Comment les mathématiciens prouvent-t-il un théorème ?

Lorsqu'ils le prouvent d'une façon traditionnelle, ils présentent les arguments les uns à la suite des autres, comme un récit. Ils s'appuient sur des résultats précédemment démontrés ( par eux ou par d'autres), ils cachent les détails dont ils sont certains que les experts qui les liront n'auront pas besoin pour les comprendre, ils prennent des raccourcis pour rendre la lecture moins ennuyeuse. 
La validité des arguments avancés est accordée après un examen minitieux par d'autres mathématiciens de la longue ( très longue parfois ) preuve ou au cours de discussions informelles, lors de séminaires, de cours ou après publication dans des revues spécialisées.
Lorsque ces experts parviennent au coeur de la démonstration, ils affinent la lecture et généralement les erreurs qui ont pu se glisser dans la démonstration sont trouvées. Cependant l'histoire des mathématiques n'est pas exempte d'exemple où il a été mis un temps très important pour que la communauté mathématique découvre une erreur ou un résultat faux. De plus, dans quelques cas récents, la lecture des preuves a été particulièrement longue et compliquée, d'autant plus que maintenant de plus en plus de preuves utilisent du code informatique.

Comment les mathématiciens peuvent-ils être sûrs que de telles preuves sont fiables ?

De façon habituelle, les mathématiciens, s'ils ne savent pas résoudre un problème, le ramènent à un problème qu'ils savent résoudre. S'ils ne peuvent plus faire de démonstration à la main, il suffit qu'ils fassent faire à l'ordinateur ce qu'ils faisaient usuellement à la main. Mathématiciens et informaticiens  ont donc commencé à développer le vaste champ de la preuve formelle. La preuve formelle nécessite la vérification de chaque inférence à partir des axiomes de départ. Si les mathématiciens ne produisaient auparavant aucune preuve dans un langage formel, c'est qu'il aurait été impossible de la faire lire par la communauté mathématique, mais maintenant qu'un ordinateur peut lire et valider une preuve, il risque d'en être autrement. Les avancées dans la preuve formelle sont telles qu'il est maintenant possible de l'utiliser pour des tâches difficiles.

Mais jusqu'où iront-ils ?

Si les ordinateurs ( aidés par les mathématiciens et les informaticiens ! ) sont maintenant capables de se lancer dans les démonstrations, ils sont aussi en mesure de se lancer dans l'exploration des mathématiques elles-mêmes et d'émettre des conjectures ( hypothèses pour les autres disciplines). On peut ainsi les laisser chercher quelques relations qui n'auraient pas été vues par l'oeil du mathématicien. Les mathématiciens peuvent aussi se lancer dans l'observation des ordinateurs qui parcourent les mathématiques et apprendre ainsi de nouvelles choses. Il s'agirait d'un changement profond dans la façon de concevoir les mathématiques et de les faire. Un rêve serait d'ailleurs de voir les ordinateurs en mesure de valider toutes les preuves des théorèmes fondamentaux, activité qui s'apparenterait au séquencement du génome mathématique.

La source en anglais Science Daily

Un mathématicien post-moderne

Petits travaux pratiques

Découpez un disque dans une feuille de papier, posez-le sur votre gobelet de café et appuyez la pointe de votre stylo au centre du disque : le papier ondule, formant un pli en forme de cône. Dans le langage des physiciens il s'agit d'un « point conique ». On peut également observer des points coniques miniatures en froissant une feuille de papier. Ils se forment au départ des plis.


Cornets de glace ou collerettes

Deux chercheurs du Laboratoire de physique statistique de l'Ecole normale supérieure ont étudié les points coniques (2). Plus précisément, ils ont regardé comment les points coniques engendrent des « e-cônes ». Qu'est-ce qu'un e-cône ? Si on enlève un secteur de disque et que l'on colle les bords de la forme restante, on obtient un « cornet de glace ». Si au contraire on ajoute un secteur angulaire, on obtient un e-cône (e comme excédentaire). Les e-cônes peuvent prendre une infinité de formes, sans qu'aucune force externe n'intervienne. Les physiciens ont modélisé ces e-cônes afin de prévoir leur forme et les contraintes élastiques engendrées. Leur travail montre que la forme symétrique à deux plis est celle de plus basse énergie. On la retrouve dans certaines algues marines, qui l'adoptent spontanément durant leur croissance.

© CNRS - Martin Michael Müller

Exemples d'e-cônes à deux et trois plis.

Le communiqué de presse du CNRS : Collerettes, papier froissé et algues marines

Le communiqué de presse PDF

Un logiciel simplifie la création de motifs, logos et graphismes

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/56202.htm

Les logos et écritures utilisant la lumière sont créés à partir de lentilles souples, mais quelle doit être la géométrie de surface de cette lentille pour renvoyer la lumière sous forme de motifs particuliers ? C'est ce sur quoi se sont concentrés les chercheurs de l'Institut Fraunhofer de mathématiques appliquées à la technologie et à l'économie à Kaiserslautern (ITWM). Jusqu'à présent, l'élaboration de lentilles durait des heures, maintenant le logiciel développé par les allemands permet de le faire en quelques secondes.

Le logo d'une entreprise, en général présent à l'entrée du bâtiment, est éclairé par une lampe : ce graphisme est réalisé par une lentille souple, à la surface complexe, de telle façon que la lumière reflète un certain motif. Et c'est la lentille elle-même qui crée l'image : l'utilisation d'un modèle ou d'un cache est superflue - et consommerait davantage d'énergie.

Le motif en lui-même est calculé facilement, mais la structure même de la lentille est complexe. Habituellement, les développeurs devaient y aller à tâtons, en donnant une forme à la lentille et en la modifiant jusqu'à ce qu'elle renvoie l'image voulue, ce qui pouvait durer des heures. Les chercheurs de l'ITWM ont développé un logiciel qui, à partir de l'image voulue, détermine par le calcul la géométrie correspondante de la lentille en quelques secondes. "Différents paramètres sont ajustables : les paramètres de fabrication tels que les particularités de la fraiseuse, ou le matériau qui sera utilisé pour la lentille", explique Dr. Norbert Siedow, chef de projet à l'ITWM. De la même façon, il est possible de limiter la courbure de la lentille dans le logiciel, afin d'en simplifier la fabrication.

La version pilote du logiciel développé à l'ITWM existe déjà. Une démonstration en sera faite au salon Vision, qui aura lieu du 4 au 6 novembre 2008 à Stuttgart. Les visiteurs pourront demander à ce que leur photo soit utilisée pour le calcul de la lentille correspondante.

http://www.itwm.fraunhofer.de

Pour l'occasion le LHC ( Large Hadron Collider ) s'est transformé en LHR ( Large Hadron Rap )

Infos supplémentaires et traductions du texte sur le site  tomroud.com

Je vous avais annoncé la possible découverte d'un 45ème nombre premier de Mersenne dans une précédente note. Le premier des deux tests indépendants a vérifié la possible primalité de ce nombre. Il reste à attendre demain pour le résultat du deuxième et confirmer l'hypothèse.

Mais le 6 septembre un autre nombre de Mersenne susceptible d'être premier a été découvert par les ordinateurs de Gimps... Réponse après-demain.

On August 23rd, a computer reported finding a new Mersenne prime to the server! Because I was on vacation, verification did not begin until the 26th. Two verification runs were launched. The first independent verification with different hardware and software is complete and confirms the new prime! Estimated completion date for the second verification is September 10th.

Amazingly, on September 6th, another computer claims finding a new Mersenne prime!! Independent verification has begun and should complete on the 11th.