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La Joie est le Chemin. Depuis février 2025, ce blog explore le Flux Intégral et Kernésis. Il est personnel et est constitué exclusivement de mes notes.
La voie la plus simple pour répondre à la question est de dire que par définition 0 est ou n'est pas un entier naturel. En mathématiques, il est possible de poser la définition que l'on souhaite. Celle-ci se trouve marquée dans le marbre et interdit toute négociation possible. Considérons par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels de façon axiomatique. Le premier axiome dit que 0 appartient à cet ensemble. 0 sera ensuite défini comme le plus petit élément de cet ensemble par un axiome suivant.
L'ambiguité sur la présence du zéro dans l'ensemble des entiers naturels est abordée très clairement dans l'article de Wikipédia sur le sujet:
Au début :
En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».
Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre…
Au milieu :
Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N0 ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.
N
Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.
............
...........
C'est encore plus flagrant dans l'article anglophone, qui juste après la présentation, aborde la question de l'histoire des nombres naturels et le statut du zéro.
Afin de mieux cerner où se situe l'ambiguité, il est nécesssaire de revisiter les notions de nombres cardinaux et de nombres ordinaux.
Depuis une vingtaine d'années, un important problème rencontré dans la conservation des espèces est la mesure de la diversité. Cette notion intervient pour savoir quelles espèces en priorité doivent être protégées. La possibilité d'une mesure de la diversité peut d'ailleurs s'étendre à de nombreux autres domaines.
Le sujet contient en fait deux difficultés, la première est d'évaluer la diversité de deux éléments et de la convertir en une quantité que l'on pourrait assimiler à une distance, la seconde est d'évaluer la diversité d'un groupe en utilisant les "distances" deux à deux précédentes et de pouvoir la comparer à celle d'un autre groupe. C'est ce deuxième point que nous allons aborder ici et tenter d'établir s'il peut exister une définition axiomatique de la diversité, au sens de la comparaison de deux ensembles comportant le même nombre d'individus.
Voilà une bonne question et si on la pose à M. Google voilà ce qu'il nous répond ou plutôt ce que les principaux utilisateurs de forums nous répondent.
Bon allez, en fonction de la tête du joueur, de l'âge de celui qui répond et ses connaissances tennistiques on voit apparaître les noms de Nadal, de Federer, de Börg, de Mac Enroe, Wilander, Edberg et cela seulement en consultant le premier lien précédent.
J'ai toujours révé de me faire interroger sur la question par un vrai journaliste sportif. Ah, tiens je le vois arriver.
Le journaliste sportif - Bonjour, vous êtes Webmaster des Inclassables Mathématiques et passionné de tennis.
Moi - C'est ça oui.
Moi (dans ma tête) - J'adore qu'on m'appelle Webmaster avec un W majuscule.
Le journaliste sportif - Alors pour vous quel est le meilleur joueur de tennis de tous les temps?
Moi - Personnellement, je dirai Jimmy Connors à cause de ça:
Le journaliste sportif - Je vois qu'en fait vous êtes très attaché à Connors car c'est un excellent showman mais objectivement, rationnellement, rien ne vous permet de dire que Jimmy Connors est le meilleur joueur de tous les temps.
Moi (dans ma tête) - Le journaliste ne doit sans doute pas savoir que je suis prof de maths et que je peux apporter des arguments mathématiques et rationnels.
Moi - Il faudrait en fait que je vous explique comment faire une analyse du réseau complexe de l'histoire du tennis professionnel depuis 1968 mais je ne sais pas si vous vous sentez d'attaque (de coup droit bien sûr).
Rires (en plus je fais rire le journaliste sportif, je suis aux anges...)
Moi -Alors allons-y.
Nous allons tout d'abord définir les conditions de l'analyse. Nous prendrons en compte les résultats de tous les matchs joués par les joueurs de tennis professionnels entre 1968 et 2010. Tous les matchs du Grand Chelem et ceux intervenant dans le classement ATP seront pris en compte, soit au total 3700 joueurs, 3640 tournois et 133 261 matches.
Si le nombre de tournois est assez régulier avec cependant des pics en 1980 et 1992 avec plus de 90 tournois par an, le nombre de joueurs ne cesse de décroître linéairement depuis 1996 et est passé de 400 environ à 300, comme l'indique le graphique suivant:
Le graphique suivant indique la proportion de de joueurs ayant remporté ou perdu un nombre donné de matches. On voit que beaucoup de joueurs gagnent ou perdent peu de matches (en fait ils quittent les tournois rapidement. A l'autre bout, un petit groupe de joueurs (les meilleurs) jouent beaucoup de matches qu'ils gagnent généralement contre les plus faibles et aussi entre eux qu'ils gagnent ou qu'ils perdent, connu sous le nom d'effet Matthew (les pauvres deviennent plus pauvres et les riches plus riches).
