Inclassables Mathématiques 2.0

Décidément, Archimède se retrouve propulsé à la Une des Inclassables, hier effacé, aujourd'hui... inutile !


C'est par une analyse poussée d'écrits remontant au 5e siècle avant notre ère que Mark Schiefsky, professeur à la faculté d'Arts et Sciences de Harvard, est arrivé à cette conclusion. "Les artisans disposaient de leurs propres bases de connaissances qui n'étaient pas obligatoirement basées sur la théorie", explique-t-il, ajoutant que "tous ne sont pas allés à l'Académie de Platon pour étudier la géométrie, mais ils pouvaient construire des dispositifs calibrés avec précision".


"Il était communément admis qu'Archimède fut le premier à utiliser la balance à contrepoids, car il était considéré comme impossible de la concevoir avant que le célèbre penseur ait élaboré la théorie du levier", annonce Schiefsky, "alors que les artisans possédaient leurs propres méthodes pour construire et calibrer leurs propres balances".


L'intégralité de l'article de Futura Sciences ICI

Mécanique et mathématiques à Alexandrie par Bernard Vitrac ( PDF) : ICI

Archimède, le maître de la poussée, était aussi le roi du levier, l'homme de la catapulte, et le prince la méthode d'exhaustion. Une question le concernant est cependant restée entière jusqu'à aujourd'hui: Comment a-t-il pu trouver l'encadrement suivant qui apparaît dans "De la mesure d'un cercle"?

Parce que bien sûr, il n'a pas laissé le mode d'emploi et bon nombre de méthodes sont envisageables mais la candidate devrait satisfaire quelques critères de bon sens:

- La méthode utilisée ne doit faire intervenir que ce qui était connu du temps d'Archimède.

- Il doit être possible de remplacer 3 par n'importe quel autre nombre.

- Elle doit être aussi courte et élémentaire que possible.

- Elle ne doit pas impliquer d'ingéniosité  extraordinaire ni d'astuces.

Des propositions ont déjà été faites, mais aucune n'est parvenue à satisfaire tous ces critères. La méthode de Héron ne permet par exemple pas d'obtenir la valeur inférieure. Les méthodes de calcul de babyloniens n'étaient pas nécessairement connues d'Archimède. De nombreuses techniques proposées sont composites et font intervenir des méthodes différentes ou imbriquées.

Pour commencer, la méthode brute permet de parvenir au résultat. Même si elle est longue et laborieuse, cela n'implique pas qu'Archimède ne l'ait pas utilisé, mais simplement qu'elle ne vérifie pas le troisième critère. L'encadrement par deux fractions revient à minimiser la différence |m²-3n²|, et demande de dresser les listes des  m² et des 3n² jusqu'à m=1351, ce qui compte tenu de la grandeur des nombres demanderait un travail de 24 heures à raison du calcul d'un carré par minute. Il faut de plus se rappeler que la numération grecque, principalement utilisée pour les prix et les mesures, ne se prétait pas spécialement à des calculs de ce type accroissant énormément de ce fait le temps des calculs laborieux.

On peut aussi penser qu'Archimède ait résolu les équations de Pell:

Ceci au moins dans le cas particulier où n=3.

Dans ce cas, l'équation avec m=-1 ne possède pas de solution et les deux fractions satisfont :

265²-3x153²=-2 et 1351²-3x780²=1

Les babyloniens savaient résoudre ce type d'équations avec n=2 mais rien n'était dit sur la façon de la faire. Proclus écrivit qu'il en était de même pour les Pythagoriciens en utilisant un procédé algorithmique. Même si les preuves sont absentes et les écrits tardifs, rien n'empèche de le croire. Il faut cependant qu'Archimède ait été capable de généraliser le procédé avec n=3.

La méthode qui semble la plus probable car elle satisfait aux quatre critères précédents, est tout simplement une méthode d'interpolation de deux fractions qui se résume à la propriété suivante:

Cette propriété n'apparaît pas directement dans les Eléments mais elle peut être déduite de propositions existantes par un raisonnement géométrique sur un parallélogramme ou bien en comparant les aires de rectangles formés par les produits en croix.

