Inclassables Mathématiques 2.0

Le 28 mai 1936 Allan Turing publiait son article révolutionnaire : « On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem  » :

Des compléments techniques sur Godel's Lost Letter and P=NP.

Alors que je consultais paisiblement mon Google Reader, je fus interpelé par un article intitulé "Fast inverse square root", partagé par un internaute du Monde. Je connaissais bien la traduction en français de tous les mots du titre: "Racine carrée inverse rapide". Chacun d'entre eux faisait sens mais lorsqu'ils étaient placés ensemble, je me retrouvais dans l'incapacité de prédire un contenu possible de l'article en question. J'imaginais bien sûr qu'il devait s'agir d'une méthode, exotique ,ça je ne le savais pas, mais certainement numérique pour calculer l'inverse d'une racine carrée de façon rapide.

Ma curiosité ne fit qu'un seul tour de mon attracteur étrange psychique, ce qui me poussa de façon compulsive à cliquer sur le lien en question. Et que vis-je en premier? L'image suivante...

Waouh, ça parle de maths et de jeux vidéos dans l'article !

Lighting and reflection calculations (shown here in the free and open source first-person shooter, OpenArena) use the fast inverse square root code to compute angles of incidence and reflection.

Je ne suis pas encore trop dépassé par le texte précédent et j'arrive à comprendre en gros que l'article traite d'une méthode utilisée dans les codes de jeux vidéos, le premier étant certainement OpenArena, et qui permettrait de calculer plus rapidement les angles d'incidence des rayons lumineux sur les surfaces éclairées, et pour cela il faut estimer de façon assez précise et quasi-instantannée l'inverse de la racine carrée de nombreux nombres afin d'offrir un rendu réaliste.

En parcourant en diagonale le texte, je lis quelques bribes en passant :

The magic number 0x5f3759df

En plus il y a quelque chose de magique dans ce texte. Il faut que je le lise... mais c'est en anglais, alors je le bookmarque sur Diigo dans la catégorie "non lu" qui augmente à vue d'oeil et je procrastine, remettant la fastidieuse traduction au lendemain avant de me lancer dans l'écriture d'un billet dont le sujet s'avérait prometteur.

Un document pdf de 22 pages ( pour initiés, ce n'est  pas une version finale et enlever le http:// devant l'adresse ) très intéressant de Giusseppe Longo et Thierry Paul intitulé Le monde et le calcul. Réflexions sur calculabilité, mathématiques et physique.

En conclusion, les auteurs définissent trois idéalisations grâce auxquelles nous pourrions penser pouvoir comprendre et découvrir le monde  dont les connexions qui les relient ne sont d'ailleurs pas plus naturelles.

Placées dans l'ordre chronologique il s'agirait de :

" Les mathématiques sont construites dans une friction contingente au monde et s'en détachent ensuite pas leur autonomie symbolique".

Ce n'est pas une très grande prouesse  de réaliser la factorisation de 15 en un produit de facteurs premiers, c'est à dire d'écrire 15 = 3x5. D'autant plus lorsque l'on sait qu'il aura fallu non pas une mais deux équipes de chercheurs pour arriver à ce résultat....
Ce calcul ne serait pas une très grande victoire pour un ordinateur classique ni pour un enfant, c'est cependant la première fois qu'un tel calcul a été réalisé avec des photons et un ordinateur quantique.

En 1994, Peter Shor a trouvé un algorithme mathématique exploitant les propriétés du calcul quantique qui permet de trouver la factorisation en nombres premiers d’un entier donné. En cryptologie, c’est extrêmement important. Il se trouve qu’un ordinateur quantique employant cet algorithme ferait mieux et plus vite qu’un ordinateur classique. De manière générale, ces ordinateurs seraient capables de prouesses à faire pâlir (s’ils le pouvaient...) les ordinateurs classiques. C’est un enjeu de la recherche actuelle que de créer un ordinateur quantique vraiment performant mais on n’y est pas encore.

L'article de Futura-Sciences : ICI

Les mots utilisés en mathématiques sont chargés de l'histoire du concept qu'ils nomment. en partant de l'étymologie de termes mathématiques.

Bertrand Hauchecorne rédige dans Quadrature, magazine de mathématiques pures et épicées, la rubrique " Mots, maths, histoire ".

Au gré des numéros, on y apprend par exemple l'origine du mot "hasard", qui provient de az zahr désignant la fleur en arabe, celle qui apparaissait sur la face gagnante des dés à jouer.


Dans l'extrait suivant Bertrand Hauchecorne nous présente l'origine des mots logarithme et algorithme.

Algorithme et logarithme

Logarithme, ce mot fait frémir tous ceux que les mathématiques ont traumatisé pendant leur scolarité. Autant que la notion qu’il représente, sa sonorité rappelant le grec, son éloignement des mots du langage courant en sont la cause. Avec des mots comme algorithme, il connote pour le commun des mortels les mathématiques les plus ardues. Il est formé par le mathématicien et théologien écossais John Neper (1550–1617) au début du XVIIème siècle sur les mots grecs logos et arithmos.

Logos

Ce mot a en grec le sens de mise en rapport dans des acceptions les plus larges. Ainsi il peut désigner la parole car elle met en rapport les individus, le discours car il synthétise les idées. Il désigne aussi le jugement ou la raison car ils mettent en rapport différents arguments. Pour les premiers chrétiens, logos est utilisé pour désigner le message du Christ, pour signifier son universalité dans la mesure où il explique le monde et que toute vérité s’y inscrit. On reconnaît la même racine grecque dans le suffixe logie que l’on utilise pour désigner différentes disciplines scientifiques. Ainsi topologie correspond à science des lieux et a évincé analysis situ, analyse des positions. Aristote appelait logike l’étude du raisonnementdont le syllogisme (encore la même racine) est un élément essentiel. Ceci a donné en français le mot logique.

De logos à ratio et raison

Les Romains ne sont pas de grands mathématiciens et leur langue n’a souvent pas de mot pour désigner certains concepts philosophiques ou mathématiques. Le mot latin ratio désigne d’abord le calcul. Comme c’est l’un des multiples sens de logos, il est choisi, pour traduire les différentes acceptions de ce mot. On comprend ainsi le double sens de rationnel en français, doué de raison et nombre fractionnaire. Raison, en français reprend les différents sens du mot latin et c’est la raison pour laquelle, de nos jours, on parle encore de la raison d’une série géométrique. Arithmos et numerus Le mot grec arithmos a donné l’adjectif arithmétiké d’où provient notre mot arithmétique. Les Grecs différenciaient d’ailleurs la logistique, mot où l’on reconnaît la racine logos de l’arithmétique. La première désignait le calcul et le maniement pratique des opérations alors que la seconde était plus théorique, on parlerait de nos jours de théorie des nombres. Les Romains n’ont aucun équivalent du mot arithmos. La notion de nombre est en fait une abstraction amenée par les mathématiques grecques. Concevoir le nombre 5 en lui même, abstraction de tous les ensembles à cinq éléments comme par exemple cinq cailloux ou cinq bâtons, nécessite une démarche intellectuelle. Aussi pour traduire le mot arithmos, les Romains utilisent le mot numerus. Celui-ci désigne à l’origine une grande quantité, en quelque sorte un grand nombre. On retrouve encore ce sens en français dans l’adjectif nombreux. Dans notre langue numerus a donné nombre.

Figure 1

Logarithme

Soixante-dix ans avant Neper, le moine et mathématicien allemand Michael Stifel (1486–1567) met en relation la suite des entiers avec celle des puissances de 2 (voir la figure 1) et montre comment on peut ainsi transformer une multiplication en addition et une division en soustraction.

Cependant la notion de logarithme est introduite par Neper en 1614. Il le fait en partant d’un exemple de cinématique. Le mathématicien anglais Henry Briggs (1561–1630) comprend aussitôt l’intérêt de cette relation entre les nombres et voit ainsi le moyen de faciliter les calculs en transformant les multiplications en addition. Pour ceci il faut choisir la base 10. Après unerencontre avec Neper, il publie les premières tables de logarithmes. Neper choisit d’appeler ces nombres des logarithmes. Il les considère comme des relations entre des nombres. Il choisir alors d’utiliser les racines grecques logos et arithmos et crée le mot logarithmus puisqu’il écrit en latin. Signalons qu’en 1620, indépendemment de Neper, l’astronome et mathématicien suisse Jobst Bürgi (1552–1632), définit les logarithmes en exploitant l’idée de Stifel.

Algorithme

Quelle ressemblance entre ces deux mots ? La fin est la même et les quatre premières lettres ont subi une permutation. Pourtant le premier est d’origine grecque et le second arabe. Étrange ? Le mot algorithme est une déformation du nom du mathématicien arabe, ou plus exactement persan Mohammed ibn Musa Al Khwarizmi (788–850). Son ouvrage Kitab al jabr w’al muqabalah traite, entre autre, de la résolution des équations du second degré et nous a donné le mot algèbre. Cependant, c’est un livre dont seule la traduction latine nous est parvenu Algoritmi de numero indorum qui a rendu son nom célèbre. Le mot algoritmi est en fait une latinisation de Al Khwarizmi. On peut remarquer que la fin du mot est déformée puisque le z est devenu t. Il faut y voir une influence du mot grec arithmos. Ainsi terminé, le mot créé faisait plus mathématique. Il ne restait plus qu’à y ajouter le h que l’on retrouve dans arithmétique (le th transcrit la lettre grecque thêta) et le tour était joué. On voit ainsi qu’en étymologie les choses sont parfois complexes et que la prononciation et a fortiori l’orthographe peuvent être influencées par la proximité d’un autre mot, de sens voisin, et sans rapport au départ avec lui. Vers 1500, on opposait les abaquistes qui comptaient avec un boulier, aux algoristes qui utilisaient les chiffres arabes. Nous pouvons dire que de nos jours, nous sommes tous des algoristes.

En plus du livre " Les mathématiciens de A à Z ", Bertrand Hauchecorne publie le livre " Les mots et les maths "  :

Quelle relation y a-t-il entre une base canonique et l'âge canonique, entre une combinaison linéaire et les combinaisons que portaient nos grands-mères, entre une série entière et une série télévisée ? Plus sérieusement, d'où viennent les mots que nous utilisons en mathématiques ? Quand sont-ils apparus ? Quel rapport y a-t-il entre un mot mathématique et son homonyme du langage courant ?

Cet ouvrage répond à ces questions en retraçant l'origine et l'histoire de plus de 500 mots utilisés en mathématiques.

Quadrature, magazine de mathématiques pures et épicées, s'adresse aux enseignants, étudiants, ingénieurs, amateurs de mathématiques. La plupart des articles requièrent un bon niveau de terminale scientifique ou une première année de premier cycle. Les auteurs sont des mathématiciens, mais aussi des enseignants et des étudiants.

Quadrature est éclectique : certains articles présentent des mathématiques toutes récentes, tandis que d'autres donnent un nouveau point de vue sur des sujets traditionnels ou encore ressuscitent des questions de géométrie ancienne. On trouve également dans le magazine un forum, des nouvelles, des notes de lecture, des articles d'histoire des mathématiques et des articles de réflexion en relation avec l'actualité. Enfin, un large "coin des problèmes" permet aux lecteurs de poser des questions, qu'ils en connaissent la réponse ou pas.

Le rédacteur en chef de Quadrature , Olivier Courcelle, m'a aimablement donné l'autorisation de reproduire l'extrait précédent de la revue ainsi que Bertrand Hauchecorne qui en est le rédacteur.

Je joins le fichier PDF qui vous permettra de lire l'intégralité de l'article précédent, la partie un peu "technique" n'apparaissant pas : q04029.pdf

Pour les plus écrivains d'entre vous, remarquez, dans le lien précédent, l'appel à contribution pour participer à la rédaction du magazine.

Pour compléter sur les logarithmes:

Histoire des Logarithmes de Xavier Lefort : ICI

Les logarithmes de Charles Martin ( PDF ) : ICI

Un beau diaporama PowerPoint de l'APMEP - IREM de la Réunion - belle iconographie : ICI

Histoire des Logarithmes livre publié par  l'IREM : ICI et présentation ICI

Fichier PDF de 33 pages de Simone Trompler. Association Librecours : ICI

"De la supputation des logarithmes" Ozanam par F. Laroche Promenades Mathématiques : ICI

La construction des logarithmes de Neper ( PDF 14 pages ) Nicole Vogel : ICI