Les tablettes mathématiques de Nippur sont de très vieux brouillons mathématiques d'écoliers!

Vous trouverez les photos ICI. 

Christine Proust a fait un travail énorme sur ces tablettes qu'elle a consigné dans un livre ICI.

Ce livre, préfacé par Christian Houzel, présente une collection de tablettes mathématiques d’époque paléo-babylonienne (début du deuxième millénaire avant notre ère) qui ont été exhumées à la fin du XIX e siècle par une mission archéologique américaine sur le site de Nippur (Mésopotamie centrale). Ces tablettes sont aujourd’hui conservées dans les musées archéologiques d’Istanbul, de Philadelphie et de Iéna. Le lot d’Istanbul est entièrement édité dans cet ouvrage et dans le CD qui l’accompagne (photos, copies, transcriptions). Les tablettes mathématiques de Nippur sont principalement des brouillons d’écoliers. Sans doute considérées comme trop élémentaires, elles avaient jusqu’à une date récente peu attiré l’attention des épigraphistes et des historiens, et elles étaient restées ignorées dans les réserves des musées. Pourtant, les tablettes scolaires apportent de précieux témoignages sur la vie intellectuelle qui s’est épanouie à Nippur, la grande capitale culturelle de la Mésopotamie, et notamment sur la place qu’y occupaient la langue sumérienne et les mathématiques, dans leurs raffinements les plus abstraits. L’étude des textes scolaires mathématiques, en prolongeant celles qui ont été menées sur les textes scolaires lexicaux et littéraires sumériens, permet une reconstitution remarquablement détaillée du cursus de formation des scribes. Précisément parce qu’ils sont des textes d’apprentissage, ces modestes brouillons d’écoliers donnent accès aux conceptions originales en matière de métrologie, de numération et de calcul qui étaient inculquées aux jeunes scribes et qui donc contribuaient au fond culturel des milieux érudits. Par ailleurs, trois textes mathématiques savants, dont un texte inédit conservé à Istanbul, ont été retrouvés à Nippur. Leur contenu est particulièrement intéressant, car il concerne différents aspects du calcul des volumes et des racines cubiques. Si on les aborde selon les conceptions élaborées par les scribes eux-mêmes, telles qu’elles leur ont été enseignées, et non au moyen de nos outils algébriques et arithmétiques actuels, ces textes livrent toute la singularité et la finesse des mathématiques qui se sont développées à cette époque.

La place du calcul dans l'enseignement, il y a 4000 ans : ICI

En 1478, il y avait 84 ateliers d'ébénisterie à Florence s'occupant principalement de marqueterie. Les marqueteurs étaient nommés les maîtres de la perspective.

C'est vers les années 1450 que la marqueterie évolua de simple décor architectural secondaire à la position éminente d'art géométrique par excellence. A cette époque, les panneaux de marqueterie représentaient souvent des scènes urbaines vues comme au travers d'une fenêtre ouverte. Certains panneaux représentaient aussi de façon saisissante le contenu d'un buffet dont les portes seraient entrebâillées. Ils éaient parfois composés de plus d'un millier de pièces découpées avec une extrême précision dans des essences de bois diverses ( ébène, cyprès, buis, noyer ) après qu'eut été réalisé un dessin en perspective et que l'aspect naturel de certains morceaux ait été modifié par teinture ou apr brûlage superficiel afin de renforcer l'effet de profondeur.

Les deux théoriciens de la perspective qui permirent l'essor de cet art étaient Florentins. Il s'agissait de Filippo Brunelleschi et de Leon Batista Alberti.

C'est Alberti qui fut à l'origine de ce que l'on appelle aujourd'hui le point de fuite et la ligne d'horizon. C'est lui aussi qui représenta le premier la grille figurant un plancher carrelé dont les figures diminuent avec l'éloignement.

Depuis le moyen-âge, s'affrontaient les partisans de l'extramission qui affirmaient que l'oeil envoyait de rayons lumineux et ce ceux de l'intramission qui pensaient au contraire que les rayons provenaient des objets pour se diriger vers l'oeil. Les  théoriciens médiévaux des deux camps se sont accordés sur.... le rayon central, celui par lequel le monde est le mieux perçu et symbole de la moralité divine. Alberti n'avait pas besoin de pencher dans l'un ou l'autre camp puisque sa pyramide de vision, à la base de sa théorie, gardait la même géométrie quelque soit le sens du rayon. Le sommet de cette pyramide coïncidait avec l'oeil et sa base avec ce qu'il voyait.

