Inclassables Mathématiques 2.0

[...]
Un souffle de vent et immobile, je repars avec toi.
Je te regarde, de loin, la grâce de ta silhouette, ta chevelure fière et noire, ton corps de femme qui danse le ballet de la vie. Je me demande si tu as parlé à Hypatie, si tu as lu ses commentaires sur L'Arithmétique de Diophante ou sur Les Tables de Ptolémée.
J’avais été frappé par la clarté de ses remarques sur Les Coniques d'Apollonius de Perga.
[...]

L'intégralité de ce très beau texte ICI

Agora : c'est le titre du film de 2h21  d'Alejandro Amenabar présenté Hors compétition lors du festival de Cannes 2009. Il relate le destin d'Hypatie d'Alexandrie. La sortie est prévue en automne 2009.

 

 

La chronique d'Allociné

Cannes film festival falls in love with maths

Agora est un Péplum mettant en scène Hypatie, philosophe, mathématicienne et astronome du IVème siècle.

L'article du Nouvel Observateur

Le festival de Cannes sous le charme des mathématiques

Hypatie, mathématicienne grecque martyr,  est la première d’une lignée de héros qui paient de leur vie leur fidélité à une religion moribonde, dans les grands poèmes de Leconte de Lisle.

 

Au déclin des grandeurs qui dominent la terre,
quand les cultes divins, sous les siècles ployés,
reprenant de l' oubli le sentier solitaire,
regardent s' écrouler leurs autels foudroyés ;

quand du chêne d' Hellas la feuille vagabonde
des parvis désertés efface le chemin,
et qu' au delà des mers où l' ombre épaisse abonde,
vers un jeune soleil flotte l' esprit humain ;
toujours des dieux vaincus embrassant la fortune,
un grand coeur les défend du sort injurieux ;
l' aube des jours nouveaux le blesse et l' importune :
il suit à l' horizon l' astre de ses aïeux.
Pour un destin meilleur qu' un autre siècle naisse
et d' un monde épuisé s' éloigne sans remords ;
fidèle au songe heureux où fleurit sa jeunesse,
il entend tressaillir la poussière des morts.

Les sages, les héros se lèvent pleins de vie !
Les poëtes en choeur murmurent leurs beaux noms ;
et l' Olympe idéal qu' un chant sacré convie,
sur l' ivoire s' assied dans les blancs parthénons.
ô vierge, qui d' un pan de ta robe pieuse
couvris la tombe auguste où s' endormaient tes dieux :
de leur culte éclipsé prêtresse harmonieuse,
chaste et dernier rayon détaché de leurs cieux !
Je t'aime et te salue, ô vierge magnanime !
Quand l' orage ébranla le monde paternel.
Tu suivis dans l'exil cet Oedipe sublime,
et tu l'enveloppas d'un amour éternel.

Debout, dans ta pâleur, sous les sacrés portiques
que des peuples ingrats abandonnait l'essaim,
Pythonisse enchaînée aux trépieds prophétiques,
les immortels trahis palpitaient dans ton sein.
Tu les voyais passer dans la nue enflammée !
De science et d'amour ils t'abreuvaient encor ;
et la terre écoutait, de ton rêve charmée,
chanter l' abeille attique entre tes lèvres d' or.
Comme un jeune lotos croissant sous l' oeil des sages,
fleur de leur éloquence et de leur équité,
tu faisais, sur la nuit moins sombre des vieux âges,
resplendir ton génie à travers ta beauté !

Le grave enseignement des vertus éternelles
s'épanchait de ta lèvre au fond des cœurs charmés ;
et les galiléens qui te rêvaient des ailes,
oubliaient leur dieu mort pour tes dieux bien-aimés.
Mais le siècle emportait ces âmes insoumises
qu'un lien trop fragile enchaînait à tes pas ;
et tu les voyais fuir vers les terres promises ;
mais toi qui savais tout, tu ne les suivis pas !
Que t'importait, ô vierge, un semblable délire ?
Ne possédais-tu pas cet idéal cherché ?
Va ! Dans ces cœurs troublés tes regards savaient lire,
et les dieux bienveillants ne t'avaient rien caché.