En partant d'un encadrement entre 1/1 et 2/1, 12 itérations permettent d'obtenir la valeur inférieure et avec 16, on tombe sur la valeur supérieure. De plus le calcul de la quantité m²-3n², pour chacune des fractions m/n obtenue,  permet de savoir si celle-ci est une valeur approchée par excès ou par défaut.

Il est possible que les fractions continues aient été utilisées mais rien d'une part indique que leur usage était connu en Grèce antique et de plus on retombe dans une technique identique à celle de l'interpolation.

Il semble donc que la méthode la plus probable qu'a utilisé Archimède pour réaliser cet encadrement soit la méthode d'interpolation.

Compléments : Archimedes' calculations of square roots E. B. Davies ArXiv

Archimède écrivit un manuscrit sur un rouleau de papyrus il y a 2.200 ans. Plus tard, quelqu'un a copié le texte du papyrus sur un parchemin. Puis, il y a 700 ans, un moine a eu besoin du parchemin pour écrire un nouveau livre de prière. Il a pris la copie du livre d'Archimède qui était  immédiatement disponible , il a coupé les pages en deux, les a tourné de 90°, il a gratté la surface pour enlever l'encre afin de l'utiliser en étant débarassé du texte plus ancien. Il écrivit ensuite ses prières sur des pages presque propres!

Ce livre était transmis de génération en génération au sein d'une famille française puis il a été vendu chez Christie, deux millions de dollars à un acheteur anonyme.

L'empreinte initiale est tout simplement la seule trace des travaux du grand mathématicien grec Archimède.

Cet acheteur a lancé un grand programme de recherche sur le livre. Il ressort visiblement de ce texte qu'Archimède, contrairement, aux idées ayant cours, aurait bien utilisé la notion d'infini réel ( une ligne est infinie) et pas seulement celle d'infini potentiel ( une ligne peut être prolongée indéfiniment).
 

Vous trouverez plus de détails sur l'histoire de ce palimpseste et les derniers résultats des études ICI (en anglais)

L'article de Plume en français : ICI

Le site du palimpseste : ICI en anglais


Et en passant, un fichier PDF sur Archimède et un fichier Powerpoint d'André Ross : ICI et ICI

Il existe sur le web bon nombre d'anecdotes, mais peu en français (voire pas du tout ?), et comme Boris Gourévitch est passionné par la vie des mathématiciens (serait-ce le fruit d'une frustration sous-jacente ?), il se propose de vous faire découvrir quelques-unes des histoires connues ou moins connues. Tout cela pour nous rappeler que ce sont bien des hommes eux aussi !

Quelques extraits de la page consacrée à ce sujet sur le site "L'univers de Pi" : ICI

Niels Abel passe son adolescence à la Kathedralskole de Christinia où il est régulièrement battu par son cruel professeur Bader. Ce dernier est renvoyé après avoir battu à mort un de ses élèves.

Laurent Schwartz faillit rater son admission à l'Ecole normale supérieure. N'étant pas très à l'aise avec la pression de l'écrit, il termina dernier admissible au concours !

Fourier étudie aussi beaucoup la propagation de la chaleur. Obsédé par elle, malade, il pense que la chaleur peut seule le sauver, surchauffe exagérément son logis et meurt d'un arrêt cardiaque !

