La philosophie dans le champ de l'histoire des sciences par Michel Paty. Sur les travaux de Roshi Rashed.

L'intégralité  du texte en PDF : ICI

Dans le document précédent, Michel Paty s'appuie sur les travaux de Roshi Rashed sur l'histoire des mathématiques arabes pour  se pencher sur la question des changements et des innovations, sur leur rapport aux conceptions et traditions antérieures, en vue d'apporter des éléments à ce que pourrait être, pour ce domaine, une philosophie de la découverte au sens propre.

J'ai choisi, plutôt que de paraphraser le texte, d'extraire quelques morceaux choisis et d'y inclure quelques liens, dont la seule lecture ne pourra remplacer celle de l'intégralité du texte.

Le problème des découvertes

La notion de découverte et de nouveauté dans les connaissances est évidemment d'une importance première en histoire des sciences et, à cet égard, l'histoire des sciences arabes ne fait pas exception. Il est clairement établi désormais, notamment par l'œuvre de R. Rashed, pour l'histoire des mathématiques, que le champ des mathématiques arabes est fait de découvertes, et non seulement de traductions et de transmissions. Or il est désormais démontré que la science et notamment les mathématiques, bouge beaucoup entre le IXème et le XIIème siècle, au sud de la Méditerranée, sans qu'on puisse parler de révolution pour autant, sauf peut-être, on le verra, pour l'optique d'Ibn al-Haytham (dit Alhasen),  encore qu'elle ait été masquée par la persistance d'une manière traditionnelle de présentation. Il faudrait peut-être d'ailleurs examiner sous cet angle d'autres innovations relatives à l'algèbre, à la géométrie algébrique : s'agit-il de révolutions au sein de la tradition ? Mais, de fait, la catégorie de « science normale » se révèle, ici comme en bien d'autres situations, inutilisable.

Par ailleurs, la question de la découverte est fort peu prise en compte en philosophie, pour des raisons diverses, mais dont une raison est la difficulté inhérente à la problématique de la « nouveauté » même, dont le concept semble se détruire de lui-même, assimilé dans la pratique et la reformulation dès sa première apparition. Il est fréquent que les savants qui innovent n'aient pas eux-mêmes conscience de la nature de leur innovation. L'importance d'un élément réellement nouveau apparaît surtout au niveau structurel d'un ensemble de modifications, comme on le verra sur le sujet qui nous retient aujourd'hui.

On peut évoquer, parmi de multiples cas, celui de l'apparition de l'analyse locale et de la dérivée dans l'oeuvre d'al-Tusi, qui représente un important chaînon dans le développement de la géométrie algébrique après al-Khayyam, entre Appollonius et Descartes. Al Tusi instaure l'analyse locale et analytique des courbes, introduit l'utilisation des transformations affines, étudie les maxima d'une fonction au voisinage d'un point, et donne pour la première fois la forme de ce que l'on appellera plus tard la dérivée, en l'utilisant de façon systématique (c'est une dérivée muette, présente dans les faits, mais sans les dénominations, sans le concept). Un élément de nouveauté se trouve effectivement présent, mais comment le caractériser sans anachronisme ? Son importance passa (probablement) inaperçue sur le moment, bien qu'il ne s'agisse de rien de moins que de l'invention d'un nouvel objet mathématique. Elle est également inaperçue d'une approche historique a-posteriori qui prend son information et ses critères d'une tradition établie différemment.

La question de la rationalité

"La raison se construit dans les pratiques en lesquelles elle se reconnaît et elle se découvre elle-même en se construisant" Jean Ladrière

Nous ne savons pas caractériser la raison d'une manière totalement analytique, bien que nous sachions comment elle fonctionne, à l'usage.

Les philosophes actuels, s'ils constatent les changements dans les connaissances, ne les rapportent que très rarement à des modifications dans la structure de la raison elle-même, qu'ils auraient plutôt tendance à considérer comme immuable. Pendant des décennies l'on parlait, pour la dénier de "logique de la découverte".