Avec cette formulation, la construction des oeuvres possédait une base théorique tout aussi solide que celle élaborée par les Pythagoriciens 550 ans avant JC sur la musique et perpétuée jusqu'alors par le quadrivium de la scolastique.

Peindre ou représenter le monde visible devenait alors le moyen d'étudier les lois de la nature et l'on comprend à quel point il était nécessaire d'être le plus fidèle possible à la réalité.

Fra Giovanni de Vérone était un maître de la marqueterie de cette époque. Il réalisa le panneau suivant aux alentours de 1519. On y voit dans sa partie supérieure un polyèdre à 72 faces, symbole de l'architecture. Accrochés sous l'étagère, on trouve les instruments de marqueterie - le compas, la règle, la pièce carrée - autour desquels est  enroulé un ruban sur lequel est écrit en grec " Voici les outils de marqueterie". Sur le bas du buffet est représenté, comme posé, le mazzochio, cette structure torique en boudin, qui était à la fois une coiffure florentine et un symbole de la géométrie dans l'espace.

On remarque très bien la maîtrise totale de l'artiste dans son art en regardant les panneaux suivants ( source ICI - en italien, que je vous conseille de parcourir intégralement).

ã Copyright 2001 dell'associazione l'Arengario, Monza

Les marqueteurs étaient des artistes, des géomètres et des menuisiers.

Dans beaucoup d'oeuvres, la géométrie ne figure pas comme seul moyen de conception et d'execution, mais elle est aussi au centre de la représentation elle-même. La marqueterie est ainsi un exemple assez surprenant d'autoréférence, propriété particulièrement intéressante pour les philosophie des arts, du langage et des mathématiques.

Il est intéressant de noter que Platon opposait la fausseté de l'art à la vérité des mathématiques, il résuma l'ordre, l'harmonie et l'explication du monde aux cinq solides parfaits... qui comme pour faire un pied de nez à toute son oeuvre se retrouvent au centre des représentations artistiques. La possibilité qu'ont les artistes à les représenter augmentant la compréhension qu'ils ont de ces objets et du monde,

C'est certainement dans la figure du mazzochio, que s'unissaient symboliquement les mathématiques et les ats picturaux. La construction de cette figure était considérée comme très difficile jusqu'à la fin du XVème siècle. Pour les marqueteurs le mazzochio était certainement le lien entre leur travail et la renaissance des mathématiques. Il était le "chef-d'oeuvre" de ces maîtres de la perspective.

Sa représentation demandait des connaissances et une technique importante en perspective. En effet, avant d'arriver à la figure finale, il fallait itérer un processus complexe pour l'époque.

La première étape consistait à construire deux octogones  symétrique par rapport à une verticale, puis a tracer les horizontales joignant leurs sommets.

La deuxième étape consiste à construire les polygones concentriques que l'on voit sur la figure ci-dessus ( cliquer sur la figure pour ouvrir le fichier PDF et agrandir l'image page 2).

La troisième étape permet de reporter les points obtenus par projection des cercles sur la figure de l'étape 1 comme on le voit très bien sur l'image précédente en bas à gauche.

La quatrième étape permet de construire un quadrillage adapté à le représentation dans l'espace.

La cinquième étape permet de construire une première ligne polygonale en perspective.

Le mazzochio complet est obtenu avec sept itérations successives des étapes 4 et 5. Chacune de ces itérations permet le tracé d'une ligne polygonale en perspective.

On retrouve cette figure du mazzochio représentée par Uccello dont les dessins préparatoires laissent apparaître les trous de la pointe du compas et les lignes du tracé.

On peut se laisser séduire par l'achat d'une  représentation de ce mazzochio en se rendant sur le site des musées italiens ( cliquez sur l'image ).

© MuZéO 2006 

 

Après que cet art fut porté au plus haut, son déclin n'en fut que plus fulgurant. Au XVème, Vasari, reflétant la pensée du moment déclarait que la marqueterie était pratiquée par ceux qui avaient plus de patience que de talent! Vasari pensait d'ailleurs que les travaux d'Uccello étaient une perte de temps.

Le climat artistique changea profondément et le milieu du XVIème vit l'apparition d'un Michel-Ange qui s'éleva contre une formulation trop stricte des règles de perspective.

Bientôt les mathématiques tant honorées le siècle précédent furent dénigrées avec vigueur. Zuccari rejeta même complètement l'apport des mathématiques dans la peinture.

