Les mathématiques comme langage
Les mathématiques se construisent avec deux modes de raisonnement dissemblables: un coté "soft" abordant les idées et les analogies et un coté "hard", concernant les vérifications. Le coté "hard" est le plus facile à cerner. Il concerne en premier lieu, les preuves "formelles", composée chacunes d'une série d'assertions. Un mathématicien peut vérifier si la démonstration est correcte en la parcourant, pas à pas, et en testant si chacune des étapes suit la précédente à partir de faits déjà démontrés de façon correcte.
Le coté "soft" est le moins facile à décrire. Il est formé d'intuitions sur les objets formels construits dans les démonstrations mathématiques; d'idées qu'une partie des mathématiques peut correspondre de façon analogique à une autre partie des mathématiques; ou aussi d'analogies entre les objets mathématiques et le monde physique.
Par exemple, si vous voulez montrer que deux objets sont similaires, il est parfois plus facile de montrer indirectement qu'ils le sont tous deux à un troisième.
Le langage que les mathématiciens utilisent dans les livres et les articles comble le fossé entre ces deux modes de raisonnement. Il est difficile, pointilleux et présente des démonstrations rigoureuses; mais il tente aussi de transmettre subtilement, d'éphémères et intangibles idées "soft" à l'intérieur de sa constitution "hard", au travers d'analogies, d'allusions et d'autres moyens indirects. Ces idées "soft" sont rarement exposées en quelques mots; on ne trouve que très rarement une phrase qui peut résumer à elle seule toutes les idées contenues dans une preuve. Mais un texte mathématique technique et précis peut construire lentement une toile d'éphémères et intangibles concepts par un choix pertinent de mots, traçant des parallèles entre les différentes parties de mathématiques et des sens similaires. Ainsi, un homme mathématicien peut-il se laisser conduire par le texte jusqu'aux idées sous-jacentes. Et, in fine, ce sont ces idées "soft" qui constituent la matière. Le contenu "hard" est important car il rend objectif et vérifiable, mais ce sont les idées "soft" qui sont le centre des mathématiques, ce que les mathématiciens recherchent.
Photo: Cesarharada.com
En raison de cette nature duale, le langage des mathématiques présente une remarquable opportunité pour les ordinateurs. Les ordinateurs sont très forts du coté "hard" mais très mauvais du coté "soft". Le langage des publications mathématiques, qui capture le "soft" au milieu du "hard", nous donne une opportunité unique de permettre aux ordinateurs d'approcher le raisonnement "soft". Malheureusement, l'approche actuelle des ordinateurs vers les mathématiques, est celle de programmer des programmes de preuve de théorèmes, ne faisant rien d'autre que ça. Du point de vue des mathématiciens, de tels programmes ont trois déficiences. Premièrement, l'interaction avec eux implique l'utilisation de langages impénétrables, très éloignés du langage normal des mathématiques. Deuxièmement, les ordinateurs sont très mauvais en mathématiques - ils ne peuvent pas vérifier tous les sous-niveaux de preuve sans une assistance humaine. Troisièmement, ils ont seulement la capacité de faire des mathématiques "hard"; dans de très rares cas où ils prouvent de nouveaux résultats, ils les ont prouvés en n'ajoutant aucune idée nouvelle. Ce type de preuve n'intéresse guère les mathématiciens.
Ces trois déficiences sont en fait liées. Les programmes de preuve de théorème sont inefficaces en mathématiques précisément parce qu'ils ne sont pas en mesure de contenir d'idées "soft". Et les idées "soft" ne sont pas explicitement dites, mais implicitement absorbées dans le langage usuel des mathématiciens utilisé quotidiennement. Les humains semblent dans l'incapacité d'extraire de telles idées à partir langages exotiques et appauvris utilisés dans les programmes de preuves courants - mais ce n'est pas une raison pour penser que les ordinateurs sont dans l'incapacité de le faire. L'actuel langage "hard" nous donne une prise très imparfaite sur les idées "soft" sous-jacentes; mais c'est encore la meilleure prise que nous ayons.