La raison reste encore elle-même difficile à penser en tant que structure mentale fonctionnelle et sujette à des modifications.

La rationalité ne concerne pas seulement la rigueur ( qui se tient du côté de la logique ), mais aussi de l'intuition, par laquelle Poincaré considérait que le monde a à voir avec le réel, et qui est impliquée dans l'invention sans laquelle il n'y aurait pas de mathématiques.

Ibn al Haytham

Ibn al Haytham dégageait ainsi le problème de la propagation de la lumière de celui de la vision, en séparant les conditions respectives de l'une et de l'autre. [...] Il considéra la lumière non plus comme une émanation de l'oeil, comme dans la doctrine de l'antiquité du "rayon visuel", mais comme une entité (dans son vocabulaire aristotélicien, une "quantité substantielle" ou "accidentelle"), qui se propage des corps lumineux ou illuminés vers l'oeil.

R. Rashed indique que dans cette nouvelle conception, "le rapport entre géométrie et optique est un isomorphisme de structure, et nullement une synthèse" comme on le concevait avant ce savant.

Dans telle étude des problèmes solides dont il cherche les solutions par l'intersectionde coniques, où il s'interroge sur l'existence des solutions en étudiant le comportement à l'infini ( c'est à dire les asymptotes de l'hyperbole utilisée ), Ibn al-Haytham fait montre d'inventivité, qui modifie les données initiales du problème en les transformant, ouvrant ainsi la voie de solutions inédites.

C'est chez Ibn al Haytham qu'apparaît la nécessité de justifier l'existence d'une solution après avoir résolu la construction, de "transformer la construction en preuve logique d'existence".

Ibn al Haytham définit la droite comme "la ligne telle que si l'on fixe deux quelconques de ses points et si on la fait tourner, sa position ne change pas".

Ibn al Haytham innove en mettant en jeu de nouveaux concepts comme l'intérieur et l'extérieur d'une courbe, la concavité ou la convexité, le comportement asymptotique, ainsi qu'une notion implicite mais effective, cell de continuité.


Dans la conclusion

Le rationnel n'est pas univoque et déborde largement le logique; il peut prendre, dans les modalités de compréhension, appui sur l'intuition intellectuelle, qui n'est pas formulable en termes explicites et qui porte sur des "conditions initiales" intellectuelles qui sont très différentes selon chacun.

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Vizir hérétique mais philosophe d'entre les plus grands: Al-Tûsî vu par Ibn Taymiyya de Yahia Michot Oxford University ( PDF) : ICI

Une note de Design&Typo Le blog : ICI

La visualisation des courbes de Bézier et des points de contrôle sur le Blog d'ABC Maths avec Geogebra : ICI

"Il n'est pas possible de décomposer un cube en somme de deux cubes, une puissance quatrième en somme de deux puissances quatrièmes et généralement aucune puissance d'exposant supérieur à 2 en deux puissances de même exposant". Cette courte annotation d'un mathématicien français, magistrat de son état, Pierre de Fermat, écrite en marge d'un livre de mathématiques dans la première moitié du XVIIe siècle, est devenue l'un des théorèmes les plus célèbres des mathématiques : une preuve n'en fut apporté qu'en 1995, par Andrew Wiles de l'Université de Princeton.

Pierre de Fermat (1601-1665), conseiller au parlement de Toulouse, fut l'un des mathématiciens les plus importants du XVIIe siècle ; en même temps que René Descartes, il eut l'idée de la géométrie analytique, c'est-à-dire de la transcription algébrique des problèmes de géométrie, pour étudier les tangentes à une courbe par exemple. En collaboration avec Blaise Pascal, il inventa le calcul des probabilités. Et avec Marin Mersenne ou Bernard Frenicle de Bessy, il s'intéressa aux problèmes sur les nombres entiers. La suite ICI

Pierre de Fermat serait né le 20 août 1601 à Beaumont de Lomagne.
Son acte de naissance retrouvé dans les registres de la ville en est la preuve.