Le désintérêt de la perspective sonna le glas de la marqueterie. En fait après 1525, les travaux de marqueterie n'étaient plus réalisés que d'après des cartons sans grande valeur artistique, les marqueteurs devenant ainsi de pâles imitateurs de peintures, alors qu'il avaient été à l'origine des plus grandes avancées dans le domaine de la perspective, ce qui permit au peintre de se les approprier.

Au regard de l'histoire, les marqueteurs méritent donc d'être replacés au centre de la renaissance comme ceux qui ont permis "la rationalisation de l'espace vu".

Source : Pour la Science Septembre 1982

J'avais commencé l'histoire un peu romancée de Li Shanlan. Je me suis appuyé sur un article de Jean-Claude Martzloff dans la revue Pour la Science de Mai 1988, et je cherchais depuis tout ce temps plus de renseignements disponibles sur le Web que les liens que je vais fournir. Le début de l'histoire de Li est ICI et la suite ICI,  l'histoire se termine juste avant qu'il n'échoue à la licence. Notez que les conditions décrites sont réelles, c'est ainsi qu'avait vraiment lieu le concours ( voir à ce sujet, le document Word passionnant "Pratique des examens littéraires en Chine" :  ICI ) .

Vous trouverez sa biographie complète en anglais ICI

Quelle fut l'oeuvre mathématique de cet homme autodidacte dont l'échec à l'examen triennal de la licence sonna le début de sa carrière mathématique alors qu'il était littéraire ?

En 1867, à 56 ans il fit paraître la collection de ses oeuvres intitulées " Les mathématiques du studio voué à l'imitation des Anciens".

Le traité Duoji bilei ( somme finie d'entiers ), dans lequel il présente la formule de Li Renshu ( c'est lui ) est déconcertant: pas de théorèmes, pas de définitions, pas de démonstrations! La langue utilisée est celle du XIIIème siècle et les formules sont justes...
On y reconnaît les nombres eulériens, les nombres de Stirling de première espèce. La traduction du texte laisse apparaitre entre des tas de petites billes et des petits cubes représentants des nombres figurés, des formules dont aucune trace n'apparaît avant 1867 pour la formule dite de Li Renshu et avant 1883 pour la formule dite de Worpitzki. Le style et la présentation très personnels de Li Shanlan décontenancèrent les premiers historiens. Li indique qu'il voulu présenter son travail avec clarté tout en restant fidèle au style traditionnel, ce qui rend impossible d'établir les démonstrations de ses résultats dans une forme qui nous est familière.
La logique du Duoji bilei serait plus d'ordre heuristique que formel. Beaucoup d'indices convergent dans ce sens : abondance des généralisations à partir d'exemples, mises à profit des ressemblances de situations proches, procédés de suggestion des résultats.

Li Shanlan a su utiliser à merveille le Triangle de Pascal ( voir notes et références de l'article de Wikipédia ) et eut l'idée des triangles de Pascal généralisés. Sans expliquer comment il s'y prend pour calculer des sommes complexes d'entiers, il ne se trompe pourtant jamais dans les formules, ce qui montre qu'il savait vraiment s'y prendre.

L'idée m'est venue de publier une série de notes en utilisant comme base, les hexagrammes du Yi-king.

Le Yi-King ou Yi-Jing est basé sur un postulat que même ses plus fervents détracteurs ne pourront réfuter, à savoir que le changement est paradoxalement la seule chose permanente dans notre univers.

Je vais vous expliquer en quelques mots l'histoire et le principe de ce livre philosophique chinois dit « Livre des mutations ou des changements » dont les racines remonteraient à plus de 4000 ans avant Jésus-Christ d'après la tradition élaborée par les Han de 206 av. JC à 220 ap J.C ( historiquement un millénaire ). Les hexagrammes furent originellement utilisés par les devins chinois qui employèrent des os, des carapaces de tortue et par la suite de l'achillée à des fins divinatoires interprétant les figures selon la philosophie du Yi-king. La symbolique du Yi-king se réfère principalement au premier système structurant de la chine: il était féodal et rural. Pour ma part, je ne considérerai que la portée philosophique de ce livre déroutant, laissant de coté toute autre interprétation possible.

Le Yi-king est le fruit d'une recherche spéculative et cosmogonique élaborée, dont les articulations ont informé durablement la pensée chinoise. Sa structure mathématique a impressionné Leibniz, qui y aurait vu la première formulation de l'arithmétique binaire.

Il me semble important de vous résumer les bases de ce livre de près de 900 pages où le texte ancien est clairement dissocié des commentaires traditionnels qui le suivent. Tout naît du Yin et du Yang, du souple et du ferme matérialisés par un trait discontinu pour le premier et d'un trait continu pour le second avec la possibilité, que l'un vieillissant, peut se transformer en l'autre.