Pour les raisons qui viennent d'être expliquées, ces trois premiers objectifs de la thèse de Mohan Ganesalingam (dont c'est l'introduction) sont: de construire un langage informatique qui est très proche du langage réel des mathématiques, d'écrire le corps des mathématiques dans ce langage en y incluant les idées "soft" pour un mathématicien humain, et permettant à l'ordinateur d'extraire quelques unes de ces idées - même si ce n'est pas aussi bien qu'un humain, l'ordinateur pourra quand même vérifier des preuves écrites en langage mathématique normal.
La difficulté n'est pas tellement celle liée aux ordinateurs. Écrire des programmes est plutôt facile, mais savoir ce qu'ils doivent faire est difficile. Avant de construire un langage informatique ressemblant au langage réel des mathématiciens, il est nécessaire de le comprendre extrêmement bien; il n'est pas suffisant d'en avoir une simple idée intuitive, un sentiment subjectif du langage mathématique que les mathématiciens ont, mais une analyse formelle, objective et précise en tout point.
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Lorsque l'on fait des recherches pour une telle analyse, la science informatique existante et les analyses de langages informatiques ne sont guère utiles; l'intégralité des langages construits par l'homme analysés par les ordinateurs sont extrêmement simples comparés aux mathématiques qui ont été développées au travers des siècles; notre meilleur espoir est de se tourner vers les linguistiques modernes qui visent à mettre à nu les riches structures des langages humains complexes. Les mathématiques diffèrent suffisamment des langages humains pour que très peu de linguistique théorique puisse être directement utilisée; la majorité des matériaux doit être reconstruite. Mais les linguistiques, donnent au moins, le cadre général d'une analyse formelle d'un langage; cela donne l'état d'esprit et le point de départ.
On présente souvent les mathématiques comme étant abstraites et incompréhensibles avec une structure chaotique:
Heureusement la réalité est vraiment différente. Les mathématiques sont écrites avec des phrases et des paragraphes, comme le langage écrit en général. Les phrases contiennent un mélange de mots et de symboles mathématiques. Pour comprendre le langage mathématique, il est nécessaire de comprendre quelle est la fonction des mots, quelle est celle des symboles et comment ajuster les deux.
Le travail est difficile car les mots et les symboles doivent avoir un seul sens déterminé. Or un mot comme "premier" peut avoir une douzaine de sens et une simple expression du type "x+y" aussi en fonction du contexte. En d'autres termes, l'ambigüité est un problème. Il est nécessaire d'avoir une théorie qui élimine toutes ces ambigüités et qui permet de prédire quel sens est à privilégier dans un contexte donné. Il n'existe cependant aucune technique linguistique permettant d'éliminer toutes les ambigüités en mathématiques. Les nombres se comportent parfois comme s'ils n'en étaient pas, parfois comme s'ils en étaient et des objets qui ne le sont pas se comportent parfois aussi comme s'ils en étaient! Ainsi la notion de type n'est pas pertinente. Il faut clarifier cette notion de type qui se trouve enchevêtrée en mathématiques.
J'arrête ici de poursuivre la traduction de l'introduction de la thèse à la jointure de l'informatique, de la linguistique et des mathématiques. J'ai pris beaucoup de plaisir à faire cette traduction sur un sujet émergeant. J'espère qu'il en aura été de même pour vous. J'espère aussi ne pas avoir commis trop de contresens mais comme à l'accoutumée, les liens vers le texte original sont disponibles et permettent de s'y référer. Je n'ai pas poursuivi plus avant la lecture de la thèse car mon faible niveau de mathématique et la fastidieuse lecture de l'anglais qui lui est adjoint ne me permettent guère de le faire.
Quelques liens intéressants:
Commentaires
Extrêmement intéressant, merci beaucoup pour cette découverte !
Les mathématiques ne sont pas la Physique, qui Elle, fait enfin savoir, par exemple,
ce qu’est cette contradictoire “pesanteur” :
Les mathématiciens physicisant ont donné cette équation de la gravitation : G = m / l2 : les corps s’“attirent” en proportion directe de leur masse et inverse du “carré” de la distance qui les séparent les uns des autres.
