Inclassables Mathématiques 2.0

Grigori Perelman explique le refus de son million de dollars en récompense de la médaille Fields : ICI

On remarquera, dès le début de l'article, l'utilisation du mot "conjoncture" à la place de "conjecture"... Espérons que la traduction du reste de l'article soit de meilleure qualité et évite les contresens!

On se délectera des reprises de cette annonce AFP sans aucune modification ex:). D'autres sont néanmoins de meilleurs élèves.

La conjoncture actuelle est bien mauvaise pour la conjecture.

En maths, on utilise un mot assez mystérieux, qui l'est pour les non-matheux mais surtout pour les matheux, il s'agit du mot "conjecture".

La conjecture, c'est la chose que le matheux sent vraie mais qu'il n'arrive pas à démontrer, soit parce que c'est très difficile et qu'il existe très peu (ou pas) de mathématiciens ayant le niveau pour faire la démonstration, soit parce qu'il n'y a tout simplement pas de démonstration, soit parce que les maths ne sont pas encore assez évoluées pour la faire.

La conjecture est d'autant plus sympa qu'elle s'énonce facilement et qu'elle résiste à l'assaut des mathématiciens.

En voilà une petite (enfin c'est un point de vue personnel).

Prenons les nombres entiers suivants :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 49, 51, 67, 72, 76, 77, 81, 86.

Calculons les puissances de 2 de ces nombres :

2¹=2

2²=2x2=4

2³=2x2x2=8

2⁴=2x2x2x2=16

…

2³⁴=2x2x2x2x…x2=17179869184

…

2⁸⁶=77371252455336267181195264

Anne, ma soeur Anne, ne vois-tu rien venir?

Ben si justement, regarde:

2⁸⁷=154742504910672534362390528

C'est ça la conjecture!

86 est semble être le plus grand entier dont l'écriture décimale de sa puissance de 2  ne contient aucun 0. [A007377].

Dialogue entre un Solognot et un Orléanais:

Pôrce que les matheux y zon bien assayé de calculer les puissances de 2 de 87 jusqu'ô 47 000 000 et y zon  toujours trouvé des 0 adedans.

Certes, nous pourrions continuer ainsi plus longtemps, très cher, mais voyez-vous, la probabilité de ne pas trouver de 0 après, est comme qui dirait... minuscule : 1.764342396 ⋅10^-633620 .

Fin du dialogue.

Personnellement, j'ai bien une démonstration mais je ne voudrais pas vous ennuyer avec ça.

Billet moyen réalisé à partir de cet excellent billet.

Démontrer la conjecture de Riemann, c'est la quête du Graal en mathématiques.

La liste de ceux ayant échoué est déjà longue : ICI

Depuis  le 30 septembre 2008, Anne Bergstrom publie sur Arxiv des réponses aux questions posées à la pereuve qu'elle a mise en ligne. Il y a quelques jours, le 28 avril 2009, une cinquème version a été postée : ICI

Est-ce la démonstration complète de l'hypothèse de Riemann ? Je vous laisse le soin de la réponse...

Photo: Smithsonian Institution

Les mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

Bertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

Explication :

• Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
• Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

Pour compléter sur l'axiome du choix :

Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne

Un simple électron pourrait en savoir plus sur les nombres que la totalité des mathématiciens réunis...

Sierra et Townsen, deux chercheurs respectivement espagnol et anglais ont avancé la possibilité qu'un électron contraint à évoluer dans  deux dimensions et soumis à des champs magnétiques et électriques pourrait avoir des niveaux d'énergie qui coïncident avec les zéros de la fonction zéta. Il reste à démontrer l'existence d'un tel système, ce qui confirmerait en passant la validité de l'hypothèse de Riemann.