La méthode d'exhaustion était utilisée par les mathématiciens grecs pour déterminer une longueur, une aire ou un volume. On pense à tort qu'elle est seulement constituée  par un "encadrement" d'une courbe par deux lignes brisées situées de part et d'autre, d'une surface par des polygones  ou d'un volume par des polyèdres, ceux-ci étant intérieurs et extérieurs. Ainsi, en " rapprochant " les objets créés de celui dont on cherche à évaluer la longueur, l'aire ou le volume, on aboutit intuitivement à un encadrement de la quantité cherchée.
La méthode d'exhaustion est en fait essentiellement constituée par la preuve irréfutable de cette intuition et la validation du résultat obtenu par une double réduction à l'absurde. C'est ce que nous explique à merveille André Ross dans un article ( PDF ) : ICI

Archimède utilisa cette méthode afin d'obtenir des résultats très originaux, dont un calcul d'aire faisant intervenir un " levier " pour comparer l'aire d'un triangle et l'aire d'un segment de parabole : ICI

Le résultat le plus connu est obtenu par Archimède, et est sans conteste, l'encadrement de Pi : ICI

Cette méthode, près de 2000 ans auparavant, préparait le terrain du calcul différentiel et intégral qui permettra des calculs plus généraux.

Cavalieri emprunta le chemin de ses ainés dans son Traité des indivisibles pour effectuer des calculs d'aire et de volume : ICI

La méthode de Descartes était purement algébrique, elle ne faisait pas intervenir les concepts de limite et d'infinitésimal,  la route se poursuivit avec Newton et Leibnitz et la naissance du calcul différentiel et intégral.

Pour info, voilà l'adresse de la page d'André Ross avec tous les articles cités et d'autres encore : ICI
Et d'autres articles d'André Ross : ICI

 

Extraits ( PDF ) de " Les nouvelles d'Archimède", revue publiée par l'Université des Sciences etTechnologies de Lille.

27 - Bien ranger son argent p 20

28 -Tout nombre supérieur ou égal à deux est pair p 18-19

29 - Vous êtes la personne la plus riche du monde p 13-14

30 - Trois pensées suffisent toujours p 10-11

31 - Toute série converge vers Pi p 6-7

32 - Désolantes dérivées p 8-9

33 - Les deux enveloppes p  8-9

Et en accès direct :

34 - Le paradoxe des Dupont

35 - Mona Lisa au photomaton

36 - Impossible de gagner

37 - Echange de cravates

38 - Le réveil

39 - L'hôtel paradoxal

40 - L'interrogation surprise

41 - L'arithmétique malmenée par la géométrie

42 - Le grand méchant logicien et DOSSIER SPECIAL MATHEMATIQUES

43 - Mais qu'ai-je donc fait d'interdit ?

44 - Jetons noirs et jetons blancs

45 - Acheter une voiture au meilleur prix


Et un grand merci à Blog à Maths pour cette découverte.

Bien évidemment, ce n'est pas Pythagore. Ce serait trop simple. Tout comme Archimède et sa baignoire ou Newton et sa pomme, bien des légendes se sont construites au fil du temps. On ne sait même pas si Pythagore s'est un jour intéressé à ce théorème, connu bien avant lui comme le montrent des tablettes babyloniennes en argile, datant de 1800-1700 av. J.-C. On y trouve des séries de chiffres qui satisfont à ce théorème dit de Pythagore. Rappelons qu'il stipule que dans un triangle rectangle, le carré du plus grand côté (l'hypoténuse) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. La fameuse formule a² = b² + c².

