26 novembre 2007

L'algèbre arabe - vidéo - Ahmed Djebbar

Sommaire des vidéos

  1.  La transmission des traditions mathématiques anciennes aux savants de langue arabe : les héritages grec, indien, mésopotamien (17 min)
  2. Al-Khwārizmī et ses intentions quant à son traité d’algèbre (12 min)
  3. Le traité d’algèbre d’al-Khwārizmī : simple compilation des savoirs algébriques arabes ou traité novateurs ? (12 min)
  4. Le développement de l’algèbre entre les 9° et 13° siècles : contemporains et successeurs d’al-Khwārizmī (7 min) 
  5. Les systèmes d’équations : Abū Kāmil et al-Karajī (9 min) 
  6. Les polynômes (11 min)
  7. Les équations du troisième degré (10 min) 
  8. L’Occident musulman (14 min)

Index des noms propres cités dans la vidéo

Mathématiciens grecs cités :

  • Euclide (3e s. av. J.C.)
  • Archimède (mort en 212 av. J.C.)
  • Apollonius (3e s. av. J.C.)
  • Héron d’Alexandrie (2e s.)
  • Diophante (3e s.)

Mathématicien indien cité :

  • Brahmagupta

Califes cités :

  • Harūn ar-Rashīd (calife de 785 à 809)
  • al-Mansūr (calife de 754 à 775)
  • al-Ma’mūn (calife de 813 à 833)

Mathématiciens de la tradition arabe cités

  Orient musulman Occident musulman
9e siècle al-Khwārizmī (780-850)
Abdel Hamid ibn Turk (9e s.)
al-Māhānī (9e siècle - mort vers 880)
 
10e siècle

Abū Barza (mort en 910)
Qustā ibn Lūqā (mort en 910)
Abū Kāmil (mort en 930)
al-Kūhī (10e s. – ca. 970)
Abū l-Jūd (10e-11e s.)
Ibn al-Haytham (965-1041)

Ibn cAbdūn (923-ap.976)
Abū Bakr (ca. 10 e s.)

11e siècle

al-Karajī (mort en 1029)
Sinān ibn al-Fathz (10e s.)
cUmar al-Khayyām (1048-1131)

 
12e siècle as-Samaw’al (mort en 1175)  
13e siècle   Ibn Badr (13e s.)
15e siècle al-Qatrawānī quitte son pays natal – l’Egypte – pour aller enseigner à Tunis.
  • Les vidéos sur le site de CultureMath: ICI

20 septembre 2007

D'Al-Khayyam à Descartes: sur les courbes

Le sujet de cet article ( PDF ) de Roshdi Rashed, ICI,  est entièrement contenu dans le titre, et en guise d'introduction, je vous propose la... conclusion:

La modernité mathématique au XVIIe siècle ne serait-elle alors qu’une reproduction de celle qui est advenue au XIe siècle ? Nullement. Serait-elle, comme on se plaît à l’affirmer, un commencement radical ? Non plus.

Nous venons de montrer qu’une telle alternative n’est en fait pas pertinente : pour lire la Géométrie de Descartes, il faut aussi regarder en amont vers al-Khayyam et al-Tûsî et, en aval, vers Newton, Leibniz, Cramer, Bézout et les frères Bernoulli. Il en est de même s’il s’agit de situer l’Isagogè et la Dissertation de Fermat : un retour en amont à des écrits comme ceux d’Ibn al-Haytham et de Descartes s’impose en effet, de même qu’il faut avoir le regard dirigé en aval vers les Bernoulli, Cramer et Bézout. Alors seulement tous ces livres novateurs trouveront la place qui n’a jamais cessé d’être la leur. La Géométrie, par exemple, n’est nullement un commencement absolu, mais, au même titre que les autres oeuvres fondatrices, elle inaugure un style : celui d’une reprise, d’une adaptation et d’une rectification des traditions dont elle est l’héritière. Mais, comme ces oeuvres, elle ouvre la voie à d’autres évolutions – en géométrie algébrique, et aussi en géométrie différentielle. La modernité se présente ainsi comme la réalisation de quelques potentialités héritées de la tradition, en même temps qu’elle est génératrice de potentialités neuves pour le futur. Mais pouvait-il en être autrement ? Rien n’empêche, si l’on ne pense que par concepts tout faits, de soutenir que continuités et ruptures sont inscrites les unes dans les autres. Mais tout discours sur la Géométrie de Descartes, ou sur les deux livres de Fermat, est condamné à être oblique s’il néglige les liens intimes qui enracinent ces oeuvres dans la tradition, aussi bien que les nouveaux possibles qui les habitent, et qui devront attendre pour se réaliser effectivement que la modernité soit elle-même devenue tradition. La véritable force intellectuelle de J. Vuillemin est précisément d’avoir parfaitement appréhendé cette dialectique latente, alors que la tradition était encore si mal connue.