Or, bien qu’on laisse tomber vers la terre dans un espace clos où l’on a fait le vide pour éviter toute ac- tion perturbatrice de l’air, de la même hauteur, deux corps de masses pourtant différentes, ces deux corps arrivent ensemble au fond de l’espace clos, bafouant la loi de la gravitation !
Or encore, bien qu’on laisse tomber vers la terre toujours dans le même espace clos les deux corps pré-cédents, mais le corps de plus grande masse étant maintenant plus éloigné du fond de l’espace clos que celui de masse plus petite de façon à ce que le “carré” de cet éloignement compense leur différence de masses, le corps de plus petite masse arrive au fond de l’espace clos le premier, les deux corps ayant continuellement conservé l’éloignement qui les séparait, bafouant à nouveau la loi de la gravitation !
Et pour finir, mais cette fois dans un espace clos dont la base est là au contact de la terre, bien qu’on laisse tomber ces deux corps de la même hauteur et que sur toute la longueur de l’espace clos ces deux corps tombent à l’unisson, arrivés près de la terre, le corps de plus grande masse accélére et la touche le premier !
Hormis le dernier cas, tout cela, baptisé “pesanteur”, contredit donc la loi de la gravitation et les mathé- maticiens physicisant n’ont bien évidemment pu que donner tout un matheux charabia inexplicatif de cette contradiction dissimulant leur ignorance.
Qu’est-ce alors que cette pesanteur, qu’est-ce alors que la gravitation, qu’est-ce alors que la gravité ? Que se passe-t-il donc finalement, non pas mathématiquement, abstraitement, virtuellement, équationnel- lement; mais physiquement, concrètement, réellement ? Que se trouve-t-il donc en présence réellement, concrètement, physiquement ?
Seule la Physique peut répondre.
Comme il existe des individus qui n’ont pas besoin de se “casser la tête” à essayer de comprendre ce que peuvent être structures et fonctionnements des mathématiques, parce que tout simplement, immédiate- ment, spontanément, sensitivement ils les “voient”; il existe des individus qui n’ont pas plus besoin de se “casser la tête” à essayer de comprendre ce que peuvent être structures et fonctionnements de la matière, parce que tout simplement, immédiatement, spontanément, sensitivement ils les voient.
Mathématiciens donc, si vous vous hasardez à vous frotter à la matière, ne vous en tenez alors unique- ment qu’à exposer le plus précisément et le plus complètement possible ce que vous avez pu observer, sans vous hasarder à émettre quelle qu’explication ni quelle qu’hypothèse que ce soient et les Physiciens eux, donneront explications non hypothètiques, réelles, concrètes, de ce que vous avez pu observer.
Ainsi, de deux corps de masses différentes, chutant à l’unisson vers la terre parce qu’étant dans la même enveloppe d’éthérons (dont nous allons prendre connaissance) en décroissance de taille vers elle que celle-ci entretient autour d’elle par les pulsations de ses molécules (tous les corps par les pulsations de leurs molécules, entretiennent autour d’eux une enveloppe d’éthérons en décroissance de taille vers eux propor- tionnelle à leur masse; décroissance de taille qui ne peut donc qu’induire une chute vers eux en continuelle accélération), le corps de plus grande masse finit tout de même par chuter plus vite que celui de plus petite masse et toucher la terre avant lui, parce que sa propre enveloppe d’éthérons en décroissance de taille vers lui plus grande que celle du corps de plus petite masse, entre en contact avec la terre avant la sienne et l’accélère encore, avant que le corps de plus petite masse le soit à son tour par la sienne.
Cette diminution de la taille des éthèrons vers les corps qui baigent en eux, effectuée par les pulsations des molécules de ces corps, c’est cela qui fait la “gravité”, la “gravitation”, la “pesanteur”, et bien sûr également le “magnétisme”, comme l’“électromagnétisme”.
Magnétisme, comme gravitation, dans cet univers sous pression, ne sont pas “attractions”, mais répul- sions décroissantes.
Jean Vladimir Térémetz
www.liberes-des-mathematiques-savoir-enfin-ce-qu-est-l-univers.net
jean.teremetz@free.fr