L'article ( en anglais ) sur Science News : Electrons as Maths Whizzes

Si vous ne connaissez pas le Yi-king, lisez cette note : ICI

Interprétation : 2 traits rigides entourés par 4 souples font penser au trigramme de l'eau où la lumière est enfermée par l'obscurité extérieure et dominante. Cet hexagramme, agrandissement du trigramme de l'eau nous incite à la prudence, celle de l'eau, symbole des plus grandes peurs et des plus grands dangers mais aussi source de vie. Les deux traits lumineux sont minoritaires et intérieurs, ils sont comme prisonniers et toute tentative de mouvement entrainerait rapidement leur perte, leur destruction. Il s'agit donc d'adopter une attitude humble en attendant que la situation évolue. Cet hexagramme représente en quelque sorte la résignation de la faiblesse devant le plus nombreux, le plus puissant, l'incapacité d'atteindre rapidement quelque levier de changement positif mais aussi une grande volonté à demeurer dans l'action,  qui par sa constance va ammener inéluctablement à ce que la situation évolue. Le Tonnerre, au dessus de la Montagne se fait entendre, il se fait voir, le tremblement de terre fait vibrer la Montagne, mais celle-ci reste immuable à notre échelle et il serait vain de croire que la force du Tonnerre et de la germination puisse avoir une quelconque influence sur la montagne. Mieux vaut poursuivre l'action modérée sans attendre une modification profonde et immédiate de la situation.  L'hexagramme 62 représente à mes yeux l'image du travail de l'ombre, de toutes ces forces qui agissent positivement et de façon souteraine en attendant que les circonstances soient plus favorables pour atteindre leur maturité et apparaître au grand jour.

Commentaire:

La première idée qui m'est venue lorsque j'ai réfléchi à cet hexagramme est celle du catalyseur, cette substance rajoutée en quantité limitée qui permet à une réaction d'avoir lieu tout en n'étant pas consommée par celle-ci. Ce catalyseur peut même servir à la cicatrisation des ailes d'avions ou des pales d'éoliennes, mais si celui-ci est trop onéreux, son usage est abandonné, le "faible" ne doit pas trop en demander. Le matériau devient ainsi comme vascularisé. L'éclairage se fait à l'intérieur de la matière, matière auparavant obscure qui est maîtrisée de l'intérieur. Les recherches sur les nanotubes sont à l'origine de ces progrès. Les mathématiques, toujours discrètes ( sans jeu de mot ! ) ne sont pas étrangères à cette meilleure compréhension, elles interviennent, via l'informatique, dans la modélisation des matériaux nano-structurés. Comme toute technologie, celle du petit, celle de l'intérieur,  doit faire preuve de modération. Elle fait peur, plus elle fait subir à l'extérieur de fortes pressions, plus celui-ci réagit. On le voit lorsqu'il s'agit d'organismes génétiquement modifiés qui véhiculent de nombreuses peurs alors que des technologies locales autour d'une tumeur cancéreuse seraient plus aptes à susciter l'adhésion collective.

Dans mon introduction, j'ai cité Leibniz dont je ne sais pas si il a vraiment été émerveillé par le Yi-King ou simplement été un peu « harcelé » par ce Père Bouvet pour confirmer, à ses yeux, le génie de ce texte millénaire par des calculs savants.

De Leibniz au calcul différentiel, il n'y a qu'un pas à franchir et il suffit de le faire avec Newton. Le calcul différentiel s'appuie justement sur une idée géniale  et lumineuse qui sait se faire oublier , attendant juste le temps qu'il faut avant de disparaître. Sa puissance est à la hauteur de sa petitesse et plus "prétencieux" serait cet infiniment petit  qu'il ne serait d'aucun usage. A cette « quantité évanescente » de supporter le calcul presque jusqu'à son terme, pour ensuite disparaître au profit de la puissance du résultat qu'il produit. C'est dans la métaphore géométrique donnée par Leibniz lui-même que peut s'entrevoir l'image de cette «quantité évanescente» : le dx est au x, ce que le point est à la droite . Cette notion d'infiniment petit, ou de très petit d'ordre supérieur me paraît tout à fait en accord avec le sujet de l'hexagramme. S'évanouir devant plus grand que soit, mais produire un résultat puissant. La rigueur de ce sacrifice n'est pas encore totale et il faudra encore des années de travail mathématique pour mettre tout cela dans une théorie solide. Cela me paraît être une bonne illustration de l'hexagramme 62.

