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conjecture

  • Résolution de la Conjecture de Rota, un problème mathématique de plus de 40 ans

    Une équipe de mathématiciens a résolu un problème, posé pour la première fois, il y a plus de 40 ans et qui jusqu'à présent déconcertait les mathématiciens modernes.

    Le professeur Jim Geelen de l'Université de Waterloo et ses collègues, le Professeur Bert Gerards du Centrum Wiskunde & Informatica et de l'Université de Maastricht aux Pays-Bas, et Professeur Geoff Whittle de l'Université Victoria de Wellington en Nouvelle Zélande ont réussi à prouver la fameuse conjecture de Rota. Les trois chercheurs ont travaillé pendant près de 15 ans sur la résolution de ce problème posé par le mathématicien et philosophe Gian-Carlo Rota en 1970. Un peu plus tôt cette année, le trio a complété la dernière étape de ce projet.

    La Conjecture de Rota fait référence à un domaine spécialisé des mathématiques, la théorie des matroïdes, une forme moderne de géométrie instaurée par le célèbre mathématicien de Waterloo Bill Tutte. Cette théorie examine l'implantation de structures géométriques abstraites, ou matroïdes, dans des cadres géométriques concrets, autrement dit les géométries projectives dans un corps fini donné. La conjecture est que, pour tout corps fini, il existe une liste finie de mineurs exclus caractérisant les matroïdes représentables sur ce corps. Cette conjecture a été posée par Rota au Congrès International des Mathématiciens en 1970, étrange coïncidence, une semaine avant la naissance du Professeur Geelen.

    D'après le Professeur Geelen, "La partie la plus enrichissante du projet a été la collaboration avec Bert et Geoff. Nous travaillons ensemble trois fois par an, pour une période de trois semaines, soit ici à Waterloo, soit en Nouvelle Zélande, soit aux Pays-Bas. Ces visites sont intenses ; nous nous asseyons ensemble dans un bureau, tous les jours, toute la journée, devant un tableau blanc. Les discussions peuvent parfois être très animées, tandis qu'à d'autres moments, lorsque nous n'arrivons pas à avancer, nous pouvons rester deux heures sans parler, chacun pensant à des manières de franchir l'obstacle. "

    En 1999, Geelen, Gerards et Whittle ont joint leurs forces pour travailler sur la Conjecture de Rota, ainsi que pour généraliser la célèbre Théorie des Mineurs de Graphes développée par Robertson et Seymour. Les chercheurs ont complété l'année dernière leur Théorie des Mineurs de Matroïdes, ce qui leur a donné une vision profonde de la structure des matroïdes. La preuve de la conjecture de Rota dépend de la puissance de cette théorie et nécessitait, en plus, de nouveaux résultats révolutionnaires sur la connectivité des matroïdes.

    D'après le trio, le véritable travail a réellement commencé en début de cette année, quand ils ont commencé à rédiger le résultat de leurs travaux. La Théorie des Mineurs de Graphes en elle-même a rempli plus de 600 pages de journal, et la Théorie des Mineurs de Matroïdes sera au moins aussi longue. L'équipe prévoit que l'écriture prendra au moins 3 ans.

    Jim Geelen est Professeur au Département of Combinatorics and Optimization de l'Université de Waterloo et est titulaire d'une Chaire de Recherche du Canada. Il a reçu plusieurs distinctions telles que le Prix Fulkerson, une bourse Sloan et le Prix Coxeter-James.

    http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/73952.htm

  • "Je sais comment gouverner l'Univers. Pourquoi devrais-je courir après un million?!"

    Perelman%2C_Grigori_%281966%29.jpgGrigori Perelman explique le refus de son million de dollars en récompense de la médaille Fields : ICI

    On remarquera, dès le début de l'article, l'utilisation du mot "conjoncture" à la place de "conjecture"... Espérons que la traduction du reste de l'article soit de meilleure qualité et évite les contresens!

    On se délectera des reprises de cette annonce AFP sans aucune modification ex:). D'autres sont néanmoins de meilleurs élèves.

    La conjoncture actuelle est bien mauvaise pour la conjecture.

  • Vous reprendrez bien un peu de 0?

    En maths, on utilise un mot assez mystérieux, qui l'est pour les non-matheux mais surtout pour les matheux, il s'agit du mot "conjecture".

    La conjecture, c'est la chose que le matheux sent vraie mais qu'il n'arrive pas à démontrer, soit parce que c'est très difficile et qu'il existe très peu (ou pas) de mathématiciens ayant le niveau pour faire la démonstration, soit parce qu'il n'y a tout simplement pas de démonstration, soit parce que les maths ne sont pas encore assez évoluées pour la faire.

    La conjecture est d'autant plus sympa qu'elle s'énonce facilement et qu'elle résiste à l'assaut des mathématiciens.

    En voilà une petite (enfin c'est un point de vue personnel).

    Prenons les nombres entiers suivants :

    1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 24, 25, 27, 28, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 39, 49, 51, 67, 72, 76, 77, 81, 86.

    Calculons les puissances de 2 de ces nombres :

    21=2

    22=2x2=4

    23=2x2x2=8

    24=2x2x2x2=16

    234=2x2x2x2x…x2=17179869184

    286=77371252455336267181195264

     

    Anne, ma soeur Anne, ne vois-tu rien venir?

    Ben si justement, regarde:

    287=154742504910672534362390528

    C'est ça la conjecture!

    86 est semble être le plus grand entier dont l'écriture décimale de sa puissance de 2  ne contient aucun 0. [A007377].