Nous allons ensuite construire le graphe des rencontres. Il sera orienté (une flèche sera "tracée" à chaque victoire du joueur j vers le joueur i) et pondérée par le nombre de défaites du joueur j contre le joueur i.
Le graphique suivant est un sous-graphe extrait de celui de tous les joueurs concernant ceux qui ont été premier au classement ATP. L'intensité et la largeur d'une flêche sont proportionnelles au logarithme de son importance (poids).
La représentation de ce résau peut être utilisée pour classer les joueurs en calculant pour chacun leur taux de "Prestige" dont la somme serait égale à 1. Celà n'est pas sans rappeler la méthode de calcul du PageRank pour classer les pages Web.
Le prestige d'un joueur i représente la fraction de prestige totale de l'état d'équilibre du graphe dans un processus de diffusion. Pour expliquer en termes un peu plus simples, chaque nouveau résultat d'un matche modifie le "prestige" des deux compétiteurs puis par diffusion celui de tous les joueurs. Les mathématiques nous indiques que ce calcul converge vers un équilibre permettant de calculer le nouveau "Prestige" de tous les joueurs du graphes. Par exemple un joueur k qui a gagné contre le joueur i qui vient lui même de remporter un matche contre un adversaire fort voit son prestige augmenter.
Comme dans le cas du PageRank, il est nécessaire de fixer la valeur d'un paramètre (c pour le PageRank, q ici). La valeur a été choisie dans les deux cas.
Le graphique suivant indique le prestige en fonction du nombre de victoires (jusqu'à 7) pour différentes valeurs du paramètre q. Le choix de 0.15 est "traditionnel" et équilibré.
Plus le nombre de matchs gagné est grand plus le prestige est grand. Cependant, le nombre de match gagnés augmentant, le niveau de prestige doit être recalculé en implémentant une condition dite de normalisation, imposant qu'une quantité donnée soit constante. Elle permettra ainsi de définir un Prestige de référence a partir duquel tous les autres pourront être caculés. Cette condition impose que la somme des produits du nombre de victoires par le prestige pour chaque joueur soit égal à 1.
Et le résultat est bien celui que je vous avais donné. Jimmy Connors est bien le meilleur joueur de tous les temps:
Le journaliste sportif - C'est certainement aussi celui qui a gagné le plus grand nombre de matches, c'est à dire dont la carrière a été la plus longue. Et les joueurs dont la carrière est terminée sont favorisés par rapport aux autres qui sont en cours de carrière. Alors pour ce qui est de la rationnalité de votre méthode de calcul permettez moi d'en douter.
Moi (un peu embarassé par les arguments du journaliste) - Burp, c'est à dire que en fait... Vous voyez, il ne faut pas confondre le nombre de victoires et le prestige. Rafael Nadal par exemple serait classé 40 ème au nombre de victoires alors qu'il est à la 24 ème position dans notre classement. C'est aussi visible pour Björn Borg qui a eu une carrière plus courte que la moyenne et est cependant classé dans le top 10 de notre classement. Pour ce qui est de la carrière en cours d'un certain nombre de joueurs, vous avez remarqué qu'il y a un biais. On peut penser à un classement annuel qui diffère parfois du classement ATP et IDF.
Il est possible aussi de penser à un classement par type de surface qui donnerait Jimmy Connors gagnant pour l'herbe et Andre Agassi pour les surfaces dures. Si l'on considère le meilleur joueur des tournois en terre battue c'est Guillermo Villas.
En faisant le calcul par décennie, Jimmy Connors est le meilleur pour les années 70, Ivan Lendl pour les années 80, Pete Sampras pour les années 90 et Roger Federer pour les anées 2000.
Le classement par "Prestige" est donc une nouvelle forme de classement qui ne coïncide d'ailleurs pas toujours avec les classements techniques et qui permet en outre de faire des comparaisons sur des temps longs.
Le journaliste sportif - Merci, je crois que j'ai tout compris, enfin la partie non technique. Vos inclassables mathématiques ont prouvé leur incroyable efficacité et ont eu raison de mes inclassables joueurs de tennis.
