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La Joie est le Chemin. Depuis février 2025, ce blog explore le Flux Intégral et Kernésis. Il est personnel et est constitué exclusivement de mes notes.
Aurait-on pu confier le théorème de Fermat à un groupe d'Enarques qui nous auraient fait des directives, des super-directives ? Y seraient-ils arrivés en 300 ans? C'est impossible, il faut des idées!
Jean-Yves Girard (au sujet du formalisme en mathématiques - 19.45)
Si vous êtes comme moi, vous vous rappelez probablement du roman satirique de VoltaireCandide comme l’un des romans du 18ème siècle les plus agréables que vous avez lu au lycée. Son intrigue implique un jeune homme plutôt idiot qui est instruit par un philosophe optimiste nommé Pangloss. Pangloss insiste sur le fait qu’ils vivent dans le meilleur des mondes, malgré qu’il ait perdu un oeil et une oreille, qu’il ait attrapé la syphillis, qu’il ait été vendu comme esclave et qu’il ait vécu l'épreuve de terribles désastres tels que le feu, les tremblements de terre, et un tsunami.
Mais saviez-vous que la philosophie que parodie Pangloss provient de façon directe du développement du calcul ?
Cette connexion vient du fait que Gottfried Leibniz, le co-inventeur du calcul différentiel, était aussi un philosophe de grande renommée. Vous vous rappelez certainement que la clé du calcul différentiel tient dans sa capacité à trouver la valeur maximale d’une fonction. Cela fonctionne parce que le calcul nous permet de regarder la pente d’une courbe, en mesurant de quelle façon elle monte ou elle descend, de façon infinitésimale en chacun de ses points.
Quand une courbe a arrêté de monter et est sur le point de redescendre, sa pente est de 0 et elle a atteind un maximum local. Ainsi si vous pouvez déterminer le point où la pente d'une courbe est 0, vous pouvez trouver un maximum.
Dans les mathématiques, cette idée est indiscutable. Mais Leibniz a étendu cette possibilité au domaine de la philosophie. Comme prémisse de base, il a commencé par une de sa religion chrétienne, en affirmant qu'il y avait un Dieu omniscient et tout-puissant qui a conçu l'univers.
Un Dieu omniscient ou omnipotent connaitrait, très probablement le calcul et serait capable de produire un super-calcul divin beaucoup plus puissant que celui que Leibniz a développé.
Etant omniscient, il connaitrait toutes les variables qui permettraient de décrire l’univers et de définir la fonction complexe qui permettrait la description correcte de l’univers. Supposons aussi que Dieu possède une bonté infinie,. Il est indicutable qu’il appliquerait son super-calcul à la fonction de bontée de l’univers et déterminerait ainsi son maximum absolu.
Donc si quelquechose de local semble mauvais, c’est seulement parce qu’en association avec les autres variables de l’univers, ce doit être nécessaire pour atteindre ce maximum absolu.
En réalité, je trouve que c’est dur de batailler avec un tel raisonnement. Des siècles après Leibniz, beaucoup de fonctions compliquées ont été définies, dont nous ne possédons pas d'algorithmes pour les optimiser dans un temps raisonnable, mais Dieu qui possèderait toutes les techniques mathématiques dont il a besoin, ne se soucierait pas des délais fixés. Après tout, s'il y a vraiment un dieu tout-puissant qui aime créer des univers, il peut aussi prendre son temps en le faisant, même s'il doit y passer plusieurs éternités en exécutant un algorithme NP-complet d’optimisation.
Ainsi, si votre religion admet l’existence d’un Créateur omniscient et omnipotent, alors Pangloss et Leibniz ont tous les deux raison et l’on doit vraiment vivre dans le meilleur des mondes.
En 1980, le philosophe John Searle décrit une expérience théorique qu'il a nommé "Le paradoxe de la chambre chinoise" :
Une personne qui ne parle pas le chinois est enfermée dans une chambre fermée. Elle reçoit des messages glissés sous la porte d'une personne située à l'extérieur écrits en chinois.
La personne située dans la chambre dispose cependant d'un livre (code) très utile qui lui permet de reconnaître un groupe de traits et de donner en réponse un groupe de traits correspondant. Il s'agit en fait d'une réponse possible et adapté au message chinois. Elle glisse en retour ce message sous la porte.
La question est : que va penser la personne qui est à l'extérieur de la chambre puisque tout laisse supposer que quelqu'un d'intelligent connaissant sa langue est de l'autre coté de la porte, ce qui n'est pas le cas?
Le podcast 79 Math pen pals en anglais de MathMutation et le texte associé : ICI
Langage, conscience, rationalité : une philosophie naturelle, entretien avec John SEARLE, PDF de14 pages
Searle pense que c'est une erreur de croire qu'on peut créer un esprit avec une machine de Türing, le cerveau est certes une machine mais il n'est pas implémenté par un processsus mathématique abstrait qui le ferait fonctionner comme une machine de Türing.
Gödel pensait un peu l'inverse: le cerveau est une machine de Türing. Si le cerveau est une machine de Türing, comme le pensait Gödel, l'hypothèse philosophique matérialiste s'évanouissait puisque il n'y avait que deux issues possibles après cette hypothèse, soit d'avancer le théorème d'incomplétude qu'il venait d'énoncer, c'est à dire qu'il restera à tout jamais des propositions inaccessibles à l'esprit humain-machine de Türing, soit l'esprit humain est capable d'écrire des mathématiques complètes, il ne peut donc pas se réduire à une machine de Türing et possède une dimension qui dépasse la simple matérialité. Cette nouvelle dimension est celle d'un autre monde peuplé d'êtres bienveillants ou malveillants comme le précise lui-même le logicien : "Mon théorème montre seulement que la mécanisation des mathématiques, i.e l'élimination de l'esprit et des entités abstraites, est impossible, si l'on veut obtenir une fondation et un système satisfaisants des mathématiques". Les démons de Gödel de Pierre Cassou-Noguès.
En 1980, le philosophe