    Dialogue entre un Solognot et un Orléanais:

    Pôrce que les matheux y zon bien assayé de calculer les puissances de 2 de 87 jusqu'ô 47 000 000 et y zon  toujours trouvé des 0 adedans.

    Certes, nous pourrions continuer ainsi plus longtemps, très cher, mais voyez-vous, la probabilité de ne pas trouver de 0 après, est comme qui dirait... minuscule : 1.764342396 ⋅10-633620 .

    Fin du dialogue.

    Personnellement, j'ai bien une démonstration mais je ne voudrais pas vous ennuyer avec ça.

    Billet moyen réalisé à partir de cet excellent billet.

  • Une autre preuve de l'hypothèse de Riemann?

    Démontrer la conjecture de Riemann, c'est la quête du Graal en mathématiques.

    La liste de ceux ayant échoué est déjà longue : ICI

    Depuis  le 30 septembre 2008, Anne Bergstrom publie sur Arxiv des réponses aux questions posées à la pereuve qu'elle a mise en ligne. Il y a quelques jours, le 28 avril 2009, une cinquème version a été postée : ICI

    Est-ce la démonstration complète de l'hypothèse de Riemann ? Je vous laisse le soin de la réponse...

    Portrait of Bernhard Riemann (1826-1866), Mathematician

    Photo: Smithsonian Institution

  • Des p'tits problèmes de coloriage ?

    a003-099.gifLes mathématiciens aiment colorier. Peut-être n'ont-ils pas eu le temps de le faire à l'école, alors ils rattrapent le temps perdu.

    Dès 1852, l'un d'entre eux se demanda combien il fallait de couleurs pour colorier tous les pays de n'importe quelle carte sans que deux pays voisins n'aient la même couleur. Le problème est capital car dans le cas contraire on ne pourrait plus distinguer ces deux pays après coloriage. Il pensa que quatre devait être suffisant. Beaucoup de mathématiciens prirent aussi leurs crayons de couleurs et se mirent d'accord sur le nombre : 4 doit convenir mais ils ne s'accordèrent qu'à moitié sur la preuve car celle-ci faisait intervenir un bien étrange "personnage": un ordinateur. Bref après quelques guéguerres internes sur le style, l'incontournable boite aux quatre crayons nécessaire pour colorier toutes les cartes planes imaginables de l'univers s'appelle désormais "Théorème des quatre couleurs".

     

    Je t'ai apporte des crayons

     

    Malgré  la difficulté de la preuve et des conversations qui lui étaient associée, les mathématiciens s'ennuyaient un peu. C'est ainsi qu'en 1950, un certain Edward Nelson, agé de seulement 18 ans, lança un autre coloriage encore en vogue pour les occuper.

    D'un air sans doute amusé, il soumit à la communauté, le petit problème suivant :

    Combien faut-il de couleurs différentes pour colorier chaque point du plan, de façon que deux points distants d'une unité n'aient pas la même couleur?

    Si les mathématiciens étaient troublés, ce n'était pas parce qu'ils se demandaient avec quel type de crayon ils allaient réaliser cet étrange travail mais plutôt pourquoi est-ce qu'ils avaient seulement réussi à démontrer qu'il fallait au moins 4 couleurs et au plus 7 pour réaliser cette activité presque manuelle? Ils ne parvenaient pas à donner le nombre exact de couleurs minimal dont ils avaient besoin pour colorier les points du plan avec cette contrainte: 4,5,6 ou 7?

     

    My son's color pencils

     

    Alors d'où vient la difficulté? Certainement de la théorie des ensembles à laquelle on peut adjoindre différentes versions de l'axiome du choix ou au contraire  l'en priver.

    L'axiome du choix dit qu'il est possible de prélever des éléments d'ensembles différents et de construire un autre ensemble. Si l'idée parait simpliste lorsque les ensembles sont finis, elle ne l'est pas lorsqu'ils deviennent infinis.

    m4-18.jpgBertrand Russel, nous donne une vague idée de ce que peut-être l'axiome du choix au quotidien :

    Pour choisir une chaussette plutôt que l'autre pour chaque paire d'une collection infinie, on a besoin de l'axiome du choix. Mais pour les chaussures, ce n'est pas la peine.

    Explication :

    • Quand on dispose d'une paire de chaussettes quelconque, on n'a aucun moyen a priori de distinguer une chaussette de l'autre, ce sont des objets a priori identiques et même si chaque matin on arrive à choisir laquelle on va mettre en premier, on serait bien en peine de trouver un procédé général qui nous permette de renouveler l'exploit éternellement.
    • Pour les chaussures, il existe un moyen de choisir qui marche tout le temps (une fonction de choix naturelle) : choisir toujours la chaussure gauche (ou droite) puisqu'il y a toujours une chaussure gauche et une chaussure droite.

     

    Cet axiome du choix est vraiment un élement trouble-fête. Il avait déjà permis à un étrange mathématicien peu scrupuleux de s'enrichir.

    Il s'est aussi mis sur le chemin de deux mathématiciens Soifer et Shelah qui parvinrent à démontrer qu'en utilisant deux versions différentes de cet axiome, il fallait pour résoudre le même problème de coloriage, soit 2 couleurs, soit une infinité! C'est le grand écart.

    Tout cela pour vous dire que les mathématiciens ont vraiment des "gros problèmes de coloriage"!

     

    Inspiré de - Coloriages irréels - Complexités de Jean-Paul Delahaye aux éditions Pour la Science

     

    Pour compléter sur l'axiome du choix :

    Du choix dans la dissection -  sur le blog Choux romanesco et intégrale curviligne