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Paradoxes, limitations,erreurs - Page 3

  • L'erreur de Martin Gardner ou l'importance de définir le protocole en probabilités

    Martin Gardner est décédé en mai dernier et laisse derrière lui un nombre considérable de publications, principalement dans le domaine des jeux mathématiques. Il publia pour la première fois le problème des deux enfants dans les colonnes du Scientific American en 1959. Il le republia plus tard dans  The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. La première réponse que donna Martin Gardner était eronnée ou plutôt incomplète. Il rectifia sa réponse dans une autre  édition mais c'est la solution erronée qui est restée plus populaire que la correction. De plus, en 2010, une variante du problème des deux enfants, celle de l'enfant-mardi est apparue et est devenue un sujet "viral" dont la solution proposée présente le même défaut.

    On peut certainement faire l'analogie de ce problème avec le paradoxe de Bertrand que j'avais abordé dans un billet précédent.

     Martin_Gardner.jpeg

    Le problème des deux enfants

    Il s'énonce comme suit:

    Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What
    is the probability that both children are boys?


    Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is
    the probability that both children are girls?

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  • O est-il un Entier Naturel ?

     

    La voie la plus simple pour répondre à la question est de dire que par définition 0 est ou n'est pas un entier naturel. En mathématiques, il est possible de poser la définition  que l'on souhaite. Celle-ci se trouve marquée dans le marbre et interdit toute négociation possible. Considérons par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels de façon axiomatique. Le premier axiome dit que 0 appartient à cet ensemble.  0 sera ensuite défini comme le plus petit élément de cet ensemble par un axiome suivant.

    L'ambiguité sur la présence du zéro dans l'ensemble des entiers naturels est abordée très clairement dans l'article de Wikipédia sur le sujet:

    Au début :

    En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

    Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre…

    Au milieu :

    Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N0 ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

    N = mathrm{I_{,}!!N} = mathbb{N} = mathbb{N}_0 = { 0, 1, 2, ldots }

    mathbb{N}^* = mathbb{N}_1 = { 1, 2, ldots }

    Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.
    ............
    ...........
    C'est encore plus flagrant dans l'article anglophone, qui juste après la présentation, aborde la question de l'histoire des nombres naturels et le statut du zéro.
    Afin de mieux cerner où se situe l'ambiguité, il est nécesssaire de revisiter les notions de nombres cardinaux et de nombres ordinaux.

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  • Mesurer la diversité: oui mais comment ?

     

     

    Depuis une vingtaine d'années, un important problème rencontré dans la conservation des espèces est la mesure de la diversité. Cette notion intervient pour savoir quelles espèces en priorité doivent être protégées. La possibilité d'une mesure de la diversité peut d'ailleurs s'étendre à de nombreux autres domaines.

    Le sujet contient en fait deux difficultés, la première est d'évaluer la diversité de deux éléments et de la convertir en une quantité que l'on pourrait assimiler à une distance, la seconde est d'évaluer la diversité d'un groupe en utilisant les "distances" deux à deux précédentes et de pouvoir la comparer à celle d'un autre groupe. C'est ce deuxième point que nous allons aborder ici et tenter d'établir s'il peut exister une définition axiomatique de la diversité, au sens de la comparaison de deux ensembles comportant le même nombre d'individus.

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  • Perdant+Perdant = Gagnant ou le paradoxe de Parrondo

    Imaginons une crémaillère presque verticale qui descend à vitesse régulière. Une bille est posée dessus. On appellera échec lorsque la bille arrive par exemple au sol et succès si elle arrive au plafond. Avec cette seule crémaillère la bille va descendre inexorablement vers le sol. la crémaillère descendante est donc un jeu perdant pour la bille.

    Posons maintenant la bille sur une autre crémaillère qui globalement descend, mais fait des mouvements alternés de descente et de montée. Ce jeu est aussi perdant pour la bille qui descendra, comme dans le cas précédent, jusqu'au sol.

    Supposons maintenant un système de couplage et de synchronisation des deux crémaillères, dans lequel la bille pourrait passer de l'une à l'autre. Parrondo a montré qu'il était possible sous certaines conditions de synchronisation de faire monter la bille jusqu'au plafond.

    C'est ce que nous montre l'animation suivante décrivant en premier lieu les systèmes seuls, puis leur couplage.

