Inclassables Mathématiques 2.0

Un nombre 321 dit de Thābit pour Thābit ibn Qurra, est un nombre de la forme K_n=3·2ⁿ−1 , où n est un entier naturel. 

Pour les premières valeurs de n =0, 1, 2... ces nombres valent 2, 3, 5, 11, 23, 47, 95, 191, 383, 767, 1535, 3071, 6143, 12287, 24575, 49151, 98303, 196607, 393215, 786431, 1572863, 3145727... (Suite A055010).

Les premiers nombres de Thābit premiers appelés aussi 321-premiers sont : 2, 5, 11, 23, 47, 191, 383, 6143, 786431, 51539607551, 824633720831,... (Suite A007505).

La premières valeurs de n pour lesquelles on trouve des 321-premiers sont: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 11, 18, 34, 38, 43, 55, 64, 76, 94, 103, 143, 206, 216, 306, 324, 391, 458, 470, 827, 1274, 3276, 4204, 5134, 7559, 12676, 14898, 18123, 18819, 25690, 26459, 41628, 51387, 71783, 80330, 85687, 88171, 97063, 123630, 155930, 164987, 234760, 414840, 584995, 702038, 727699, 992700, 1201046, 1232255, 2312734, 3136255, 4235414 (Suite 002235).

Les nombres premiers pour n≥234760 furent trouvés à partir de 2003 à l'aide du 321 project. Le plus grand d'entre eux a été découvert par Dylan Bennet en 2008 avec la valeur de n=4235414. Ce nombre possède 1274988 chiffres en base 10.

La représentation binaire de ces nombres est particulière. Elle est formée de 10 puis de n 1.

Par exemple pour K₇=3·2⁷−1=383, l'écriture binaire est 101111111.

Thābit ibn Qurra était un mathématicien, physicien, astronome et musicologue persan qui vécu de 826 à 901.

Il montra que si K_n, K_n−1, and 3×K_2n−1 + 2 sont tous premiers, alors les nombres 2ⁿ×K_n×K_n−1, 2ⁿ×(3×K_2n−1 +2) sont amicaux. Cette hypothèse se rencontre seulement trois fois, pour n = 2, 4, et 7, donnant les paires de nombres amicaux suivantes: (220, 284), (17296, 18416), et (9363584, 9437056). (Source: MathWorld et Wikipédia).

Nombre premier

La somme des cubes de mes chiffres est égale à mon symétrique.

Je suis l'hypothénuse d'un triangle rectangle aux cotés de longueur entière.

Je suis le plus grand nombre premier dont le carré et le cube n'ont aucun chiffre en commun.

Je suis égal à 1 plus la somme des puissances premières consécutives  d'un entier.

J'ai trois chiffres.

Je suis un nombre premier de Sophie Germain.

Je suis la somme des carrés de deux nombres de la suite de Fibonacci.

Dernier indice en blanc : Je suis l'été tous les 4 ans.

Le 25 Juillet 2009 à 1 heure 11 minutes et 48 secondes UTC, le projet de recherche de nombres de Cullen (Cullen Prime Search) a découvert un nouveau nombre premier record :

6679881 x 2^6679881 + 1

Ce nombre de 2.010.852 chiffres entre à la 15 ème place du classement des plus grands nombres premiers connus établi par le professeur Chris Caldwell. C'est le plus grand nombre premier de Cullen (c'est à dire de la forme n x 2ⁿ+1) connu à ce jour, et le plus grand nombre premier découvert par l'application LLR. Cette remarquable découverte vient seulement 4 mois après la précédente, un nombre premier de Cullen de 1.905.090 chiffres qui est maintenant rétrogradé à 16 ème place du classement.

En 1974, un message radio fut envoyé de la terre à partir du radiotélescope d'Arecibo vers l'amas M13 situé à 25 000 années lumière. Ce signal comportait 1679 nombres binaires (des 0 ou des 1). 1679 a été choisi car ce nombre ne peut être obtenu qu'en multipliant les deux nombres premiers 23 et 73, qui s'ils sont considérés comme largeur et longueur d'un rectangle font apparaitre le motif suivant (sans les couleurs):

Tout en haut du dessin nous pouvons lire les nombres de 1 à 10 en base 2. La quatrième ligne marque le repère vertical au dessus duquel il faut lire le nombre. Le 7 a rempli les 3 cases supérieures et le nombre suivant 8 doit utiliser une colonne supplémentaire pour s'afficher.

Gimps vient de révéler les deux plus grands nombres premiers qui ont été découverts récemment:

Le premier, un mammouth ne compte pas moins de 12 978 189 chiffres et le second, un petit garçon à coté, avec "seulement" 11 185 272 chiffres. A titre de comparaison, le précédent, découvert l'année passée, possédait 9 808 358 chiffres.

L'article de Wikipédia

The primes were independently verified in 13 days and 5 days respectively by Tom Duell (Burlington, MA, USA) and Rob Giltrap (Wellington, New Zealand), both of Sun Microsystems , using the Mlucas program by Ernst Mayer of Cupertino California USA. The verification ran on 8 dual-core SPARC64 VI 2.15Ghz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M5000 Server and 4 quad-core SPARC64 VII 2.52GHz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M8000 Server in Menlo Park, CA, USA.

Source: Gimps

Je vous avais annoncé la possible découverte d'un 45ème nombre premier de Mersenne dans une précédente note. Le premier des deux tests indépendants a vérifié la possible primalité de ce nombre. Il reste à attendre demain pour le résultat du deuxième et confirmer l'hypothèse.

Mais le 6 septembre un autre nombre de Mersenne susceptible d'être premier a été découvert par les ordinateurs de Gimps... Réponse après-demain.

On August 23rd, a computer reported finding a new Mersenne prime to the server! Because I was on vacation, verification did not begin until the 26th. Two verification runs were launched. The first independent verification with different hardware and software is complete and confirms the new prime! Estimated completion date for the second verification is September 10th.

Amazingly, on September 6th, another computer claims finding a new Mersenne prime!! Independent verification has begun and should complete on the 11th.

Un nombre premier est un nombre divisible par 1 et par lui-même, comme 3, 5 , 7....

Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme:

avec p premier :

Les nombres de Mersenne fournissent de bons candidats pour les nombres premiers.

Par exemple pour p=3, le nombre de Mersenne vaut

et il est premier.

Mais pour p=11, le nombre de Mersenne vaut

et n'est pas premier.

En fait, l'humanité n'a pour l'instant trouvé "que" 44 nombres premiers de Mersenne, leur avantage étant qu'ils produisent les plus grands nombres premiers connus. Voilà le tableau des nombres de Mersenne connus à ce jour. Le plus grand est colossal et possède 9 808 358 chiffres.