Par analogie, l'histoire du zéro semble se rapprocher de cette interprétation. Pendant très longtemps, on indiquait une absence par un simple espace approximatif entre deux chiffres. Le zéro est apparu sous un sens nouveau en ôtant l'identique d'une quantité à elle même, il a aussi été perçu comme signe d'anéantissement total, comme signe intéressant pouvant favoriser les calculs algébriques, comme premier entier... Le zéro s'est tapis pendant des siècles dans les interstices d'une humanité à la recherche de progrès calculatoires et pouvant refuser en même temps l'idée du vide qu'il véhiculait. Zéro, quel drôle de nombre qui éclaire de sa propre nullité tous les autres plein de dangers lorsque sa puissance n'est pas maîtrisée, lorsque son sens n'est pas clairement défini comme dans le cas où l'on voudrait calculer 0 puissance 0 ou simplement diviser par 0.

Les anciens voyaient en cet hexagramme un oiseau avec les ailes ouvertes, dont le corps serait formé des deux traits pleins. Il descend nécessairement pour apporter son message car s'il monte il risquerait de se brûler les ailes. Le vol de cet oiseau me fait penser à la conjecture de Syracuse où les nombres "oiseaux" ( ou feuilles ) montent jusqu'à l'altitude la plus élevée pour descendre à la fin de leur vol en piqué jusqu'au 1 tant attendu et délivrer leur message de victoire.

On peut, j'imagine trouver encore de nombreux exemples illustrant cet hexagramme, de la lumière qui ne peut rapidement sortir de l'ombre. Je ne sais pas si j'ai respecté à la lettre ( ou au nombre ), la pensée des anciens, mais à quoi bon?... Il me semble que la philosophie du Yi-king peut et doit être un support pour l'interprétation. J'espère que cette promenade sino-scientifico-mathématique vous a plus. Vous êtes maintenant arrivé à destination. Le prochain voyage se fera à bord de l'hexagramme 30: "le Feu".

Le Graal des mathématiciens

Une hypothèse d’apparence anecdotique avancée par Bernhard Riemann il y a cent cinquante ans au sujet d’un problème classique, la répartition des nombres premiers, focalise l’intérêt des plus grands mathématiciens. David Hilbert en avait fait le huitième problème de sa célèbre liste. Au moins une dizaine de médailles Fields l’ont étudié… En 2005, il manque toujours le maillon qui permettra une démonstration plausible.

L'article du HS n° 20 de " La Recherche" - 2005 : ICI

« Jusqu’à ce jour, les mathématiciens ont en vain tenté de découvrir un ordre dans la suite des nombres premiers, et nous avons des raisons de croire que c’est un mystère que l’esprit ne pénétrera jamais. »

Leonhard Euler

Les polyèdres rigides, solides de l'espace à faces planes sont plutôt bien connus, les 5 plus célèbres d'entre eux étant les solides de Platon dont les faces sont exclusivement formées par des figures régulières du plan ( triangle équilatéral, carré et pentagone ).

Visualiser les solides de Platon en animation : ICI

Le Tag des Inclassables sur les polyèdres : ICI ( attention il contient cette note ! )

Par contre, les "enfants terribles" des polyèdres, les polyèdres flexibles le sont beaucoup moins.

On peut déjà se demander ce qu'est un polyèdre flexible.

C'est un polyèdre dont la seule donnée de ses faces ne suffit pas à définir sa forme, il peut donc adopter plusieurs formes possibles. Par opposition, le cube dont toutes les faces sont carrées est un solide indéformable.

Cauchy énonce le théorème de rigidité : Tout polyèdre convexe est rigide. On peut définir intuitivement la convexité comme étant le fait qu'un volume ne possède pas d'angles "rentrants".

Puis pendant 164 ans ....RIEN sur les polyèdres flexibles, sauf ceux de Bricard dont les faces s'interceptent....

On se restreindra maintenant aux polyèdres de l'espace usuel, et on éliminera de cette dénomination les polyèdres qui possèdent des auto-intersections de faces, ce qui empêche leur réalisation matérielle en carton. ( Pour information, les mathématiciens ne sont nullement gênés par le fait que les "parois" volume puisse se traverser entre elles !).

La genèse des polyèdres flexibles :

En 1977, Connelly énonce le théorème suivant :

Il existe un polyèdre flexible!

Peu après, Steffen construit le polyèdre flexible le plus simple connu à ce jour et ayant 9 sommets.

On sait qu'un polyèdre ayant au plus 7 sommets est nécessairement.... RIGIDE !

Connely montre que le volume de son polyèdre reste constant durant le changement de forme.

