Inclassables Mathématiques 2.0

Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont  un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.

Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!

Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.

L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques  Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.

Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.

Prenons un peu de recul: 

En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:  
 

La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.

Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.

L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.

On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.

Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation  (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.

L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de  la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui  minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.

Pour trouver le cercle, il suffit  de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).

Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:

Autour de la cycloïde "Maths en Jean"

Complètement cycloïdique "Blog Sciences"

Courbe brachistochrone "Mathcurve"

Brachistochron Problem "Wolfram"

Courbe Brachistochrone "Wikipédia"

Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"

Soap films help to solve mathematical problems

Lorsque l'on prend 3 lettres de l'alphabet. Disons presque au hasard (x,y,z). et qu'on les assemble avec quelques opérations.

Par exemple comme cela:

((x2 +y 2+z2−9)3−x2y2z2)(x2+y2+z2−05)xy2+yx2+xz=0

On met un peu de couleur sur les points de l'espace vérifiant cette équation. On les éclaire avec de jolies sources de lumières.

Et on gagne le premier prix de la dernière compétition d'images "Imaginary" avec le résultat suivant:

Hiltrud Heinrich

Facile, non?

Supposons maitenant que l'idée saugrenue de créer physiquement de tels objets germe dans la tête de quelques terriens et qu'en plus ces étranges individus décident de les exposer. Voilà ce à quoi on peut s'attendre, une exposition Imaginary:

Précédemment sur ce blog: "Imaginary" pour voir les maths

Mineralien und Mathematik

L'univers des représentations m'a toujours interpellé. Les mathématiques peuvent-elles exister sans aucune représentation, sans graphique? Mon avis est que ce n'est pas possible. Quelles représentations apparaissent en mathématiques? Ou plutôt ce qui m'interesse ici serait plutôt de déterminer en quoi une représentation interpelle en mathématiques mais aussi en quoi une représentation sur les mathématiques peut aussi poser question.

Je donnerai dans ce billet un exemple de chaque.

La main de Descartes

Pour ce qui est la représentation au sein de la production mathématique, on peut se poser la question de savoir pourquoi est-ce que Descartes a inclus quelques figures avec une main au milieu d'autres schémas sans aucune intervention humaine.

manière de tracer un ovale - Traité sur la géométrie - 1637

Discours de la méthode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les sciences, plus la Dioptrique, les Météores et la Géométrie qui sont des essais de cette méthode. René Descartes (1596-1650).

Les mathématiques dans la nature

Les photos de Nikki Graziano mettent en scène les mathématiques là où on ne les attend pas et suscitent l'interrogation, l'étonnement.

Représentations

J'avais, il y a quelques temps commencé de façon un peu humoristique, ce que j'avais appelé le musée du crobar. Je pense que je vais pousser un peu plus loin cette idée  de l'interrogation sur la représentation et les mathématiques dans une nouvelle catégorie créée à cet effet intitulée "Représentations".

Petits travaux pratiques

Découpez un disque dans une feuille de papier, posez-le sur votre gobelet de café et appuyez la pointe de votre stylo au centre du disque : le papier ondule, formant un pli en forme de cône. Dans le langage des physiciens il s'agit d'un « point conique ». On peut également observer des points coniques miniatures en froissant une feuille de papier. Ils se forment au départ des plis.


Cornets de glace ou collerettes

Deux chercheurs du Laboratoire de physique statistique de l'Ecole normale supérieure ont étudié les points coniques (2). Plus précisément, ils ont regardé comment les points coniques engendrent des « e-cônes ». Qu'est-ce qu'un e-cône ? Si on enlève un secteur de disque et que l'on colle les bords de la forme restante, on obtient un « cornet de glace ». Si au contraire on ajoute un secteur angulaire, on obtient un e-cône (e comme excédentaire). Les e-cônes peuvent prendre une infinité de formes, sans qu'aucune force externe n'intervienne. Les physiciens ont modélisé ces e-cônes afin de prévoir leur forme et les contraintes élastiques engendrées. Leur travail montre que la forme symétrique à deux plis est celle de plus basse énergie. On la retrouve dans certaines algues marines, qui l'adoptent spontanément durant leur croissance.

© CNRS - Martin Michael Müller

Exemples d'e-cônes à deux et trois plis.

Le communiqué de presse du CNRS : Collerettes, papier froissé et algues marines

Le communiqué de presse PDF

Imaginary est un site allemand. Comme je ne comprends pas l'allemand, je ne peux pas vous en dire tellement plus, sinon qu'il contient de très belles choses.

1) Une Galerie d'images dans laquelle il est possible de naviguer en utilisant les flêches latérales sur chaque photo. En voici un exemple :

3) Un programme Windows "Surfer" à télécharger pour visualiser des surfaces algébriques et avoir quelques renseignements sur celles-ci ( en allemand et heureusement que je parle les maths pour combler mon handicap).