ô sage enfant, si pure entre tes sœurs mortelles !
ô noble front, sans tache entre les fronts sacrés !
Quelle âme avait chanté sur des lèvres plus belles,
et brûlé plus limpide en des yeux inspirés ?
Sans effleurer jamais ta robe immaculée,
les souillures du siècle ont respecté tes mains :
tu marchais, l' oeil tourné vers la vie étoilée,
ignorante des maux et des crimes humains.
L' homme en son cours fougueux t' a frappée et maudite,
mais tu tombas plus grande ! Et maintenant, hélas !
Le souffle de Platon et le corps d' Aphrodite
sont partis à jamais pour les beaux cieux d' Hellas!

Dors, ô blanche victime, en notre âme profonde,
dans ton linceul de vierge et ceinte de lotos ;
dors ! L' impure laideur est la reine du monde,
et nous avons perdu le chemin de Paros.
Les dieux sont en poussière et la terre est muette ;
rien ne parlera plus dans ton ciel déserté.
Dors ! Mais vivante en lui, chante au cœur du poète
l' hymne mélodieux de la sainte beauté.
Elle seule survit, immuable, éternelle.
La mort peut disperser les univers tremblants,
mais la beauté flamboie, et tout renaît en elle,
et les mondes encor roulent sous ses pieds blancs.


Pour des informations plus détaillées, c'est ICI

A la recherche d'Hypatie ( Sainte-Catherine ? ) (PDF) ICI

Turing ( père de l'informatique ) : suicide au cyanure certainement suite à un traitement chimique de son homosexualité

Gödel ( certainement le plus grand mathématicien du XXème siècle ): mort de faim

Lovelace ( première programmeuse ) : sa mère cacha la morphine pour obtenir la redemption de sa fille alors qu'elle mourrait d'un cancer

Cantor ( a étudié la notion d'infinis ) : meurt à l'hopital psychiatrique

Riemann ( père de l'intégration ): meurt à 39 ans

Hypatie ( néo-platonicienne, disciple de Pythagore ) : tuée par les chrétiens pour paganisme en lui arrachant la peau avec des coquilles d'huitres et ses membres furent livrés aux flammes.

 

L'Ecole d'Athènes est une fresque réalisée par le peintre Raphaël entre 1509 et 1510. L'oeuvre fait près de 8 mètres de large sur 2,5 mètres de hauteur.

Cette fresque symbolique présente les figures majeures de la pensée antique. Les personnages sont représentés en des places et des postures particulières, ornés de certains attributs, ce  qui permet d'en identifier certains. Ils sont disposés sur deux lignes horizontales principales, et sont séparés par une verticale nettement discernable, ce qui confère à ce tableau ordre et symétrie parfaite.  L'Ecole d'Athène représente un haut lieu de culture philosophique, dont l'humanisme transpire d'ailleurs du tableau, qui s'oppose à la culture théologique. Le cadre architectural est classique. On ne peut s'empécher d'y voir le souvenir des termes romains. Cet environnement fait contrepoid aux univers mythologiques souvent présents dans les tableaux de Raphaël. Le regard du spectateur se dirige en premier lieu vers le centre du tableau où se tiennent debout les deux personnages principaux: Platon (14) et Aristote (15) , majestueux et habillés de la toge romaine. Platon tient le Timée, et pointe le doigt vers le haut pour montrer que la connaissance procède d'un mouvement ascendant, qui va de la terre au ciel de l'idéal philosophique, alors qu'Aristote,  dirige la paume de la main vers le sol indiquant que tout idéal philosophique ne peut exister que dans le monde d'ici-bas.

