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mathématiques - Page 21

  • Le jour où " Mathématique " et " Politique " se rencontrent pour la première fois

    En des temps bien reculés, il fût décidé par Reine Démocratie que Dame Politique s'occuperait exclusivement de l'organisation de la Cité et de son administration. C'est ainsi que Politique s'engageait dans des conversations longues et difficiles pour s'accorder avec ses soeurs des Cités voisines de la taille de chacune des dites Cités, et  de leurs droits associés. Ceci déclencha moultes guerres. Pendant ce temps les commerçants vendaient et achetaient, suivant le temps qu'il faisait chez Dame Politique. Ils eurent d'ailleurs l'idée géniale pour augmenter leurs transactions de vendre de l'argent! Pour cela ils firent appel à Dame Mathématique. Elle leur rendit bien des services pour organiser ce marché autoréférent. Mais l'autoréférence est vraiment le cheval de bataille de Dame Mathématique. Son histoire est parsemée des paradoxes que l'autoréférence n'a cessé de semer sous ses pieds. Dame Mathématique eut l'idée d'estimer le prix de l'argent à l'aide du taux d'intérêt. De longs débats s'en suivirent pour le fixer et trouver les mécanismes de plus en plus complexes pour échanger de l'argent qui prenait aussi une forme de plus en plus complexe. Dame Mathématique avait aussi rendu quelques petits services à Dame Politique, mais ils étaient très limités. Dame Mathématique s'y appliqua avec soin mais les contacts entre les deux ne se faisaient guère. Il s'agissait de calculer les superficies de quelques surfaces, d'établir un calendrier fiable. Une fois ce travail fait, Dame Politique laissa tomber Dame Mathématique, car elle trouvait sa conversation rebutante. Le commerce s'organisa et les règles complexes se multipliaient, seule Dame Economie pouvait les comprendre. Alors Dame Economie parlait beaucoup avec Dame Mathématique. Cette dernière entretenait cependant une relation cachée. Dame Economie et Dame Politique le savaient mais ne divulguèrent pas l'horrible secret. Dame Mathématique voyait de temps en temps Monsieur Guerre. En fait Monsieur Guerre devenait de plus en plus lié avec Madame Mathématique. Elle par contre, n'aimait pas cette relation trop violente à son goût ,mais elle n'avait pas trop les moyens de résister aux assauts de Monsieur Guerre. C'était là presque un viol, un secret de famille qui ne devait jamais éclater au grand jour. Et puis les choses se complexifièrent et s'accélérèrent depuis que Madame Mathématique fût en mesure d'accoucher d'un enfant qu'elle appela Informatique. Dame Mathématique s'en occupa fort bien , elle lui appris ses limites et ses possibilités. Elle le fit grandir à l'abri des regards puis le montra à tous. Voyant la beauté de l'adolescent, Dame Economie, Monsieur Guerre et Dame Politique le courtisèrent. Tout semblait sourire à notre adolescent dynamique. Il oeuvrait vite et bien et menait presque toutes les missions qui lui était confiées à leur terme. Il y avait bien parfois quelques faux pas. Informatique appelait ça ses bugs. Maman était au courant et les surveillait de près. Et puis chacun usait et abusait presque d'Informatique sans trop se soucier de ses besoins propres. Même Dame Politique ne s'étonnait pas que la presque totalité de ses décisions et de ses actions reposait sur les épaules d'Informatique. C'était encore pire pour Dame Economie qui en est presque parvenue à croire que les résultats d'Informatique coïncidaient avec la réalité. Dame Politique fit aussi appel à Informatique lorsqu'il fallait prendre une décision concernant la modification du climat de Gaïa. Informatique lui répondit que ce n'était pas de son ressort de prendre des décisions ou d'interpréter ses résultats en termes d'actions. Mais Politique était perdue et puis il fallait agir, alors Informatique se trouva au coeur des décisions de Politique. Cette exposition était difficile pour notre adolescent qui n'en avait pas l'habitude, mais il s'y plia. Bien sûr les armes n'étaient pas égales , Politique avait une habitude certaine de la chose alors qu'Informatique n'était qu'à ses premiers pas dans l'arène. La tempête se calma lorsque Politique eût un discours suffisamment construit pour se passer de la présence d'Informatique. Informatique se reposa un peu lorsque Economie revint frapper à la porte alors qu'il était entrain de faire une partie de jeu vidéo avec ses copains. Elle lui expliqua que ce qu'il avait fait venait de s'écrouler. Informatique avait pris de l'assurance et n'hésita à lui répondre que s'il était comme ça c'est parce que sa mère l'avait fait comme ça, alors si elle voulait en savoir plus elle n'avait qu'à s'adresser à elle. Economie repartit doucement omettant bien de dire qu'elle voyait régulièrement et cela depuis un certain temps, Dame Mathématique. Elles se racontaient toujours un peu toujours la même chose, c'est à dire qu'en "moyenne" les choses se passent à peu près toujours de la même façon. Dame Mathématique essayait bien de lui expliquer que ça ne sera  pas toujours ainsi que ça se passera, mais Dame Economie se satisfaisait bien de la situation. Sauf bien sûr lorsque tout commença à s'emballer. Alors Dame Economie eût peur d'affronter seule la très dure Dame Mathématique et demanda à Dame Politique de l'assister. Pour sauver la face Dame Economie accusa de façon presque frontale Dame Mathématique devant Dame Politique de la responsabilité de la situation actuelle. Dame Politique fit une petite courbette à Dame Mathématique, surprise de la voir d'aussi près pour lui répondre palement qu'elle était enchantée de la connaître. Ce à quoi Dame Mathématique lui répondit de façon brutale, que si elle ne la connaissait pas, la réciproque n'était pas vraie. Informatique lui parla en effet de Politique à tous les repas alors qu'il travaillait sur le réchauffement climatique. Elle dût d'ailleurs mettre la main à la pâte pour l'aider à faire ses devoirs. Dame Mathématique expliqua donc à Dame Politique et Dame Economie que si elles s'appuyaient entièrement sur des résultats d'Informatique et d'elle-même, ils devaient être certains de pouvoir le faire et que ce n'était pas à elle de répondre à cette question.