C'est justement dans sa ville natale qu'aura lieu, le 14 octobre,  la " Fête à Fermat ". La page proposée sur la fête nous permet de découvrir un peu mieux cet homme ainsi que Wiles, le fameux "tombeur" de son théorème.
 
La ballade en direction Beaumont de  Lomagne est ICI

 

Source de l'info : 
Le Café pédagogique

Huile sur toile à Antoine Durand, vers 1600
Toulouse, Académie des sciences
© Service photographique des archives
départementales de la Haute-Garonne

Un exemple de résolution d'une énigme mathématique.

 "Mathématicien amateur, mais grand mathématicien s'il en fut, Fermat est à l'origine d'une énigme qui, pendant 350 ans, a retenu l'attention de ses pairs, amateurs et professionnels, au point d'entrer dans l'inconscient collectif de la communauté mathématique. Après un essai de caractérisation de l'essence de cette énigme extraordinaire, nous donnerons quelques détails sur les principales étapes d'une longue période de progrès continus, mais indécis, et sur le statut variable de cette énigme dans le temple des mathématiques. Puis nous expliquerons comment l'établissement d'un ""pont"" entre cette énigme et des conjectures venues de domaines mathématiques très éloignés a permis de la ""normaliser"" et, finalement, de la subsumer dans une vaste construction dont le mérite revient à de nombreux mathématiciens au premier rang desquels figure Andrew Wiles. Nous terminerons en parlant des perspectives ouvertes et des énigmes nouvelles. "

La vidéo de la conférence de Yves HELLEGOUARCH : ICI

Le dossier de l'encyclopédie de l'Agora : ICI

Fermat et son théorème : ICI

Un dossier PDF d'André Ross : ICI

A noter le numéro des Génies de la Science consacré à Fermat :

J'ai lu avec grand plaisir le Dernier Numéro Hors-Série n°30 de Tangente. Pas d'équations, seulement des textes qui nous rappellent ou nous apprennent les origines des diverses mathématiques dans le temps et l'espace. Des babyloniens, 3500 ans avant Jésus-Christ jusqu'au pape Sylvestre II, les mathématiques se sont développées et transmises. Il a fallu les traduire, les retranscrire. Boèce fit la charnière entre l'antiquité et le Moyen-Age et son oeuvre servit de base à l'enseignement mathématique médiéval. Si l'on oriente notre longue vue du coté de la Grèce, il ne faut pas oublier que la Chine ancienne fit aussi des mathématiques très originales en ayant souvent recours à des figures algorithmiques. De leur coté, les mathématiques "indiennes" ont une histoire très riche qui nous a légué le zéro et les chiffres "arabes" qui ont certainement permis à l'algèbre d'éclore vers 800 autour de Bagdad.
Si l'on ne peut apporter de preuve irréfutable de l'existence de Pythagore et d'Euclide, il n'en est pas de même pour Hypathie, mathématicienne qui fut écorchée vive avec des coquillages en 415.

Après avoir traité quatre grands thèmes : Pourquoi les grecs n'ont pas inventé l'algèbre? L'infini, potentiel ou actuel? L'abaque grec et la calculette romaine. Les polyèdres dans l'antiquité, le numéro Hors-Série se termine en parcourant quelques uns des " Problèmes pour aiguiser l'esprit de la jeunesse " d'Alcuin ( 730-804). Je ne peux résister à vous retranscrire deux d'entre eux qui ont pour sujet le travail du laboureur :

Combien de sillons a tracé un laboureur dans son champ, si au total, il a fait demi-tour trois fois à chaque extrémité du champ?

Un boeuf laboure un champ durant toute une journée. Combien laisse-t-il de pas dans son dernier sillon ?

Et on ne copie pas !

Le 22 août, j'ai fait une note ( ICI ) sur ce sujet à partir d'un article du NouvelObs du 13 août avec le titre " Newton inspiré par des savants indiens ?". Aujourd'hui, FuturaSciences édite un article sur le même sujet ( ICI) avec carte et photo sous le titre " Newton devancé par des savants indiens ?".