Entretien de Roshi Rashed ( passionnant !) en PDF : ICI

16 septembre 2007

Rationalités comparées des contenus mathématiques - Ibn al Haytham dit Alhasen et al Tusi

La philosophie dans le champ de l'histoire des sciences par Michel Paty. Sur les travaux de Roshi Rashed.

L'intégralité  du texte en PDF : ICI

Dans le document précédent, Michel Paty s'appuie sur les travaux de Roshi Rashed sur l'histoire des mathématiques arabes pour  se pencher sur la question des changements et des innovations, sur leur rapport aux conceptions et traditions antérieures, en vue d'apporter des éléments à ce que pourrait être, pour ce domaine, une philosophie de la découverte au sens propre.

J'ai choisi, plutôt que de paraphraser le texte, d'extraire quelques morceaux choisis et d'y inclure quelques liens, dont la seule lecture ne pourra remplacer celle de l'intégralité du texte.

60e3a9fef1b39ceb8dcc9c130011f581.jpgLe problème des découvertes

La notion de découverte et de nouveauté dans les connaissances est évidemment d'une importance première en histoire des sciences et, à cet égard, l'histoire des sciences arabes ne fait pas exception. Il est clairement établi désormais, notamment par l'œuvre de R. Rashed, pour l'histoire des mathématiques, que le champ des mathématiques arabes est fait de découvertes, et non seulement de traductions et de transmissions. Or il est désormais démontré que la science et notamment les mathématiques, bouge beaucoup entre le IXème et le XIIème siècle, au sud de la Méditerranée, sans qu'on puisse parler de révolution pour autant, sauf peut-être, on le verra, pour l'optique d'Ibn al-Haytham (dit Alhasen),  encore qu'elle ait été masquée par la persistance d'une manière traditionnelle de présentation. Il faudrait peut-être d'ailleurs examiner sous cet angle d'autres innovations relatives à l'algèbre, à la géométrie algébrique : s'agit-il de révolutions au sein de la tradition ? Mais, de fait, la catégorie de « science normale » se révèle, ici comme en bien d'autres situations, inutilisable.

Par ailleurs, la question de la découverte est fort peu prise en compte en philosophie, pour des raisons diverses, mais dont une raison est la difficulté inhérente à la problématique de la « nouveauté » même, dont le concept semble se détruire de lui-même, assimilé dans la pratique et la reformulation dès sa première apparition. Il est fréquent que les savants qui innovent n'aient pas eux-mêmes conscience de la nature de leur innovation. L'importance d'un élément réellement nouveau apparaît surtout au niveau structurel d'un ensemble de modifications, comme on le verra sur le sujet qui nous retient aujourd'hui.