On ne sait pas grand-chose de la vie de Pythagore et il n'a laissé aucun écrit direct. Mais qu'il ait été à son époque un « grand » des mathématiques n'est pas contestable. L'époque à laquelle il vivait est d'ailleurs particulièrement riche en grands esprits. Pythagore est né vers 570 av. J.-C. sur l'île de Samos, comme Archimède deux siècles plus tard. Pythagore est contemporain de Confucius et Lao-Tseu, de Bouddha et de Zarathoustra. Mais il ne les connaissait sans doute pas. Après avoir apparemment beaucoup voyagé, il se fixe à Crotone en Calabre, dans le sud de l'Italie (il y mourra vers 480 av. J.-C.). Là, il fonde une espèce de fraternité mystique basée sur les mathématiques et les nombres qui, pensent-ils, sont à la base de l'harmonie universelle. « Tout est nombre » est leur principe et ils attribuent à toute chose un nombre. Ils établissent aussi une correspondance entre les nombres et les mécanismes de la nature. « Les nombres seuls permettent de saisir la nature véritable de l'univers », affirment-ils. Ils croient à la réincarnation, Pythagore lui-même s'estimant la réincarnation d'Euphorbe, un héros troyen. Ils ont des règles de vie strictes comme manger cru et végétarien, ne pas s'habiller de laine ou... ne surtout pas manger de haricots.
Si Pythagore n'est pas l'auteur de « son » théorème, son école a apporté de nombreuses nouveautés en mathématiques. En premier lieu parce que les pythagoriciens avaient une vision du monde très en avance sur leur époque. Ils pensent ainsi, déjà, que la Terre est ronde et que les astres se déplacent sur des cercles concentriques qui obéissent à des lois mathématiques. Il invente ainsi le terme « cosmos » qui veut dire ordre. Ce sont aussi les premiers à développer les démonstrations (le théorème de Pythagore peut aujourd'hui se démontrer de plus de 350 façons différentes). Et ils ont beaucoup étudié les sons et les notes de musique, établissant les harmoniques, les accords et le rapport entre longueurs des cordes et sons.

En revanche, ils refusent le zéro, qu'ils apparentent au « vide », de « non-existence » et que donc la nature refuse, et s'empêtrent dans les nombres dits « incommensurables » que l'on appelle aujourd'hui irrationnels. C'est-à-dire que ce ne sont ni des entiers, ni des fractionnaires. Les pythagoriciens ont découvert qu'il est impossible de trouver deux nombres entiers tels que le carré de l'un soit le double du carré de l'autre. Cette question des nombres irrationnels aurait été découverte en constatant que la diagonale d'un carré ne contient pas un nombre entier de fois la longueur du côté du carré : on ne peut pas dire que la diagonale est une fois et demie, ou deux fois, ou deux fois et demie plus longue que le côté. Cela a beaucoup déstabilisé les disciples de Pythagore car cela allait contre leur principe que dans la nature, un nombre est associé à chaque chose. Ils ont quand même beaucoup développé l'arithmétique, ont fondé les bases de la théorie des proportions et étudié les nombres pairs et impairs.
Mais comme de nombreux autres domaines scientifiques, il n'y a pas eu de progression linéaire et constante. Il y a parfois des avancées, parfois des reculs. Au XVIIIe siècle av. J.-C., les Mésopotamiens savaient résoudre des équations du second degré, ainsi que quelques équations du troisième et même du quatrième degré. Deux siècles plus tard, ce savoir se sera apparemment perdu et les Égyptiens ne sauront plus résoudre que des équations du premier degré.
L'histoire du zéro est aussi zigzagante. Si les pythagoriciens refusaient le zéro, longtemps avant eux, les Babyloniens l'utilisaient. Mais dans des formes balbutiantes. Toutes les civilisations, indiennes, mayas et autres, ont, à un moment ou à un autre, flirté avec le zéro. Et le plus difficile pour nous aujourd'hui est d'arriver à comprendre comment on pouvait faire des calculs sans le zéro tel que nous le connaissons, à la fois quantité nulle et chiffre des dizaines, centaines, milliers, etc.

L'article original : ICI

Toutes les chroniques de Jean-Luc Nothias sur www.lefigaro.fr/sciences

Sommaire des vidéos

1.  La transmission des traditions mathématiques anciennes aux savants de langue arabe : les héritages grec, indien, mésopotamien (17 min)
2. Al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre (12 min)
3. Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateurs ? (12 min)
4. Le développement de l’algèbre entre les 9° et 13° siècles : contemporains et successeurs d’al-Khwārizmī (7 min) 
5. Les systèmes d’équations : Abū Kāmil et al-Karajī (9 min) 
6. Les polynômes (11 min)
7. Les équations du troisième degré (10 min) 
8. L’Occident musulman (14 min)

Index des noms propres cités dans la vidéo

Mathématiciens grecs cités :

• Euclide (3e s. av. J.C.)
• Archimède (mort en 212 av. J.C.)
• Apollonius (3e s. av. J.C.)
• Héron d’Alexandrie (2e s.)
• Diophante (3e s.)

