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A voir directement sur DataPointed, site de visualisations de données :
http://www.datapointed.net/visualizations/math/factorization/animated-diagrams/
Un site a retrouver impérativement sur Facebook et sur twitter:
Il semble qu'aujourd'hui le nombre 2 soit considéré comme le plus petit nombre premier. Mais cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu des temps et des mathématiciens, jusqu'à une période récente, pour lesquels les nombres 1 et 3 étaient une réponses acceptable.
Il est possible de dire que la problématique du plus petit nombre premier a été tranché lorsqu'ils ont été liés à l'unicité de la factorisation des nombres. Cette unicité est apportée par l'insertion des deux symboles "1<" dans le théorème suivant:
Pour chaque entier naturel n, il existe une unique factorisation
où les exposants ai sont des entiers positifs et 1<p1<p2<…<pk sont des nombres premiers.
Mais avant cela, pendant plus de deux millénaires, la liste des nombres premiers ne commençait pas toujours par 2.
Lorsque 1 n'était pas considéré comme un nombre, il était légitime que 2 soit le premier nombre nombre premier (Euclide).... sauf dans le cas où l'ensemble des nombres premiers était considéré comme un sous-ensemble des nombres impairs (Martianus Capella)- vers 420) mais cela ne l'était plus lorsque 1 devenait un nombre au même titre que les autres, puisqu'il était possible de l'utiliser dans les opérations arithmétiques et pour mesurer (Stevin - 1585).
Sans réflexion approfondie sur la primalité du nombre 1, une longue période de confusion allait naître.
On trouve par exemple dans cette lettre de Goldbach à Euler, l'écriture des entiers comme somme de nombres premiers, dont 1.
Gauss ne donna pas de définition explicite des nombres premiers mais participa à considérer la factorisation comme un élément central.
Cependant, après Gauss, de nombreux mathématiciens continuèrent à placer le nombre 1 dans la liste des nombres premiers et donc à la considérer comme le plus petit d'entre eux. On trouvera des noms célèbres tels que Legendre (1853), Weierstrass, Klein, Kronecker, Chebychev, Landau (1909).
On peut se demander quel fut le dernier mathématicien à placer 1 dans la liste des nombres premiers.
Et le gagnant n'est pas tout à fait "inconnu" et c'est en 1933 lors de la sixième version de " A course of Pure Mathematics" que l'on voit apparaître pour la dernière fois le nombre 1 comme plus petit nombre premier.
Dans la septième édition en 1938, le texte est modifié et la liste des nombres premiers commence par 2.
Un nombre 321 dit de Thābit pour Thābit ibn Qurra, est un nombre de la forme Kn=3·2n−1 , où n est un entier naturel.
Pour les premières valeurs de n =0, 1, 2... ces nombres valent 2, 3, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727... (Suite A055010).
Les premiers nombres de Thābit premiers appelés aussi 321-premiers sont : 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (Suite A007505).
La premières valeurs de n pour lesquelles on trouve des 321-premiers sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414 (Suite 002235).
Les nombres premiers pour n≥234760 furent trouvés à partir de 2003 à l'aide du 321 project. Le plus grand d'entre eux a été découvert par Dylan Bennet en 2008 avec la valeur de n=4235414. Ce nombre possède 1274988 chiffres en base 10.
La représentation binaire de ces nombres est particulière. Elle est formée de 10 puis de n 1.
Par exemple pour K7=3·27−1=383, l'écriture binaire est 101111111.
Thābit ibn Qurra était un mathématicien, physicien, astronome et musicologue persan qui vécu de 826 à 901.
Il montra que si Kn, Kn−1, and 3×K2n−1 + 2 sont tous premiers, alors les nombres 2n×Kn×Kn−1, 2n×(3×K2n−1 +2) sont amicaux. Cette hypothèse se rencontre seulement trois fois, pour n = 2, 4, et 7, donnant les paires de nombres amicaux suivantes: (220, 284), (17296, 18416), et (9363584, 9437056). (Source: MathWorld et Wikipédia).
Nombre premier
La somme des cubes de mes chiffres est égale à mon symétrique.
Je suis l'hypothénuse d'un triangle rectangle aux cotés de longueur entière.
Je suis le plus grand nombre premier dont le carré et le cube n'ont aucun chiffre en commun.
Je suis égal à 1 plus la somme des puissances premières consécutives d'un entier.
J'ai trois chiffres.
Je suis un nombre premier de Sophie Germain.
Je suis la somme des carrés de deux nombres de la suite de Fibonacci.
Dernier indice en blanc : Je suis l'été tous les 4 ans.
Le 25 Juillet 2009 à 1 heure 11 minutes et 48 secondes UTC, le projet de recherche de nombres de Cullen (Cullen Prime Search) a découvert un nouveau nombre premier record :
6679881 x 26679881 + 1
Ce nombre de 2.010.852 chiffres entre à la 15 ème place du classement des plus grands nombres premiers connus établi par le professeur Chris Caldwell. C'est le plus grand nombre premier de Cullen (c'est à dire de la forme n x 2n+1) connu à ce jour, et le plus grand nombre premier découvert par l'application LLR. Cette remarquable découverte vient seulement 4 mois après la précédente, un nombre premier de Cullen de 1.905.090 chiffres qui est maintenant rétrogradé à 16 ème place du classement.