Tous les personnages sont référencés dans l'article de wikipédia. Il semble qu'il y ait quelques doutes sur l'identité de certains d'entres eux. Nous nous arréterons dans cette note à la seule composante "mathématique" des figurants de cette fresque

Une lecture dynamique de cette fresque est possible ICI . On y voit en particulier les éléments de perspective, d'éclairage et la présence du nombre d'or ( rectangles et carrés ) au centre de la scène. Une étude des éléments de perspective du tableau est disponible ICI.

 

La première question qui vient à l'esprit est Y a-t-il des maths dans le Timée que tient Platon à la main? ( que j'espère tout le monde a lu !).

La réponse vient sans se faire attendre puisque s'il n'y a pas de mathématiques pures dans le Timée ( le problème du doublement de la surface d'un carré se trouve par exemple dans le Ménon ), il y a bien la présence des quatre solides réguliers de l'espace sur cinq,  dit d'ailleurs de Platon. Les mathématiciens de l'époque connaissaient leur existence. Ces joyaux géométriques sont formés à partir des trois polygones réguliers suivants: le triangle équilatéral, le carré et le pentagone régulier donnant naissance en les rapprochant dans l'espace autour d'un sommet aux cinq polyèdres suivants: le tétraèdre (chaque sommet voit trois triangles équilatéraux) , l'octaèdre (chaque sommet voit quatre triangles équilatéraux), l'icosaèdre (chaque sommet voit cinq triangles équilatéraux), le cube (chaque sommet voit trois carrés), et le dodécaèdre (c'est celui qui manque et chaque sommet voit trois pentagones réguliers). En fait une fois l'existence de ces merveilleux objets établie, montrer qu'il n'en existe pas d'autres est très simple puisqu'il suffit de constater que si l'on place  six triangles équilatéraux dans un plan autour d'un sommet commun on occupe la totalité des 360° disponibles et on ne peut pas les replier dans l'espace. Il en est de même avec un sommet qui verrait quatre carrés de 90°, ce qui remplit aussi l'espace. Quatre pentagones ayant un sommet commun se recouvrent déjà dans le plan, impossible donc de les replier dans l'espace pour former un volume!

Le recherche d'harmonie est sous-jacente à la construction de cet univers tridimensionnel parfait et si le triangle équilatéral et le carré sont à son origine, c'est parce que ces deux figures peuvent être formée à partir des éléments "atomiques" de la géométrie que sont les triangles rectangles. Un triangle équilatéral peut se concevoir en juxtaposant  deux triangles rectangles dont les deux cotés adjacents à l'angle droit mesurent la moitié l'un de l'autre, mais c'est une construction encore plus harmnieuse que choisira de présenter Platon dans le Timée qui utilise non pas deux mais six triangles rectangles. Il est aussi possible de former un carré à partir de deux triangles rectangles isocèles. Il devient ainsi plus aisé de comprendre pourquoi le dodécaèdre formé à partir de pentagones réguliers ( qui ne peuvent se construirent à partir de triangles rectangles ) a été découvert plus tardivement. On notera sans doute la forte influence pythagoricienne dans ces raisonnements.

 

Tout ceci est remarquablement illustré, expliqué et apparait sous forme animée sur le site IcosaWeb dans une page intitulée "Les corps platoniciens "

Mais l'objectif de Platon était en fait de mettre ces quatre volumes parfaits en relation avec le monde d'en bas ( Platon associera l'éther au dodécaèdre plus tardivement), et si vous avez parcouru la page précédente, vous n'avez pas pu manquer le fait que ces quatres corps de base ont été associés à deux éléments dont l'existence est garantie par le toucher et la vue: la terre et le feu et deux éléments "nécessaires" pour garantir deux moyens proportionnels: eau et l'air. L'idée est encore atomiste, les quatre éléments sont les briques insécables à partir desquelles peut se construire (penser) le Monde de façon harmonieuse. André Ross explique cela très bien dans l'article suivant intitulé "Mathématiques et civilisation" ainsi que dans Platon et les mathématiques".