Mathématicien indien cité :

• Brahmagupta

Califes cités :

• Harūn ar-Rashīd (calife de 785 à 809)
• al-Mansūr (calife de 754 à 775)
• al-Ma’mūn (calife de 813 à 833)

Mathématiciens de la tradition arabe cités

	Orient musulman	Occident musulman
9e siècle	al-Khwārizmī (780-850) Abdel Hamid ibn Turk (9e s.) al-Māhānī (9e siècle - mort vers 880)
10e siècle	Abū Barza (mort en 910) Qustā ibn Lūqā (mort en 910) Abū Kāmil (mort en 930) al-Kūhī (10e s. – ca. 970) Abū l-Jūd (10e-11e s.) Ibn al-Haytham (965-1041)	Ibn cAbdūn (923-ap.976) Abū Bakr (ca. 10 e s.)
11e siècle	al-Karajī (mort en 1029) Sinān ibn al-Fathz (10e s.) cUmar al-Khayyām (1048-1131)
12e siècle	as-Samaw’al (mort en 1175)
13e siècle		Ibn Badr (13e s.)
15e siècle	al-Qatrawānī quitte son pays natal – l’Egypte – pour aller enseigner à Tunis.

• Les vidéos sur le site de CultureMath: ICI

J'ai cherché une liste des plus grands mathématiciens de tous les temps sur Internet et je n'ai rien trouvé en français. J'ai donc décidé d'en reproduire une avec les liens Wikipédia.

Toute liste est sujette à polémique. Le classement que je propose en est un parmi d'autres. Je l'ai d'ailleurs repris sur ce site ( en anglais) et je ne pense pas que ma contribution apporte énormément à l'affaire. Si j'ai d'ailleurs nommé ce blog " Inclassables Mathématiques ", c'est devant le constat que la science du classement me parait elle-même inclassable ainsi que ses contributeurs.

La discussion au sujet  de l'ordre choisi peut d'ailleurs être intéressante, ainsi que les grands absents de cette liste. Le H apparaissant à coté d'un mathématicien indique qu'il apparait dans le livre de Stephen Hawking "Et Dieu créa les nombres" regroupant selon lui, les plus grands textes de mathématiques. Tag indique un lien vers le tag correspondant dans ce blog. Vous pouvez aussi faire une recherche directe dans ce blog sur le nom du mathématicien en le sélectionnant.

1 Archimède de Syracuse   H Tag
2 Isaac Newton H Tag
3 Carl F. Gauss H Tag
4 Leonhard Euler Tag
5 Euclide  d'Alexandrie H Tag

6 Bernhard Riemann H Tag
7 Henri Poincaré Tag
8 David Hilbert Tag
9 Joseph-Louis Lagrange
10 Pierre de Fermat Tag

11 Niels Abel
12 Alexander Grothendieck Tag
13 Évariste Galois Tag
14 Srinivasa Aïyengar Ramanujan Tag
15 Leonardo Pisano Fibonacci Tag

16 Gottfried Wilhelm Leibniz Tag
17 Eudoxe de Cnide Tag
18 Karl Wilhelm Theodor Weierstrass
19 Blaise Pascal Tag
20 René Descartes H Tag

21 Brahmagupta `Bhillamalacarya'
22 Augustin Louis Cauchy H Tag
23 Georg Cantor H Tag
24 John von Neumann
25 Aryabhatta

26 Carl G. J. Jacobi
27 Pierre-Simon Laplace H
28 Arthur Cayley
29 Amalie Emma Noether
30 Kurt Gödel H Tag

31 Apollonius de Perga
32 Pythagore de Samos  Tag
33 Muhammed ibn Musâ al-Khawârizmi Tag
34 Hermann Klaus Hugo Weyl
35 Bhaskara II

36 Takakazu Seki
37 Charles Hermite
38 André Weil
39 William Rowan Hamilton
40 Gaspard Monge Tag

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