Ci-après la "même" surface en modifiant les couleurs, la valeur du paramètre et le "zoom".

4) Ornamente permet de faire de jolis ornements en ligne :

Construire un graphique 2D ou 3D avec Archimy est un jeu d'enfant. Pour connaître la syntaxe, lancez un exemple. Vous pouvez éditer le code HTML du résultat et vous amuser avec. Je ne parviens pas à l'importer sur ce blog mais ça marche sur cet autre blog : ICI.

Le ruban de Möbius est une surface à 2 dimensions possédant l'étrange propriété de n'avoir qu'une surface. Malgré cela, il n'en reste pas moins très facile à réaliser : il suffit de prendre une bande de papier suffisamment longue, de faire faire  un demi-tour à l'une de ses extrémités puis de rapprocher et coller les deux bouts de cette bande l'un à l'autre.
On peut se poser à juste titre la question de la forme que l'on obtient après avoir réalisé cette manipulation. Or jusqu'à maintenant aucune réponse précise n'avait été formulée à ce sujet.

Si le matériau est élastique, il n'y a pas de problème particulier et la situation est claire. Un bâton se déplaçant comme ci-dessus décrit le ruban de Möbius. Le milieu de ce bâton décrit sans à-coup un cercle pendant qu'il tourne jusqu'à faire 180° au bout d'un tour complet. Lorsque le milieu du bâton a fait un tour, le bâton a seulement fait un demi-tour.

Cependant, lorsque la bande utilisée n'est pas extensible, comme c'est la cas pour une bande de papier, la ligne ( précédemment le cercle ) disparaît et devient une courbe irrégulière qui ressemble d'ailleurs plus à une ellipse qu'à un cercle. La plus grande partie de la torsion ne s'effectue pas de façon homogène mais trouve place en quelques petites régions distinctes du ruban. Plus la largeur du ruban est grande, moins la forme générale est circulaire et plus les contraintes de torsions sont marquées. Les mathématiciens avaient jusqu'à maintenant faits des descriptions approximatives de cette situation, mais aucune formule exacte n'avait été donnée.

Réalisé dans un matériau qui n'est pas élastique, le ruban de Möbius adopte la forme ci-dessus. Les zones rouges sont les régions à forte concentration de contraintes de torsion, alors que les régions bleues sont faiblement sollicitées.
Starostin et matériaux de Van der Heijden /Nature

« C'est un vieux problème  » rappelle l'ingénieur mécanicien Evgueni Starostin de  University College London. « C'est une question très simple, mais il s'avère qu'il exige une théorie suffisamment bonne » pour la résoudre. Starostin et son collègue Gert Van der Heijden ont maintenant trouvé la solution et ils ont publié leurs résultats en ligne dans la rubrique " Matériaux " de la revue Nature.

La forme du ruban dépend de la la largeur du papier. Plus elle est grande, plus le ruban prend une forme triangulaire qui est la forme obtenue par autorecouvrement.
Starostin et matériaux de Van der Heijden /Nature


Ils ont résolu le problème en considérant que le papier était une bande de métal résistant à la torsion et flexible. Ils ont montré que la forme du ruban de Möbius était celle qui exigeait une quantité minimale pour se plier. Des chercheurs ont été intéressés par ces recherches pour une meilleure compréhension de la torsion de l'hélice d'ADN qui tout comme le papier, ne s'étirera pas. Le ruban de Möbius a servi de modèle simplifié pour développé une technique de calcul de formes possibles prisent par l'ADN.

Billet entièrement rédigé d'après la note de Julie J.Remeyer + liens : ICI

S'il vous prend une envie pressente de crocheter un ruban de Möbius, c'est ICI

Et pourquoi ne pas agrémenter votre jardin avec cette jolie structure ?

K3Dsurf est un logiciel sous licence GPL qui permet la visualisation et la manipulation de modèles mathématiques dans l'espace de trois, quatre, cinq et six dimensions. K3DSurf supporte les équations paramétriques et les Isosurfaces.

L'intégralité de l'article de Linuxer.org : ICI

J'ai téléchargé la version Windows qui fonctionne et est impressionnante de fluidité et de rapidité. Il y a quelques plantages et je n'arrive pas à créer un fichier ni ensuite le sauvegarder. Je ne parviens qu'à modifier les fichiers d'exemples sans sauvegarde. Si quelqu'un peut m'aider....

Pour tracer plusieurs surfaces sur le même graphique, mettre chaque expression entre parenthèses et terminer par deux point ":"
Par contre dans ce cas les couleurs renvoyées par les tests peuvent être folkloriques!

Lorsque les maths se vendent : ICI

A moins que vous ne préfériez la catapulte en métal...

La géométrie projective par David Madore : ICI

Des animations et déformations  de surfaces cubiques réalisées par David Madore : ICI