Cette propriété qui semble se vérifier pour tout polyèdre, elle est appelée conjecture du soufflet et sera démontrée en 1997 par Connely et deux collaborateurs.

Un sujet qui reste ouvert...

Il reste encore de nombreux points en attente de démonstration, aussi bien en ce qui concerne les polyèdres flexibles que les polyèdres  d'une façon générale.

Par exemple, on ne sait toujours pas si deux polyèdres convexes ayant les mêmes angles dièdres ( entre les faces ) sont semblables ( donc si l'un est un agrandissement ou une réduction de l'autre ) ?
Cette conjecture, appelée conjecture de Stoker résiste aux géomètres depuis plus de 40 ans, la question étant de savoir si deux volume ayant les mêmes angles entre leurs faces implique qu'ils aient les mêmes angles intérieurs sur les faces.


Pour visualiser les animations de polyèdres flexibles :


L'octaèdre flexible de Bricard ( dont les faces s'interceptent ) : ICI

L'octaèdre sauteur de Wunderlich : ICI

Le polyèdre flexible de Steffen : ICI

La page de Jean-Paul Davalan : ICI


Note très inspirée de " Les polyèdres et la conjecture du soufflet " de Thierry Lambre Bulletin de L'APMEP - Juillet-Août 2007 : ICI

Petros Papachristos est considéré comme la honte de sa propre famille. Mais plus on répète à son jeune neveu que son oncle Petros a raté sa vie, plus le neveu s'intéresse à lui, cherchant à comprendre pourquoi cet homme est ainsi renié par ses frères. Ancien mathématicien célèbre, Petros vit dans une petite maison, cultive son jardin et joue aux échecs, et il n'a visiblement jamais réussi à s'imposer dans le monde scientifique. La cause de cet échec ? Petros a délaissé ses recherches et sa carrière pour focaliser toute son attention sur un seul et unique problème : démontrer la conjecture de Goldbach, hypothèse émise en 1742 et qu'aucun mathématicien n'a jamais pu élucider. Petros s'est fixé un but inaccessible, qui est devenu une véritable obsession..., jusqu'à renoncer et se retirer du monde.

À son tour, et contre l'avis de son oncle, le neveu va tenter de percer cette énigme, et ce faisant, il va aussi reconstituer le parcours de Petros. D'hypothèses en intrigues, c'est non seulement toute la caste des mathématiciens qui se révèle alors (on croise, entre autres figures, Hardy, Turing ou Gödel), mais en outre les aléas, impératifs, espoirs et déceptions de ces scientifiques au fil de leur quête.

Apostolos Doxiadis parvient ici à construire un formidable roman autour des mathématiques, ouvert à tout lecteur, où les théorèmes scientifiques sont des métaphores poétiques, et les questionnements posés de véritables enquêtes policières.

J'ai tout simplement dévoré ce petit livre en un clin d'oeil... Il peut être lu facilement par tout public. Il y a, ici ou là, quelques termes techniques de niveaux Terminale et  supérieur mais le charme du livre n'est pas rompu s'ils ne sont pas maîtrisés.

A mettre entre toutes les mains.

Ce livre devrait être reconnu d'Utilité Publique pour assimiler la délicate notion de CONJECTURE, en mathématiques...

