La table de la combination de Marin Mersenne
"L'action de l'ouye n'est autre chose que le desnombrement des battements de l'air, soit que l'âme les compte sans que nous l'apercevions, ou qu'elle sente qui la touche".
Marin Mersenne, religieux mathématicien, éponyme de certains nombres premiers, est l'auteur de cette phrase vers 1636 témoignant ainsi de l'étroit rapport qui a toujours existé entre les mathématiques et la musique.
Pour Mersenne, la musique est dénombrement et le dénombrement est mathématique. Il est ainsi possible de se lancer dans le calcul des formes musicales.
Il a donc décidé de se lancer dans le calcul du nombre de chants possibles contenant n sons.
Il s'agit par exemple de calculer le nombres de chants que l'on peut obtenir sur une octave donc avec 8 sons distincts. L'idée n'est pas bien difficile à saisir et les permutations étaient bien connues à cette époque.
Pour réaliser ce dénombrement, il suffit de considérer 8 case vides que l'on veut remplir avec les 8notes. Il y a 8 possibilités pour remplir la première case, puis 7 pour la deuxième, et ainsi de suite jusqu'à la huitième où il ne reste plus que la possibilité de placer la dernière note.
Il y a donc 8x7x6x5x4x3x2x1 chants, ce nombre est appelé factorielle 8, il est noté 8! en mathématiques et vaut 40 320.
Il y a donc 40 320 chant possibles de huit sons distincts.
Mais voilà, notre Marin ne s'est pas arrété là et navigua un peu plus loin dans l'océan de la factorielle et la mer du chant.
Dans La vérité des sciences, Mersenne donna la table des factorielles jusqu'à 22. Je vous engage à faire ce calcul à la main, vous pouvez le commencer dans un sens ou dans l'autre, soit 1x2x3x.... jusqu'à 22 ou bien partir de l'autre sens 22x21x20.... jusqu'à 1. Le résultat que vous devrez obtenir est assez considérable : 1124000727777607680000 .
Dans L'Harmonie Universelle, Mersenne fit remarquer l'amplitude considérable de ce nombre, ce qui ne l'empécha pas de compléter cette "Table de la combination depuis 23 jusque à 64". Il se demanda dans cet ouvrage s'il est possible de composer le meilleur chant imaginable et répondit par la négative car le nombre de chants possibles es trop grand et l'on ne pourrait procéder par la technique d'essais et erreur.
Je ne peux pas m'imaginer le travail, nécessairement artisanal, qu'il fallut produire pour éditer cette table jusqu'au nombre 64! :
126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000
D'ailleurs Mersenne ne le trouva pas ( Table complète dans le magazine La Recherche juillet-août 1995 ), car il introduisit une petite erreur dans le calcul de 39!. Les derniers chiffres non nuls sont 568 et Mersenne écrivit 468.
Pour compléter : Mersenne: dénombrements, répertoires, numérotation de permutations, Numdam On y trouvera une image de la table jusqu'à 51!.