    C'est ainsi, je vous l'affirme, qu'eût lieu la première vraie rencontre de Mathématique avec Politique.

    Par contre je ne sais pas ce que fait Monsieur Guerre en ce moment.

    Je ne sais pas non plus ce qu'il va advenir des relations entre ces trois Dames, mais c'est certain, dorénavent Dame Politique et Dame Mathématique sont amenées à se rencontrer beaucoup plus souvent.

    Je ne sais pas à laquelle des deux, cela fait le plus peur.

  • Les maths votent Obama !

    Obama_Portrait_2006.jpgA quoi bon faire des élections si les modèles mathématiques prédisent tout. Etrange monde que celui dans lequel nous vivons qui créé à force de modélisation une seconde terre virtuelle ( et pourtant bien réélle ) mais modélisée mathématiquement. Des cracks financiers, sous-estimés à cause de l'inutilisation de modèles trop complexes, en passant par les divers scénarios de modification climatique, les opérations chirurgicales qui ne nécessiteront plus d'intervention humaine, jusqu'aux élections américaines, les modèles mathématiques sont partout. Ils permettent dans un cas de se déplacer avec une très grande précision dans la géométrie complexe du corps humain sans altérer les parois, de se projetter à la surface de la terre dans cent ans, de prévoir l'efficacité de nouveaux médicaments sur une maladie ou l'impact d'une campagne de vaccination sur le taux de cancer.


    Ici, un modèle mathématique remplace le vote de millions d'américains. Ce modèle qui a préditl e gagnant des élections américaines six fois de suite vote cette année pour Obama. Il résume presque le vote de l'Amérique toute entière à une simple formalité inutile et réduit l'espace politique à sa modélisation numérique.

    Le modèle du professeur Lichtman, élaboré en collaboration avec un mathématicien russe, Volodia Keilis-Borok, est construit autour de 13 variables, appelées « clés ». Ces dernières ont été déterminées à partir des résultats obtenus aux présidentielles de 1860 à 1980.

    Lichtman ironise même en affirmant :  « Les démocrates auraient pu tirer au hasard un nom d'un annuaire téléphonique et gagner la présidentielle cette année ». Extrait de l'article de Yahoo News.


    La modélisation s'infiltre dans tous les domaines, et cela ne peut que nous faire réfléchir de façon profonde sur la nature de notre société, car ici il ne s'agit plus seulement de sondages, mais de modèles autonomes permettant une prédiction alors que le sondage n'est quant à lui qu'une photographie à un instant donné. L'interprétation d'un sondage est d'autant plus aléatoire qu'elle est éloignée du moment du vote réel . Un modèle est beaucoup plus indépendant et s'il demande certainement quelques données d'ambiance, il ne se réduit pas à leur seule interprétation. Des variables principales, autres que les résultat d'un sondage avant les élections, ont été dégagées. Ce sont principalement de leur qualité, de leur indépandance et de la mécanique mathématique les reliant que dépendra la fiabilité d'un modèle.