     

     

    Le paradoxe de Parrondo est utilisé en théorie des jeux, et ses applications en ingénierie, dynamique des populations, risques financiers font aussi l'objet de recherches. La plupart des chercheurs décrivent son utilité sur les marchés financiers comme la théorie le spécifie les 2 jeux A et B doivent être conçus pour copier un cliquet, ce qui signifie qu'ils doivent être en interaction.

    Applets et article sur Cut the Knot

  • L'avenir de l'édition scolaire

    Big Google brother ?Les possibilités d'édition personnelle en ligne s'accroissent de façon considérable. Les contenus transmissibles changent de nature en même temps que leur diffusion est facilitée.  Face à ce bouleversement, quelle sera la nature de l'édition scolaire dans un avenir assez proche? Je parle de celle des enseignants et par ricochet de celle des éditeurs historiques.

    Au mois de mai dernier, je découvrais la possibilité de lier le langage HTML, l'Applet Geogebra et du code Javascript sur une même page. Je ne savais pas encore à ce moment là, faire dialoguer l'applet Geogebra et le Javascript. Je ne suis pas un expert mais aujourd'hui je parviens à comprendre les principes de base en avançant à petits pas dans cet univers un peu très rude. 

    En février 2008, je découvrais la possibilité de réaliser un portail autour de l'enseignement des mathématiques en lycée. Bien qu'un peu lourd pour les élèves, l'univers "Maths au lycée", me permet toujours d'accéder rapidement à des liens et de les partager.  J'y avais consacré un article dans les Cahiers Pédagogiques.

    La problématique que j'avais rencontré ensuite était de pouvoir transmettre, ce que j'avais appelé des "unités de savoir" en ligne. La découverte du réseau social scolaire fermé Edmodo reconstituant les groupes classes me permettait en partie de répondre à ce besoin. Il est possible de transmettre facilement aux élèves  fichiers, liens et textes. Je peinais encore un peu pour transmettre un contenu facilement réalisable et instantanément utilisable par les élèves.

    L'été dernier, ma dextérité numérique a sensiblement augmenté, et m'a permis de réaliser une synthèse de cours animée sur un wiki. Je n'aurai jamais imaginé que cela aurait été possible quelques mois auparavant. Le wiki "Maths au lycée" est né. La nouveauté est de pouvoir disposer d'une synhèse de cours animée en ligne d'une part mais aussi de  permettre une impression paramétrable sur un support papier. Chacun peut effectuer ses réglages sur les applets avant de lancer une impression papier.

    Il n'est pas difficile de constater à la lumière du chemin parcouru, que nous sommes très proche de la possibilité d'une édition autonome par le professeur de ses supports dynamiques de cours, de l'agrégation de contenus externes et de leur transmission aux élèves. LiveBinder franchit encore une étape dans ce processus. Là où Netvibes était lourd et Simply box, un peu trop complexe au premier abord, pour les élèves, LiveBinder me parait d'une grande efficacité, comme peuvent en témoigner ces deux dossiers numériques:


     

     

     

     

    Alors plus qu'une réponse à apporter, c'est une question de fond que je soulève ici concernant la forme que prendra l'édition scolaire dans un avenir plus ou moins proche. Il semble évident qu'actuellement, les choses bougent peu en volume (en apparence) compte tenu du manque de formation et du manque d'aisance d'une majorité d'enseignants dans ce domaine, d'autant plus que l'investissement temps est considérable pour se tenir "à jour" dans ce domaine. Il n'est pas non plus évident que le changement de nature des objets partagés   par la modification du support de transmission soit clairement vue, et ceci d'autant moins qu'on l'utilise.

    L'image qui émerge ici est cependant celle d'une autonomisation future quasi-complète de l'enseignant et de ses productions numériques, aidée par la mutualisation des différents collègues et des institutions.

    L'édition historique scolaire se trouvera inéluctablement, dans un avenir plus ou moins proche, devant un embarrassant paradoxe: pour survivre, elle devra proposer à la vente des contenus destinés au partage ou les rendre gratuits.  A moins que l'on interdise purement et simplement aux enseignants de produire, d'utiliser, de mutualiser du contenu en ligne et d'utiliser des hyperliens... ce qui avouons-le, serait un comble!

     

    Photo: Alain Bachellier sous CC