Les 100 types de démonstrations mathématiques
C'est un article à prendre au second degré qui permettra à chaque étudiant de se sortir d'un mauvais vent...
démonstration
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Preuves sans mots...
Avez-vous des exemples de preuves sans mots comme l'illustration suivante, que je trouve excellente?
A chaque couple de la dernière ligne correspond un unique point jaune... d'où le résultat.
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Théorème du triangle eutrigone
Je n'ai pas trouvé de traduction en français pour un triangle possédant un angle de 60°.
Un peu comme le triangle rectangle qui dispose de l'un des théorèmes les plus beaux des mathématiques, le triangle eutrigone, dont l'angle de 60° remplace celui de 90°, possède une propriété très analogue.
Si l'on trace des triangles équilatéraux sur chacun des cotés du triangle eutrigone, son aire est égale à la somme de celles des deux triangles adjacents à l'angle de 60° moins l'aire du troisième!
Belle propriété non?
Vous trouverez l'applet GeoGebra pour constater la propriété ICI.
Pour la démonstration, elle est du niveau de première S !
The area of an equilateral triangle with side
is 
. By the law of sines, the area of a eutrigon is 
. The law of cosines gives 
, because 
. Multiplying by 
gives the statement of the theorem.Voir le site de Wolfram.
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Les mathématiques comme langage
Les mathématiques se construisent avec deux modes de raisonnement dissemblables: un coté "soft" abordant les idées et les analogies et un coté "hard", concernant les vérifications. Le coté "hard" est le plus facile à cerner. Il concerne en premier lieu, les preuves "formelles", composée chacunes d'une série d'assertions. Un mathématicien peut vérifier si la démonstration est correcte en la parcourant, pas à pas, et en testant si chacune des étapes suit la précédente à partir de faits déjà démontrés de façon correcte.
Le coté "soft" est le moins facile à décrire. Il est formé d'intuitions sur les objets formels construits dans les démonstrations mathématiques; d'idées qu'une partie des mathématiques peut correspondre de façon analogique à une autre partie des mathématiques; ou aussi d'analogies entre les objets mathématiques et le monde physique.
Par exemple, si vous voulez montrer que deux objets sont similaires, il est parfois plus facile de montrer indirectement qu'ils le sont tous deux à un troisième.
Le langage que les mathématiciens utilisent dans les livres et les articles comble le fossé entre ces deux modes de raisonnement. Il est difficile, pointilleux et présente des démonstrations rigoureuses; mais il tente aussi de transmettre subtilement, d'éphémères et intangibles idées "soft" à l'intérieur de sa constitution "hard", au travers d'analogies, d'allusions et d'autres moyens indirects. Ces idées "soft" sont rarement exposées en quelques mots; on ne trouve que très rarement une phrase qui peut résumer à elle seule toutes les idées contenues dans une preuve. Mais un texte mathématique technique et précis peut construire lentement une toile d'éphémères et intangibles concepts par un choix pertinent de mots, traçant des parallèles entre les différentes parties de mathématiques et des sens similaires. Ainsi, un homme mathématicien peut-il se laisser conduire par le texte jusqu'aux idées sous-jacentes. Et, in fine, ce sont ces idées "soft" qui constituent la matière. Le contenu "hard" est important car il rend objectif et vérifiable, mais ce sont les idées "soft" qui sont le centre des mathématiques, ce que les mathématiciens recherchent.
Photo: Cesarharada.com -
Le retour de la démonstration
Il était une fois...
Au XVIIIème siècle, un homme fut le maître de la mise en scène de la "démonstration", il s'appelait l'Abbé Nollet, il rendit la physique visuelle en construisant des instruments permettant sa "démonstration", en fournissant des livres d'expérience et en publiant des cours très clairement rédigés. Le commerce des instruments et des expériences de Nollet se généralisa dans toute l'Europe et les labos de physique-chimie de nos lycées témoignent encore de cette tradition scolaire de la physique expérimentale, bien marquée malgré sa mathématisation qui n'a cessé de croître.
Au XXIème siècle...
Il est encore un peu tôt pour le dire, mais je pense que le XXIème siècle aura son Nollet à lui. Certes il ne s'agit plus de physique mais de mathématiques, d'instruments mais d'ordinateurs, la diffusion ne se fait plus au travers des livres mais les moteurs de recherches, le buzz, les codes préétablis.