    Mais un modèle , ça ne suffit pas, me direz-vous, pour pouvoir conclure. Qu'à celà ne tienne, puisque les principaux les modèles sont passés en revue dans cet article en Anglais, comme dans le cas du réchauffement climatique où plusieurs moèles et scénarios sont étudiés.

    La réponse est sans appel : 6 des 9 principaux modèles donnent Obama gagnant ! Et chose surprenante le modèle de Litchman -Volodia Keilis-Borok dont il est question dans l'article précédemment cité, n'apparait pas dans la liste. Il y aurait donc au moins 10 modèles ! Le modèle de Klarner prévoit même la composition de la chambre des députés et du Sénat.

    Serions-nous donc dans un nouveau monde où l'on attend avec impatience que les faits réels confirment ou infirment les prédictions des modèles? Une catastrophe viendrait alors avec un fait réel qui contredirait les prédictions et donc la stabilité des modèles utilisés. La référence dans ce cas ne serait plus la réalité ( y compris sociale et politique ) mais sa modélisation.

    Si cela vous inspire quelques commentaires.

  • Le procès du hasard

    Souvenez-vous, il y a quelques temps de cela, un ingénieur retraité annonçait la chose suivante: les billets de grattage distribués par la Française des Jeux ne sont pas répartis au hasard puisque :

    "Selon lui, dans chaque carnet de tickets, qui ont une valeur totale de 150 euros, il y a un tiers de petits lots (de 1 à 10 euros) afin de maintenir l’addiction des joueurs, les deux tiers restant étant perdants. Et quand sort un lot «significatif», supérieur à 20 euros, il n’y en a qu’un seul. Ce qui signifie que les joueurs qui acquerront un billet dans la fin du carnet n’ont plus aucune chance de gagner un gros lot. " ( Extrait de l'article de Libération.fr : le cauchemar de la Français des Jeux).

    Robert Riblet, qui a accusé la Française des Jeux de "tricherie", est poursuivi par cette dernière pour "diffamation".

    Mais alors y a-t-il ou non tricherie ?

    Justice

    Ce n'est pas à moi de répondre juridiquement à la question, ni d'établir si les procédures d'impression  et de répartition des billets dans chaque carnet, étaient suffisamment précises et si la communication laissant croire à la répartition "au hasard" était clairement définie par cette société pour qu'il n'y ait pas de "manipulation du hasard" possible par des tiers, ce qui serait rendu possible par le type de répartition annoncé par M. Riblet.

    Mais qu'en est-il d'une répartition mathématique des nombres au hasard ?

    Il suffit de faire une simulation numérique.

    Utilisons un générateur de nombres aléatoires, celui d'Excel par exemple, dont il semble qu'il produise  des listes de nombres au hasard de très bonne qualité. Je vais lui faire établir 20 séries verticales de 150 nombres de 1 à 150 pris au hasard, chacun pouvant être choisi aucune , une ou plusieurs fois.

    On pourra supposer qu'un carnet de ticket est composé de 150 tickets et que c'est le 1 qui gagne le gros lot. A-t-on mathématiquement , lorsque l'on distribue les nombres au hasard, une équi-répartition des tickets gagnants ( des 1 ) ? Où sont-ils ?

    Il suffit pour cela de recopier dans Excel la formule =ENT(ALEA.ENTRE.BORNES(1;150))

    En fait, toute personne connaissant un tant soi-peu "les règles du hasard" ( c'est peut-être paradoxal de parler de règles du hasard mais il en possède qui lui sont propres ), sait qu'une répartition homogène des tickets gagnants est impossible si ceux-ci sont répartis de façon aléatoire.

    L'exemple suivant, que l'on peut reproduire à l'infini le montre. Prenons le 1 pour chiffre gagnant. Les séries verticales sont  composées de 150 chiffres choisis au hasard entre 1 et 150. Il n'y a pas 20 "tickets gagnants" ( le 1 en fait ) répartis chacun dans chaque colonne. Il y en a  dans cette série seulement 14 dont on voit que chaque colonne en contient de 0, 1, 2 ou 3. Dans les prochaines séries, il y aurait peut-être plus de tickets gagnants, de telle façon qu'au bout d'un très grand nombre de tirages, il y ait  quasiement autant de tickets gagnants ( les 1 ) que de tirages de 150 chiffres. Mathématiquement , la fréquence ( statistique ) de sortie du 1 converge inexorablement vers la probabilité ( théorique ) associée à son tirage qui est de 1/150. En pratique, on ne trouve cependant pas un "1" tous les 150 chiffres sortis. Il y a des séries de 150 chiffres sans aucun "1", certaines avec un "1", d'autres avec 2 ou 3 "1".

    Dans l'exemple suivant de 20 séries de 150 nombres on a :

    12 séries sans ticket gagnant

    3 séries avec 1 ticket gagnant

    4 séries avec 2 tickets gagnants

    1 série avec 3 tickets gagnants.

    On peut légitimement se demander si ce type de hasard brut est "plus acceptable" et  que celui décrit par M. Riblet. Dans tous les cas, il possède un avantage considérable sur une autre répartition. Il est absolument imprévisible. Ainsi on constate, par exemple, qu'au milieu des tirages, 4 séries successives de 150 nombres chacunes ne contiennent aucun ticket gagnant et que la série "Royale" avec 3 tickets gagnants ne se situe pas après, mais avant, ces quatre séries cauchemardesques, qui pourraient, comble de malchance, être livrée à la même civette!

     


    Alors, attendons avec impatience, fin novembre, le verdict de ce procès du hasard, pour connaître la définition juridique du hasard puisqu'il semble que la Française des Jeux ne soit pas en accord avec sa seule définition mathématique.

     

     

  • Les arts plastiques à l'art mathématique

    La belle brochure de 45 pages en format PDF de l'exposition " Mathématiques et art" organisée par l'université Paris 12 est ICI

    On y retrouvera les artistes suivants :

    François APÉRY
    Boris ASSANCHEYEV
    Philippe CHARBONNNEAU
    Jean-François COLONNA
    Jean CONSTANT
    Patrice JEENER
    Bahman KALANTARI
    Jos LEYS
    Sylvie PIC
    Philippe RIPS
    John SULLIVAN

     

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  • Les blogs de maths au CNRS...

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    "Images des mathématiques" est une revue publiée par des mathématiciens de haut niveau rassemblant des articles dont l’ambition est de faire connaître, de manière précise et attrayante, des mathématiques en train de se faire, à des lecteurs scientifiques, en particulier des étudiants en mathématiques. Les blogs de maths se sont tous fait écho de cette double publication en 2004 et 2006. Les archives sont disponibles article par article ICI.

    L'ancien site un peu désuet ICI s'est transformé en un site beaucoup plus dynamique ICI avec une publication d'articles associés à un code couleur suivant leur difficulté ( tiens j'ai déjà vu ça quelque part :) ), mais là il s'agit de descendre des pistes de ski de différentes couleurs. Pour l'instant elles sont vertes et bleues. J'espère que toutes les couleurs seront représentées et si je ne rechigne pas à me faire une petite noire au ski, je ne suis pas persuadé que mon niveau mathématique puisse me permettre une telle prouesse dans les pentes arides de cette discipline.

    On trouvera aussi les billets des habitués et une rubrique  "Portraits de mathématiciens". On trouvera celui du très surprenant "Magic Diaconis" qui est passé de la magie en cabaret...à une chaire d'excellence en mathématiques !

    Les blogs de maths n'ont pas été oublié et sont tous regroupés dans une catégorie "lien/blogs". C'est ainsi que je me retrouve tout près du lien pointant vers Alain Connes et Terry Tao. Et moi je dis où il y a de la gène, il n'y a pas de plaisir.

    Mon avis est que tout cela va dans le bon sens. Il semble que la communication autour des mathématiques commence à réellement prendre son envol. Il est important qu'elle soit considérée comme une composante fondamentale dans le regard que pourra porter le grand public à cette discipline d'ici quelques années. Elle devra être diversifiée et s'adresser à des publics très différents du néophyte au spécialiste en passant par  l'amateur averti.

    Les institutions de recherche et les universités se doivent de développer ces aspects afin que les "mathématiques" qui sont non seulement exigeantes et difficiles ne restent pas en plus invisibles ce  qui signerait presque leur arrêt de mort dans l'enseignement, d'autant plus que nous avons déjà vu que certains hommes politiques, y compris des scientifiques, peuvent franchir facilement le pas de l'extinction de l'espèce déjà presque en voie de disparition, sans beaucoup d'état d'âme!