RAPPORT sur LES MATHÉMATIQUES EN FRANCE ET DANS LES SCIENCES en présence des lauréats de la médaille Fields, MM. Ngô Bảo Châu et Cédric Villani, ainsi que du lauréat du prix Gauss, M. Yves Meyer Compte rendu de la réunion du 17 novembre 2010
Par M. Claude Birraux, Député
EXTRAIT
M. Sylvestre Huet, journaliste à Libération.
Nous restons un peu sur notre faim. Vous avez d’emblée évoqué les points forts sur lesquels s’est fondée la fameuse excellence de l’école française. Or l’organisation du système de recherche français a subi de grands bouleversements. Selon vous, cela aura-t-il des conséquences positives ou négatives, ou bien une combinaison des deux selon les différents aspects ? Peut-être faudrait-il parler d’autre chose que des médaillés Fields et des quelques autres récompensés, dont les cas sont certes singuliers mais qui sont limités sur le plan des effectifs. En d’autres termes, le nouveau système entraînera-t-il un maintien, un accroissement ou une diminution de la force de frappe des sciences utilisant des mathématiques ? Prenons un peu de recul historique : la France produit ni plus ni moins de docteurs ès sciences qu’en 1993, c’est-à-dire depuis longtemps, dans un contexte où certains pays moyens ou émergents sont dans une dynamique. Cette stagnation, qui frappe les mathématiciens mais aussi les physiciens, les chimistes, les biologistes et les spécialistes des sciences de la terre utilisant les mathématiques, peut-elle continuer ? Pouvons-nous rester dans cette ère, alors que tout le monde nous dit que le futur sera piloté par les sciences et techniques ? Cela me semble la question la plus cruciale ; je ne suis pas convaincu que l’enjeu, aujourd’hui, pour le système de recherche français, réside aux extrémités, école primaire d’un côté, Normale Sup’ de l’autre.
M. Cédric Villani.
Votre question est très difficile car elle fait appel à de la prédiction, exercice toujours délicat. Si j’ai bien compris, vous vous interrogez sur l’impact possible des réformes actuelles sur l’enseignement supérieur. Les bouleversements étant en cours, nous ne disposons pas du recul nécessaire pour savoir comme la situation évoluera. La loi instaurant l’autonomie des universités, notamment, a fait couler beaucoup d’encre. Je suis très favorable à l’autonomie mais beaucoup de gens ne pensent pas comme moi. En tout cas, tout le monde se reconnaît, je crois, dans le mouvement actuel de revalorisation de l’université en tant que lieu de travail et de production de science. Cela plaît particulièrement aux mathématiciens, pour lesquels une carrière normale, passionnante, consiste à travailler au contact des étudiants, à l’université ; celle-ci, pour nous, joue un rôle central. Ensuite, une divergence est sensible entre partisans de la centralisation et de l’autonomie. Personnellement, je pense que la gestion matérielle des universités ne peut se faire à distance, de manière abstraite, qu’elles ont absolument besoin d’un pilotage de terrain. La dimension politique locale est également primordiale. Quant aux effets à long terme, il est difficile de les prévoir. S’agissant des pays émergents, l’université chinoise de Fudan, que j’ai visitée il y a peu, possède un campus effrayant : les standards de qualité de vie sont équivalents à ceux de Stanford. Des sommes considérables sont manifestement investies année après année. Le niveau des élèves n’est évidemment pas le même qu’à Stanford mais l’attractivité est réelle. Peut-être la question des moyens est-elle vitale, les solutions sont souvent simples.
M. Claude Birraux.
La perception de la science et des scientifiques, en Chine, n’est sans doute pas tout à fait la même qu’en France. Certains, chez nous, considèrent que la science est malpropre et que, par conséquent, il ne vaut mieux pas en faire.
M. Cédric Villani.
Les sciences ne bénéficient en effet pas du même respect en Europe et en Asie. Et cela se répercute sur les dirigeants politiques : il est très fréquent, en Chine, que des anciens scientifiques occupent des postes très élevés ; c’est incontestablement beaucoup plus rare dans notre système.
M. Yves Meyer.
Pour répondre très clairement, j’ai toujours été animé par la passion de transmettre et j’ai commencé à enseigner dans le secondaire, avant de poursuivre, pendant quinze ans, en première année de premier cycle universitaire. Mes élèves n’étaient donc ni des médaillés Fields ni des écoliers. La tradition mathématique française, Cédric l’a dit, a consisté à transmettre le feu sacré. Mais cela suppose une réponse. Si aucun public ne vient assister à un concert, à qui en incombe la faute ? Même si le programme est merveilleux, il faut que la société soit au rendez-vous.
La désaffection relative vis-à-vis des sciences traduit aussi la désaffection vis-à-vis de l’effort, mot pratiquement banni de l’enseignement secondaire actuel. Quand j’enseignais en lycée, de 1960 à 1963, je donnais un problème par semaine ; avec cent élèves et dix pages par copie, cela faisait mille pages à corriger et annoter chaque semaine, j’y consacrais mon samedi et mon dimanche. Aujourd’hui, quiconque ferait de même serait traité de bourreau. Les enseignants ne donnent qu’un problème par trimestre, parce que la notion d’effort a disparu.