Si l'on considère que la figure de référence du plan est le carré dont chaque coté peut être partagé dans un rapport a et b.  Trois "nombres-surface" suffisent pour recomposer le carré : aa, ab et bb.

Alors que si l'on découpe un cube dans les mêmes proportions, il faut quatre "nombres-volume" et donc quatre éléments ( or l'univers est bien tridimentionnel!) : aaa, abb, aab, bbb et le fait qu'ils soient en proportion géométrique garantira l'harmonie de la construction!

 

On a donc bien présent dans le Timée la première équation mathématique modélisant le monde. Les mathématiques aparaissent comme le langage intermédiaire permettant de faire le lien entre le monde d'en bas imparfait et périssable et le Ciel des Idées parfait et intemporel :

 

Dans ce livre, en pointant son doigt vers le ciel, c'est ce message que Platon envoie au monde terrestre et qui, je le pense, reste encore bien présent de nos jours.

 

La seconde question qui peut-être intéressante est de savoir quels sont, dans ce tableau, les personnages ayant un rapport privilégié avec les mathématiques?

On trouve peut-être en 1, Zénon d'Elée qui est à l'origine  des premiers paradoxes de type "mathématique". On se rappellera d'Achille qui ne peut pas rejoindre la tortue et de la flèche qui n'atteint jamais son but. - (Diaporama)

En 6, il s'agit de Pythagore (VIème siècle avant J.C.) dont le nom est très connu mais dont le personnage possède encore beaucoup de mystères, historiques d'une part et sur qui qu'il était vraiment.

En 9, Hypatie première femme mathématicienne connue au destin tragique, apparaît peut-être sous les traits de Francesco Maria I^er della Rovere.

En 18 Euclide ou Archimède pourraient être représentés sous les traits de Bramante, maître et protecteur de Raphaël.

Les principaux représentants antiques des mathématiques ( sauf Thalès ) semblent donc présents, certes sous d'autres traits, mais c'est aussi le cas pour Platon qui a prit les traits de Léonard de Vinci pour l'occasion.

En ce qui concerne Pythagore, on pourra consulter les liens suivants afin de mieux connaître cet homme prédicateur, qui fonda une communauté religieuse et politique composée exclusivement d'hommes vétus de blancs fuyant les femmes en couche, qui évitent de rentrer dans la maison d'un mort, refusent de croquer une fève ou de manger un oeuf, qui doivent respecter la règle du silence et une discipline stricte tout en exaltant le courage et l'honneur du combat. En fait la communauté est partagée entre deux attitudes correspondant à celles des deux leaders. Il y a d'un coté les adeptes de Pythagore, le mage ascète, replié sur lui, retiré de la cité, inquiet de toutes les formes d'impuretés qui pourrait faire obstacle au salut de l'âme et de l'autre, les pythagoriciens "politiques" qui suivent Milon de Crotone son gendre, mangent de la viande, acceptent le monde de la cité avec l'intention d'agir sur lui pour le transformer .

Pythagore fut le premier à envisager le nombre sous une perspective religieuse et mystique, libérant au passage les mathématiques de leur seule visée utilitaire à laquelle ils étaient cantonnés jusque là et c'est cette forme de pensée qui a résisté au temps. (Universalis ).

Pour compléter sur Pythagore:

Les diaporamas d'André Ross

Pythagore, la géométrie des nombres

Pythagore, des triplets au théorème

Pythagore, moyennes et proportions

Pythagore par l'Encyclopédie de l'Agora

Pour un rappel de la contribution de Pythagore dans l'histoire des mathématiques : La brève histoire des mathématiques

A noter : J.-F. Mattei : Pythagore et les pythagoriciens (Que sais-je n° 2732)

On pourra aussi lire le passage pittoresque suivant sur les purgations physiques et spirituelles d'André Dacier, philologue né en 1651 dans La vie de Pythagore, ses symboles; La vie de Hiéroclès et ses vers dorés: