Inclassables Mathématiques Le blog 2.0

C'est la question que se pose en vidéo le NCETM qui promeut l'apprentissage et la présence des maths en dehors de la classe. Les deux vidéos suivantes sont extraites d'un groupement plus important, intitulé "Maths in work", présentant différents métiers et posant en question finale: En quoi est-ce que les maths interviennent dans ce métier?

Même si je ne dispose pas des connaissances suffisantes pour émettre un avis sur le sujet, j'ai apprécié le billet de David Madore, certes très technique, De quoi parlent les mathématiques?, abordant la problématique du codage des mathématiques.

On y retrouvera les acteurs principaux que sont ZFC, Peano et Gödel.

J'adore....

Trois jours de stage et six heures de train pendant lesquelles j'ai dévoré ce livre. Gilles Dowek a reçu le Grand Prix de Philosophie 2007 décerné par l'Académie Française. Je ne connais pas les autres lauréats mais pour ce qui est de ce livre je pense que la philosophie a vraiment trouvé du grain à moudre pour quelques années dans ces métamorphoses numériques.

Au début du livre, j'étais en territoire connu mais j'ai déjà lu beaucoup de livres sur l'histoire des mathématiques alors j'ai pensé, tiens encore une histoire des maths. C'est vrai pour le tout début du livre mais la première partie est nécessaire à quiconque ne maîtrise par bien ce sujet afin d'introduire la logique des prédicats.

Et puis dès la cinquantième page, je vois apparaître mon copain Kant et ses jugements synthétiques à priori. Alors je commence à me dire que ça va cogner. On pourra d'ailleurs lire le documents suivant : La philosophie des mathématiques de Kant . Quel est le problème?

Kant propose deux types de jugements :

Analytique si une proposition est vraie par définition comme "un triangle à trois cotés".

Synthétique si la propostion est vraie sans que ce soit une définition. Par exemple "La terre a un satellite" . Ce jugement peut être a priori si on peut le concevoir dans la tête ou a poseriori s'il faut une intéraction avec la nature.

Les jugements analytiques semblent quant à eux exclusivement à priori.

Pour Kant le raisonnement se situe dans les jugements synthétiques à priori mais c'est là que ça coince par ce que ce n'est pas aussi simple que ça!

Le "simple", 2+2=4 pose problème. Frege va d'ailleurs montrer que 2+2=4 peut se déduire de la définition des nombres entiers et doit être classé parmi les jugements analytiques et non parmi les jugements synthétiques à priori.

On voit déjà poindre à l'horizon une problématique philosophique centrale concernant les mathématiques, leur constitution et leur évolution. Se constituent-elles au sein d'elles mêmes auquelles cas elles sont analytiques à partir des simples définitions. Relèvent-elles du jugement synthétique à priori ou doivent-elles aller chercher des éléments dans la nature pour se construire.

Il est inutile de vouloir répondre simplement à ces questions qui dépendent de l'évolution des mathématiques elles mêmes dont le pivot central est certainement la thèse de Church des années 30, affirmant l'identité entre la notion de calcul "informatique et la notion "commune " de calcul que nous avons.

En avançant encore un peu dans le livre on voit apparaitre l'idée selon laquelle Démonstration = Algorithme et puisque la thèse de Church nous donne Algorithme = Calcul, on a donc l'identité Démonstration = Calcul. Il devient donc nécessaire de distinguer les notions de démontrable et d'explicatif, ce qui est loin d'être facile pour les mathématiciens. La longueur des démonstrations est aussi abordée, avec par exemple la problèmatique suivante : Peut-on démontrer qu'un problème démontrable possède une démonstration "courte"?

Philosophiquement le sujet est dense!

D'autant qu'à la fin de l'histoire une surprise de taille nous attend avec un retour nécessaire à la nature... Mais je n'en dis pas plus.

Ce qui m'a aussi passioné dans le livre est le traitement du rapport du mathématicien et de la machine, de ce nouvel outil qui lui est maintenant indispensable. L'auteur s'interroge aussi sur le fait que l'ordinateur du mathématicien est le même que celui de Mme Michu, sauf bien sûr si les calculs sont vraiment très très longs et demandent un super-calculateur pour pouvoir être faits  en un temps "raisonnable". Il est intreressant de comprendre quelles est la place de l'ordinateur-machine à coté du mathématicien-humain.

J'ai extrait quelques courtes citations vers la fin du livre qui me semblent assez explicites sur les métamorphoses du calcul qui est le sujet du livre et donc des mathématiques elles-mêmes:

En 1976, les mathématiques sont entrées dans la période instrumentée de leur histoire. Les instruments utilisés par les mathématiciens, ne sont pas des instruments qui prolongent les facultés de nos sens, mais qui prolongent les capacités de notre entendement: notre faculté de raisonner et surtout, de calculer. ( p 182 )

L'utilisation d'instruments commence, de même à changer, les mathématiques. ( p 182 )

La maquette sur laquelle on fait l'essai est donc une machine à résoudre un problème mathématique,[...] (p 188)

L'entrée des mathématiques dans leur ère instrumentée incite donc, non à accorder une confiance excessive dans les instruments utilisés, mais à restreindre prudemment la confiance parfois exagérée, que nous avons en nous-mêmes: nous aussi nous pouvons faire des erreurs. (  p 191 )

Podcast de Gille Dowek sur le livre et sur Canal-Académie

Pour compléter :

Des p'tits problèmes de coloriage ( autour du théorème des quatre couleurs)

Après plusieurs années de surf sur la toile, voilà à peu près la façon dont je perçois les maths. Cette présentation sera modifiée petit à petit. Si vous pointez des oublis et si vous avez d'autres idées n'hésitez pas à m'en faire part.Cette vision est très personnelle et n'engage que moi!

La marche des sciences, la toute nouvelle émission scientifique sur France Culture, est diffusée chaque jeudi entre 14 heures et 15 heures. La productrice, Aurélie Luneau, avait choisi d'honorer la Reine des sciences puisque la première, le 3 septembre dernier, avait pour thème " Histoire des mathématiques et diffusion des savoirs  ".

Avec comme fil conducteur les équations polynomiales, Stella Baruk et Bertrand Hauchecorne ont échangé sur le rôle des mathématiques à différentes époques. A travers l'évocation de mathématiciens de différentes époques comme Diophante, Al Khwarizmi, Tartaglia Cardan, Abel et Galois, ce fut l'occasion d'aborder la place des mathématiques au cours de l'histoire.

Benoît Rittaud, chargé de présenter l'actualité mathématique a expliqué le rôle du mathématicien à notre époque ; il a montré que certaines recherches sont interdisciplinaires et a pris comme exemple un travail sur l'entropie dans la langue espagnole.

De gauche à droite : Aurélie Luneau, Bertrand Hauchecorne, Stella Baruk et Benoit Ritaud.

Le podcast et l'écoute de l'émission sont possibles, en se rendant directement sur le site de La Marche des Sciences.

Bonne écoute.

Plus de 20 ans après, le deuxième Colloque Maths à Venir se tiendra les 1er et 2 décembre 2009.

Pourquoi un nouveau colloque "Maths à Venir" ? par Stéphane Jaffard, Président de la SMF.

Maths à venir 2009

Ce colloque sera sans doute l'occasion de faire comprendre à tous que les mathématiques d'aujourd'hui sont destinées aux générations futures et qu'elles participent au développement durable dont les politiques et les médias parlent tant... oubliant au passage de mentionner les maths développées par nos ainés ainsi que celles d'aujourd'hui ( en particulier celles qui sont appliquées), qui permettent les avancées technologiques dont nous sommes les témoins. Faire des maths aujourd'hui, c'est permettre à nos enfants de s'appuyer dessus pour développer leur technologie. Le temps des mathématiques n'est pas toujours celui de la politique ni des médias, c'est un temps qui peut être très long en ce qui concerne les maths pures alors que les maths appliquées doivent presque se développer dans l'instant. Le besoin en mathématiques et donc en matheux susceptibles de "penser" et construire tous les étages de la fusée va être d'autant plus important qu'elles trouvent domicile dans des domaines toujours plus divers:mécanique, information, finance, informatique, monde du web, monde quantique, biologie, médecine, sport, jeux. Voilà même que des ordinateurs bactériens rentrent dans la partie!

Mathématiques et développement durable... voilà une alliance des plus prometteuses. Le résultat ne se fait pas attendre. Cette note est passée dans la catégorie "Environnement" de Wikio !

Il était une fois...

Au XVIIIème siècle, un homme fut le maître de la mise en scène de la "démonstration", il s'appelait l'Abbé Nollet, il rendit la physique visuelle en construisant des instruments permettant sa "démonstration", en fournissant des livres d'expérience et en publiant des cours très clairement rédigés. Le commerce des instruments et des expériences de Nollet se généralisa dans toute l'Europe et les labos de physique-chimie de nos lycées témoignent encore de cette tradition scolaire de la physique expérimentale, bien marquée malgré sa mathématisation qui n'a cessé de croître.

Au XXIème siècle...

Il est encore un peu tôt pour le dire, mais je pense que le XXIème siècle aura son Nollet à lui. Certes il ne s'agit plus de physique mais de mathématiques, d'instruments mais d'ordinateurs, la diffusion ne se fait plus au travers des livres mais  les moteurs de recherches, le buzz, les codes préétablis.

Si vous êtes un habitué de ce blog depuis sa création, vous n'avez pas pu manquer le fait que certains sujets me tiennent plus à coeur que d'autres: Gödel, la philosophie, l'art, les actualités mathématiques, l'épistémologie, l'enseignement des mathématiques, les outils web, et aussi la Vulgarisation avec un grand V que j'élève au rang d'art majeur.

Les lieux communs sans cesse revisités et les images préformées nous laissent souvent penser que la vulgarisation tient plus du rabotage grossier que de l'art. Ce serait la discipline dans laquelle les aspérités qui feraient mal au plus grand nombre seraient éliminées pour laisser place à un objet brut, lisse, édulcoré, au contenu aseptisé en vue de son assimilation par la masse sans indigestion. Personnellement, ce n'est pas du tout comme cela que je vois les choses. Pour moi vulgariser c'est comme opérer la décomposition de la lumière blanche avec un prisme. A l'une des extrémités du spectre on trouve les ultra-violets, qui correspondraient à l'hyperspécialisation, tellement fermée que les connaissances ne peuvent se transmettre qu'entre pairs. Ni en haut, ni en bas, le discours du spécialiste est un parmi les autres sur un sujet donné. Il possède ses exigences, répond à un besoin, comme toutes les composantes colorées de la lumière décomposée. A l'autre extrémité du spectre se trouvent les infra-rouges. On pourrait les associer  au socle d'une pyramide au dessus de laquelle toutes les strates de la vulgarisation et des connaissances les plus spécifiques peuvent s'empiler. Établir cette base, retrouver les infra-rouges lorsque l'on est un spécialiste pointu des ultra-violets demande les plus hautes compétences. La vision  acérée doit s'ouvrir de la façon la plus vaste pour voir les moindres détails, y compris les cailloux du chemin sur lequel on marche. Il faut enlever ses lunettes de travail pour voir les couleurs réelles et les décrire.

De mon point de vue, peu de personnes possèdent ces capacités de vulgarisation, de simplifier sans dénaturer, de pouvoir approfondir à toute occasion de façon graduée, de pouvoir surfer et plonger à loisir dans le vaste océan des connaissances, et tout particulièrement celui des mathématiques qui ne se prète guère à l'exercice et demande d'autant plus de dextérité.

Alexandre Moatti a  planché sur l'épreuve de bac de Terminale S. L'article a été publié sur Libération.fr.
Avant de vous faire partager mes commentaires apposés sur ce texte, je vous laisse regarder cette petite vidéo pour vous familiariser avec les fonctionnalités de Diigo qui permet de surligner et d'annoter du contenu en ligne puis de le partager :

Pour un affichage optimal du billet suivant avec des hyperliens actifs sur les notes, je vous conseille d'installer le plugin Diigo sur Firefox ( mais ce n'est pas obligatoire ).

Bonne lecture.

Chose promise chose due, je vais me lancer dans un type de billet un peu plus personnel et particulier qui aura peut-être de l'éditorial ce qu'aurait pu être le vin rosé défini par la commission européenne, mais depuis que je publie sur le net, j'ai remarqué  que les lecteurs ne tardent pas à me faire remarquer les points qui ne vont pas. Je suis donc confiant et suis certain de ne pouvoir m'égarer seul trop longtemps, car l'air de rien, ce blog est pas mal lu et régulièrement avec une progression moyenne sensible depuis sa création il y a trois ans et demi déjà. Le blog en est aujourd'hui à plus de 400 visites par jour et plus de 1000 pages consultées quotidiennement.

La principale question que je me suis posée et qui me tourmente toujours est le jeu qui m'est laissé, en tant que professeur de mathématiques, pour pouvoir m'exprimer à voie haute dans un espace public. Je me suis donc renseigné sur ce fameux devoir de réserve que tout enseignant est amené à respecter. Force est de constater que les choses ne sont pas si nettement définies que cela. On trouvera une clarification sur Educnet.

Mais tout bien réfléchi, je ne crois pas que je me heurte au devoir de réserve mais tout simplement au difficile exercice d'exposer des idées et des pensées personnelles en public. Mes études puis mon métier me rappellent sans cesse à la "Loi", à l'idée que je ne suis qu'un vecteur de transmission et qui doit être le plus lisse et le plus neutre possible, presque transparent. Toute tentative illégitime d'interposition me renvoie à l'erreur d'appréciation, de raisonnement ou de jugement. Si je dois faire appel à mon intuition, celle-ci sera vite confrontée à la nécessaire démonstration ou à l'incontournable validation qui devra suivre, pour asseoir l'hypothèse (la "conjecture" en mathématiques) ainsi émise. Exprimer une idée qui ne serait pas vérifiée ou vérifiable, pas démontrée m'apparaît comme une tentative de violation de la Loi plutôt que comme positive. C'est peut-être aussi pour cela que les scientifiques (je parle de ceux qui veulent "expliquer" la démarche scientifique) ont sans doute beaucoup de peine à "vulgariser" car soit ils le vivent comme une sorte de faute personnelle soit ce seront les pairs qui ne tarderont pas de leur faire remarquer les raccourcis et les simplifications trop brutales qui dénaturent la pensée initiale. L'"espace-jeu" dans lequel doit se déplacer le scientifique-vulgarisateur est infime car s'il se tourne trop du coté des pairs, il ne vulgarise pas et s'il se tourne trop du coté des néophytes il est rejeté par les pairs. Cette situation doit s'atténuer, les nouveaux outils de communication numériques peuvent en être les vecteurs, et chacun doit faire 50% du chemin, l'un en ne jugeant pas trop sévèrement les tentatives de diffusion vers un public plus large et l'autre en intériorisant le fait que ce qui est complexe ne peut pas se simplifier à l'extrème d'un coup de baguette magique et que l'étude quantitative, fait partie intégrante de "l'Humanité" comme sa consoeur, l'étude qualitative et ne doit pas être rejetée de fait sans autre procès que d'être de ce type.

Lorsque le qualitatif rencontre le quantitatif, l'idée est qu'ils se parlent et non pas qu'ils se tournent le dos. C'est d'ailleurs ainsi qu'est née la notion de vitesse qui nous semble aujourd'hui si naturelle. Au départ qualitative, associée à la notion de célérité, elle se gradua, devenant qualitative par degrés de célérité puis se transforma petit à petit en l'idée abstraite que l'on a aujourd'hui que ce soit la vitesse d'un avion, d'un vélo, d'une action ou d'une décomposition.

Ici, nous trouverons une coupe transversale, des tentatives de ponts jetés entre des rives parfois éloignées. Pas de carottage vertical dans le monde profond des mathématiques mais un voyage souvent horizontal qui trouve les mathématiques à chaque fois sur le chemin, là où peut-être on ne les attendait pas, où les matheux eux-mêmes n'avaient pas l'idée qu'ils puissent s'y trouver. C'est l'objectif que je me suis fixé depuis la création de ce blog, de parcourir les chemins de l'actualité scientifique, économique, éducative et parfois politique, de l'histoire, de l'art, de la philosophie, de la sociologie et du web à la recherche de quelques traces de mathématiques. Les puristes resteront peut-être sur leur faim et les néophytes trouveront peut-être les pentes déjà bien raides, mais c'est le prix à payer pour faire le voyage...