Quelle est la véritable nature du "Scoop", dont l'origine provient des recherches de George Gheverghese Joseph, apporte-t-il une preuve irréfutable ou une  solide hypothèse du fait que Newton et Leibniz aient pu avoir accès aux travaux de mathématiciens indiens antérieurs de 3 siècles et que ce contact leur ait donné  leurs idées de génie ?

Comme le rappelle FuturaSciences, l'antériorité, même si elle n'était pas diffusée médiatiquement, était connue, le Scoop n'est donc pas là:

Pourtant, c’est dès 1835 que l’anglais Charles Whish  avait attiré l’attention du monde savant en publiant un article sur quatre traités de mathématiques et d’astronomie Hindous de l’école du Kerala. Dans cet article, et certainement à son grand étonnement, il insistait sur le fait que les mathématiciens et astronomes de cette partie de l’Inde avaient non seulement jeté les bases d’un calcul différentiel et intégral mais qu’ils étaient aussi en possession de résultats obtenus des siècles après eux en utilisant les algorithmes du calcul infinitésimal de Newton et Leibniz.

Des traces de calcul différentiel remontent  même à 930 en Inde:

L'invention du calcul infinitésimal en Inde trouve sa source dans la recherche de la prédiction des éclipses. Aryabhat, puis Brahmagupta, utilisent le concept de mouvement instantané. L'astronome Manjul (vers 930), puis Bhaskaracarya, utilisent la dérivée de la fonction sinus pour calculer l'angle de l'écliptique. Article de Michel Waldschmidt.

Nous sommes très loin de Newton et Leibniz...

Le Scoop concernerait donc la transmission de ces connaissances en Europe, il faudrait de plus que cette transmisson ait été le "catalyseur" ou "la matière première" des travaux de Leibniz et de Newton.

Mais là, il ne s'agit plus d'affirmations, mais d'hypothèses très probables comme l'indique FuturaSciences et il n'est plus question ni de Leibniz ni de Newton... :

Les jésuites s’implantent dès lors en Inde et commencent à étudier et traduire les textes Hindous. Un siècle plus tard Grégoire XIII lance la révision du calendrier. Or, dans le comité chargé de celle-ci se trouve le jésuite, mathématicien et astronome Clavius dont on sait qu’il avait demandé à ce que l’on examine systématiquement la façon dont les autres pays établissaient leur calendrier. Il semble donc très probableque les découvertes des mathématiciens et astronomes du Kerala aient ainsi été rapportées en Europe même si aucune preuve n’existe à ce jour.

Les travaux de George Gheverghese Joseph semblent donc éclairer le travail majeur du mathématicien du Kérala, Madhava, et sa transmission presque certaine à l'Europe par des Jésuites. Un appel semble lancé en passant, au Vatican pour accéder aux archives sur ce domaine afin de poursuivre les recherches.

Ce n'est pas tant le contenu des articles qui m'interpelle mais les titres associés aux sujets concernant " Les  Origines " . J'ai trouvé ( donc d'autres aussi ) en deux mois:

Newton devancé par les mathématiciens indous ?

L'afrique berceau des mathématiques.

Il ne faudrait pas que la saine "recherche des origines" se transforme en médiocre  "guerre des origines"
dans la tête des gens.

Il ne faut pas oublier que la quasi-totalité des personnes ne connaît absolument rien sur le sujet, la fraction restante lit bien souvent les titres et les articles en diagonale. Si l'histoire des mathématiques et des sciences est claire pour les personnes dont c'est le métier et celles qui s'intéressent au sujet, elle est totalement inconnue pour la majorité des gens ( elle n'est pas enseignée !).

Il me parait donc fondamental que les titres collent au plus près aux connaissances du moment, n'engagent pas le lecteur dans des raisonnements déductifs trop simplistes et que l'on ne se lance pas dans une surenchère de l'annonce et  du sensationnel à tout prix...