objets de savoirs et de technique en vue de leur intériorisation.

    Modifier la figure idéale-typique du prof de maths, possédant un stock énorme de savoirs « morts », en celle de l'honnête homme cultivé qui diffuse les connaissances au plus grand nombre, permet une analyse quantitative et rationnelle du monde complexe dans lequel nous vivons.

    Réhabiliter l'élève moyen comme praticien actif et positif.

    L'informatique permet d'une part de développer la pratique expérimentale ainsi que de répondre à la demande de rigueur associée à toute discipline scientifique par l'intermédiaire de la programmation.

    Mettre non pas la construction des savoirs au centre du processus de transmission mais l'apprentissage de la rationalité des pratiques. Il faut replacer l'orthodoxie des pratiques et des rituels au centre de l'apprentissage, tout en favorisant et encourager l'émergence de la créativité.

    La pratique régulière et la production interne (intention) sont indispensables à toute personne désirant structurer son esprit, se diriger vers des études scientifiques, des filières sélectives (par les mathématiques)

    La concentration dans l'instant est un élément essentiel de la profondeur des apprentissages, elle permet un accès à la durée, place la difficulté non pas comme obstacle mais comme état de temps, elle permet de pacifier le terrain psychique, elle permet de découpler le temps de la pratique orthodoxe ( en particulier celle des mathématiques) du temps vulgaire.

    Les limites des mathématiques doivent être clairement annoncées dès les petites classes afin de ne pas idéaliser (diaboliser) cette discipline au fur et à mesure de sa pratique. Pour s'en convaincre il suffit d'en parler avec des enseignants non scientifiques.

     

    Selon moi, il reste bien sûr une dernière phase au processus : infléchir l'enseignement des mathématiques, ses buts généraux, l'évaluation, sa place dans le système global mais je laisse la tâche de le faire à ceux dont mission leur est donnée et dont c'est le métier. Le mien est d'enseigner, pas de penser (sauf à mes cours...). 

     

    Transmission Control Protocol