L'idée de les coupler est immédiate, deux traits discontinus l'un au dessus de l'autre forment un vieux Yin ( très ou trop souple ) et deux traits pleins forment un vieux Yang ( très ou trop rigide ). Mais quelle interprétation peut-on faire d'un trait plein et d'un trait discontinu ensemble? L'idée de jeunesse dynamique semble pertinente, mais alors qui donne le sens de cette union?

C'est celui qui est au dessous de l'autre, car il naît à la vie du bas vers le haut, telle une germination. Un trait Yin sous un Yang sera un jeune Yin, un peu trop jeune pour être sage mais plein de vitalité et il en sera de même pour la configuration inverse qui donnera un jeune Yang. C'est donc la place du dessous qui sera la place maîtresse.

L'idée d'empiler ces couples de deux traits l'un sur l'autre est aussi naturelle, le couple du dessous représenterait la terre, au milieu les traits seraient ceux de l'homme et au dessus il y aurait le ciel. Ceci constitue un hexagramme de 6 traits brisés ou non, empilés les uns sur les autres. Les plus matheux d'entre vous remarqueront qu'il y a 2 possibilités pour chacun des traits et donc 2x2x2x2x2x2=64 hexagrammes possibles ( et non 2+2+2+2+2+2 !). Les rapports entre les traits construiront le sens interne de l'hexagramme. La possibilité qu'ils ont de chacun se transformer en leur opposé donnera une dynamique externe. Cependant, l'interprétation de 3 couples de 2 traits pouvant chacun prendre 4 interprétations semblait trop pauvre, en effet que faire avec nos vieux ou jeunes yin ou yang, quel sens précis leur donner, quel sens philosophique pouvait en ressortir? Il aurait certainement été possible d'interpréter l'empilement avec ses trois couples comme éléments premiers mais une idée plus fine est apparue dans la tête de nos vieux sages chinois: et si l'on regroupait ces traits par 3 et non par 2, le sens en serait immédiat et l'hexagramme se transformerait en 2 trigrammes. Tentons l'expérience.

Trois traits pleins très durs, lumineux et rigides représenteraient le Ciel avec toute la puissance qu'on peut accorder à ce terme.

Trois traits discontinus très mous, soumis, représenteraient la Terre nourricière.

1 trait plein sous 2 traits discontinus représenteraient le Tonnerre qui jaillit, l'énergie qui naît, l'impulsion et le déclenchement.

1 trait discontinu sous deux traits pleins seraient le Vent qui pénètre tout, même ce qui est dur, le souple qui va dans le rigide, ce pourrait être aussi le Bois, par exemple celui des racines qui parviennent à venir à bout de toute construction avec le temps.

1 trait plein au milieu de deux traits discontinus matérialisent la lumière précipitée au milieu de l'obscurité. Cet hexagramme souple à l'extérieur possède aussi une force intérieure, un feu interne. Symbole de danger , d'abîme, cette énergie peut aussi s'avérer vitale. Cet hexagramme sera associé à l'Eau et à la symbolique qu'on lui connaît.

1 trait discontinu au milieu de 2 traits pleins représenteront le Feu, symbole de la séparation de ce qui était rigidement lié et de l'intelligence qui se diffuse, tout comme la souplesse de la flamme se nourrit de son combustible extérieur.Le feu se nourrit de son combustible.

1 trait plein au dessus de deux traits discontinus seront la Montagne, immuable, inébranlable. La lumière et la force en haut domine de sa majesté toute la vallée douce.

1 trait souple au dessus de 2 traits pleins seront le calme du Lac, ou des nuages. Un endroit paisible où la douceur passe au dessus de la rigidité.

L'interprétation de ces trigrammes peut se faire de façon anthropomorphique, chacun d'entre eux pouvant s'interpréter comme des qualités ou des défauts, devenir de pâles traits de caractères de l'homme ordinaire ou au contraire des qualités parfaites de l'homme noble. Il peuvent aussi être associés à des membres de la famille, le père la mère et les enfants dont la présence minoritaire d'un trait détermine le sexe de ce membre de la fratrie. Ce peut être aussi des directions, très importantes à l'époque considérée ( invasions, intempéries...). Ils possèdent des dynamiques propres, le Ciel monte et la Terre descend, l'Eau descend et le Vent monte et pénètre, la Montagne immobilise, le Tonnerre et le Feu montent.