ea0fdf814347cba3dc36fa1570d7af7b.jpgOn peut évoquer, parmi de multiples cas, celui de l'apparition de l'analyse locale et de la dérivée dans l'oeuvre d'al-Tusi, qui représente un important chaînon dans le développement de la géométrie algébrique après al-Khayyam, entre Appollonius et Descartes. Al Tusi instaure l'analyse locale et analytique des courbes, introduit l'utilisation des transformations affines, étudie les maxima d'une fonction au voisinage d'un point, et donne pour la première fois la forme de ce que l'on appellera plus tard la dérivée, en l'utilisant de façon systématique (c'est une dérivée muette, présente dans les faits, mais sans les dénominations, sans le concept). Un élément de nouveauté se trouve effectivement présent, mais comment le caractériser sans anachronisme ? Son importance passa (probablement) inaperçue sur le moment, bien qu'il ne s'agisse de rien de moins que de l'invention d'un nouvel objet mathématique. Elle est également inaperçue d'une approche historique a-posteriori qui prend son information et ses critères d'une tradition établie différemment.

La question de la rationalité

"La raison se construit dans les pratiques en lesquelles elle se reconnaît et elle se découvre elle-même en se construisant" Jean Ladrière

Nous ne savons pas caractériser la raison d'une manière totalement analytique, bien que nous sachions comment elle fonctionne, à l'usage.

Les philosophes actuels, s'ils constatent les changements dans les connaissances, ne les rapportent que très rarement à des modifications dans la structure de la raison elle-même, qu'ils auraient plutôt tendance à considérer comme immuable. Pendant des décennies l'on parlait, pour la dénier de "logique de la découverte".

La raison reste encore elle-même difficile à penser en tant que structure mentale fonctionnelle et sujette à des modifications.

La rationalité ne concerne pas seulement la rigueur ( qui se tient du côté de la logique ), mais aussi de l'intuition, par laquelle Poincaré considérait que le monde a à voir avec le réel, et qui est impliquée dans l'invention sans laquelle il n'y aurait pas de mathématiques.

Ibn al Haytham

Ibn al Haytham dégageait ainsi le problème de la propagation de la lumière de celui de la vision, en séparant les conditions respectives de l'une et de l'autre. [...] Il considéra la lumière non plus comme une émanation de l'oeil, comme dans la doctrine de l'antiquité du "rayon visuel", mais comme une entité (dans son vocabulaire aristotélicien, une "quantité substantielle" ou "accidentelle"), qui se propage des corps lumineux ou illuminés vers l'oeil.

R. Rashed indique que dans cette nouvelle conception, "le rapport entre géométrie et optique est un isomorphisme de structure, et nullement une synthèse" comme on le concevait avant ce savant.

Dans telle étude des problèmes solides dont il cherche les solutions par l'intersectionde coniques, où il s'interroge sur l'existence des solutions en étudiant le comportement à l'infini ( c'est à dire les asymptotes de l'hyperbole utilisée ), Ibn al-Haytham fait montre d'inventivité, qui modifie les données initiales du problème en les transformant, ouvrant ainsi la voie de solutions inédites.

C'est chez Ibn al Haytham qu'apparaît la nécessité de justifier l'existence d'une solution après avoir résolu la construction, de "transformer la construction en preuve logique d'existence".

Ibn al Haytham définit la droite comme "la ligne telle que si l'on fixe deux quelconques de ses points et si on la fait tourner, sa position ne change pas".

Ibn al Haytham innove en mettant en jeu de nouveaux concepts comme l'intérieur et l'extérieur d'une courbe, la concavité ou la convexité, le comportement asymptotique, ainsi qu'une notion implicite mais effective, cell de continuité.


Dans la conclusion

Le rationnel n'est pas univoque et déborde largement le logique; il peut prendre, dans les modalités de compréhension, appui sur l'intuition intellectuelle, qui n'est pas formulable en termes explicites et qui porte sur des "conditions initiales" intellectuelles qui sont très différentes selon chacun.

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Vizir hérétique mais philosophe d'entre les plus grands: Al-Tûsî vu par Ibn Taymiyya de Yahia Michot Oxford University ( PDF) : ICI

22:05 Publié dans Philosophie | Tags : al-haytham, al-tusi, histoire, philosophie, paty, monde, pdf | Lien permanent | |  Imprimer |  Facebook | | | | Pin it! |