En 2003, Grigory Perelman découvre la démonstration de l'une des conjectures ( conjecture signifie hypothèse qui n'est pas démontrée, car le mot hypothèse est déjà utilisé pour les hypothèses des théorèmes ) qui a résisté jusque-là à l'acharnement des plus grands mathématiciens. C'est un héros, c'est le héros des mathématiques, une star planétaire, il fait la une des magazines qui tentent d'expliquer ce qu'est cette conjecture, ( je doute d'ailleurs  que de savoir ce qu'elle est exactement, intéresse grand monde ). Perelman est devenu célèbre car il dépassait le propre cadre de la discipline pour devenir l'archétype de la pensée humaine triomphante, comme Zidane est l'incarnation de la réalisation de soi par le sport, Perelman fût pendant un temps cette même incarnation dans le domaine de l'esprit. Il incarnait la victoire de l'esprit dans le monde merveilleux, fascinant mais très  rude et invisible, des mathématiques. D'un seul coup les mathématiques étaient venues à la rencontre des gens et Perelman devait en être la courroie de transmission, le passeur. Mais le 22 août 2006, Perelman refuse la plus haute distinction des mathématiques, il refuse la Médaille Fields, car dit-il, il juge sans intérêt cette récompense ! C'est un peu comme si Zidane refusait la coupe du monde, Borg ou Noah refusaient le trophée de Rolland-Garros, si les coureurs automobiles refusaient de monter sur les podiums des grands prix, si les auteurs refusaient les prix littéraires, les chanteurs les disques d'or et de platine.. etc. mais Monsieur Perelman, aussi grand mathématicien soit-il, n'a pas compris que le monde ne s'arrétait pas à son esprit et aux mathématiques, que le monde dépassait ce cadre restreint. Il n'a pas compris qu'il ne devait pas garder cette victoire pour lui tout seul et la faire partager au monde entier. Monsieur Perelman s'est gravement trompé, en privant le reste du monde de la symbolique de cette découverte. Monsieur Perelman, égoiste, ne s'est pas encombré d'une sur-médiatisation, de devoir expliquer ce qu'est le travail mathématique, en quoi il était difficile mais enrichissant. Monsieur Perelman n'a pas compris qu'il aurait pu parler aux gamins du monde entier pour leur dire comment était noble cette discipline, qu'on ne la faisait pas forcément pour l'argent, mais qu'on pouvait en gagner beaucoup, même si ce n'était pas sa volonté profonde. Monsieur Perelman n'a pas mis des étoiles dans les yeux des petits gamins dont les parents n'ont pas eu le temps de dire : " Tu vois, le monsieur à la télé c'est l'un des plus intelligents du monde, il est plus fort que toutes les institutrices, les instituteurs, que tous les profs réunis...". Non Monsieur Perelman n'a pas compris à quoi celà servait de recevoir la médaille Field. Alors après çà on peut toujours expliquer aux gamins que les sciences c'est merveilleux, que etc, etc... mais il faut aussi comprendre que l'on ne peut pas expliquer sans donner d'exemples. Alors quel nom vais-je donner à mon fils pour lui expliquer tout çà ? Celui de Perelman ? L'homme qui a refusé la médaille Field ? Parce que je ne vais pas en plus lui faire un cours de psycho-sociologie, en expliquant que ce Monsieur, russe et loin de tout, n'apprécie pas les récompenses etc,etc... Si nous voulons redonner du goût aux enfants pour les mathématiques, puisque les diplômes sont dévalorisés, ne donnant plus systématiquement accès aux postes souhaités, si les mathématiques ne sont plus le symbole exclusif de la réussite et si l'école essaye tant bien que mal de se dépatouiller avec des programmes qui sont ce qu'ils sont, des élèves qui le sont aussi, il me semble que c'est quand même aux phares de la discipline de porter son flambeau. Alors que vais-je dire à mon fils pour le motiver ? Que les mathématiques c'est comme le sport sauf qu'on courre dans la tête, qu'il y a moins d'argent à gagner et que le grand avantage c'est qu'il n'y a pas de dopage ? Dis papa, montre moi, un mathématicien, ben euhh attend, je reviens. Tiens je n'en ai pas trouvé à la télé mais j'ai fait un dessin regarde: Mais papa, je ne vois pas de mathématicien, c'est Humpty-Dumpty, l'oeuf pas très aimable. Mais non je te jure, c'est l'un des plus grands mathématiciens. Ben non désolé Papa, je vois pas ce que tu veux dire.

Pourquoi lorsque l'on montre un mathématicien aux enfants, les enfants voient toujours un oeuf?.....

Ma conclusion ne va pas être très agréable pour Monsieur Perelman, mais je me dis que l'on n'était pas à quelques mois près pour faire cette découverte symbolique et que si monsieur Perelman ne se sentait pas prêt à tendre la main à Alice, on ne peut pas demander aux enfants de le faire à sa place et qu'ils voient en lui un grand mathématicien. Si on ne peut pas demander aux gens d'être autre chose que ce qu'ils sont, on ne peut pas non plus demander aux enfants de voire autre chose que ce qu'on leur montre. Alors oui je conclue que j'aurai préféré que quelqu'un qui sache tendre la main aux enfants  ait découvert cette fameuse conjecture.

Ajout du 19/03/10 : http://www.tv5.org/cms/chaine-francophone/info/p-1911-red...