Dans un hexagramme, chaque place peut s'interpréter de façon particulière et avoir un lien privilégié avec une autre place. Si l'on numérote les places de bas en haut et de 1 à 6, le premier trait (celui du bas), est faible donc Yang,c'est par lui que tout commence. Au dessus de lui, la place Yin est celle du haut fonctionnaire, il possède un peu d'autonomie mais pas d'indépendance. Le 3ème trait termine le premier trigramme mais voit au dessus de lui le trigramme supérieur entier ce qui rend sa position délicate. Le 4 ème trait, le premier du 2ème trigramme est celui du ministre et c'est le 5ème trait qui possède la position du souverain, 5ème trait qui gouverne l'hexagramme, sa place devant être Yang car c'est ici que se prennent les décisions et que la force doit être concentrée. Le 6ème trait un peu trop au dessus des choses de ce monde, est celle du sage ou de l'insensé, du visionnaire ou de celui qui arrive trop tard, lorsque tout est consommé. Les relations entre les traits sont donc codifiées et il est possible que certains soient isolés ou au contraire en harmonie suivant leur place et le fait qu'ils soient Yin ou Yang.

Il faut faire attention à une interprétation trop rapide des hexagrammes que je vais illustrer par deux exemples: considérons l'hexagramme où tous les traits seraient à leur place, le premier Yin puis la seconde Yang, on voit en poursuivant ainsi que l'eau est sous le feu, feu qui monte et eau qui descend... Pas très bon tout cela! Et pourtant tous les traits sont à leur place, alors quel est le problème ? Et bien le problème c'est justement ça, car la roue tourne et le fait que les choses soient à leur place demande la plus grande vigilance, car il n'y a que très peu de raisons que la situation dure bien longtemps, nous sommes donc Après l'Accomplissement, il est déjà bien tard. Une situation qui paraissait parfaite statiquement devient, lorsqu'on l'interprète à la lumière des changements, bien inconfortable.

Un deuxième exemple permet aussi d'illustrer une situation du même type. Considérons l'hexagramme constitué de 3 traits discontinus au dessous de 3 traits continus, soit le Ciel au dessus de la Terre. Quel paysage de rêve pourrait-on penser! Pas si sûr car la Terre descend et le Ciel monte, cet hexagramme n'augure pas une situation très favorable, il est d'ailleurs associé au déclin, à la décadence, à l'obstruction alors que l'hexagramme symétrique du premier où la Terre est au dessus du Ciel, traduisant ainsi une volonté d'entraide et de rapprochement. Il n'est pas du tout associé à un monde renversé, la tête en bas, mais bien au contraire à la prospérité, à la tranquillité.

C'est donc autour de cet univers  du Yi-king que j'ai décidé de produire 64 textes s'appuyant sur les messsages des hexagrammes, qui refléteront ma passion pour les mathématiques et les sciences en général,  mon esprit plongé dans notre monde actuel, emporté avec les différents flux de tous ordres qui nous assaillent, par le tourbillon de la vie et de ses changements inéluctables. Il est intéressant de mettre en parallèle une Philosophie du Changement et la Science immuable et définitive qu'est La Mathématique. Je ne sais pas si cette idée sera menée à son terme, si elle est bonne et si j'aurai le courage d'écrire autant de textes. J'essayerai toujours de maintenir cet équilibre de l'ouverture maximale et du souci de la rigueur qui m'ont animés jusqu'à maintenant pour alimenter ce blog.

J'espère que l'idée vous séduira, en tout cas, en ce qui me concerne elle m'intéresse. Le choix des hexagrammes est entièrement aléatoire et est généré par la séquence Int ( 64*Ran#+1) de ma calculatrice. Le premier numéro qui est tombé est le 62, il correspond dans le classement arbitraire des hexagrammes au Tonnerre sur la Montagne, c'est à dire au Petit en excès, à l'Accouchement du petit. Si le sujet vous intéresse, je vous envoie sur l'adresse suivante pour vous permettre de vous habituer un peu à cette philosophie ICI et sur Wikipédia ICI, en attendant la note que je vais commencer à écrire. J'espère qu'elle sera prête pour Noël. N'hésitez pas à me laisser votre avis sur cette idée farfelue ou intéressante.

La traduction de Philastre téléchargeable en cliquant sur le livre:

Leibniz et le Yi-king ( Minces Extraits de Leibniz et la Chine d'Olivier Roy) : ICI

Explication de l'arithmétique binaire,

Peinture Muriel Bonneville : ICI

De Khalil Jaouiche ( PDF de 13 pages ) ICI

Des remarques intéressantes sur le zéro et les nombres négatifs.