Inclassables Mathématiques 2.0

Des cosmologistes espagnols proposent un univers sans Big Bang

Des chercheurs espagnols de l'Université Polytechnique de Catalogne ont proposé un nouveau modèle mathématique permettant de décrire l'évolution de l'univers. Ce modèle, basé sur des travaux d'Einstein, permet d'interpréter correctement les données expérimentales sur le passé et l'évolution de l'univers disponibles actuellement. Et il ne prévoit pas l'existence d'un Big Bang originel.

Un des grands desseins de la physique est d'expliquer comment fonctionne l'univers et, notamment, quelle fut son origine et quelle sera son évolution. Dans ce cadre, la conception de la gravitation développée par Einstein il y a un siècle, avait permis d'ouvrir de nouvelles voies. L'introduction de la relativité générale et de la notion d'espace-temps avait conduit les chercheurs à développer un modèle mathématique de l'évolution de l'univers. Lorsque la variable temps est inversée dans ces équations, c'est à dire quand on remonte mathématiquement le temps, les équations conduisent à une singularité : un univers complètement replié sur lui-même ayant son origine dans une sorte d'explosion initiale, le Big Bang.

Cependant, les données scientifiques récoltées depuis ont contribué à altérer ce modèle. Einstein lui même avait du introduire dans ces équations une constante cosmologique permettant d'expliquer que l'univers était en expansion. L'introduction des concepts de matière noire et d'énergie noire sont d'autres compléments récents qui permettent de maintenir la cohérence entre la réalité des faits observés et le modèle cosmologique standard, sans pour autant expliquer ce que sont concrètement cette matière et énergie sombre.

L'objectif de tout cosmologiste est donc de pouvoir expliquer les différentes phases dans la vie de l'univers comme la phase d'inflation après sa naissance ou encore le fait que l'expansion continue à l'heure actuelle. Les chercheurs espagnols ont ainsi décidé de tout reprendre à zéro dans un nouveau contexte et de ne se baser que sur les données disponibles pour étudier si d'autres modèles cosmologiques pourraient être développés pour rendre compte de l'histoire de l'univers.

En reprenant les travaux infructueux d'Einstein cherchant à fusionner les théories de la gravitation et de l'électromagnétisme qui portent le nom de téléparallèlisme, les chercheurs ont développés plusieurs modèles cosmologiques cohérents avec les données expérimentales disponibles : un univers connaissant une phase d'inflation, une phase dominée par la matière et une phase d'expansion accélérée. La nouveauté vient du fait que ces modèles ne présentent pas de singularité, c'est à dire pas de moment originel, ou pas de Big Bang.

Il s'agit là d'une perspective qui pourrait faire l'effet d'une forte déflagration ! Le travail des chercheurs espagnols a ainsi comme mérite de montrer que d'autres théories sont possibles pour expliquer l'évolution de l'univers. Il ouvre la voie à de nouveaux travaux et, peut être, à de nouvelles polémiques.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/72603.htm

C'est en quelque sorte la problématique du billet précédent qui se trouve rattrapée par celle qui va suivre: l'histoire du coefficient multiplicateur...

Citons l'introduction du rapport:

This paper investigates the  relation between growth forecast errors and planned fiscal consolidation during the crisis. We find that, in advanced economies, stronger planned fiscal consolidation has been associated with lower growth than expected, with the relation being particularly strong, both statistically and economically, early in the crisis. A natural interpretation is that fiscal multipliers were substantially higher than implicitly assumed by forecasters. The weaker relation in more recent years may reflect in part learning by forecasters and in part smaller multipliers than in the early years of the crisis. 

Tous les problèmes ne viennent peut-être pas de là mais enfin ç'est génant!

 "Aucun économiste digne de ce nom ne peut prétendre à ce que le modèle d'équilibre général d'ARROW-DEBREU  ne soit pas définitivement mort et enterré ! "

Voici ce qu'ose écrire l'universitaire Bernard MARIS dans son livre-pamphlet "Lettre ouverte aux gourous de l'économie qui nous prennent pour des imbéciles"
 Cet avis est partagé par de  nombreux collègues dont :
- Bernard GUERRIEN, docteur en maths et en économie, universitaire  spécialiste de ce modèle et mon ex-collègue à l'université Paris 1 ; il est l'auteur d'un long article à ce sujet, publié par la revue de renom "La recherche" dont la conclusion est claire : ce modèle est totalement folklorique, une coquille vide, un cadre vide.
- Jacques ATTALI, polytechnicien et énarque, qui insiste aussi sur l'apport négligeable de ce modèle.

Mais de quoi s'agit-il ?
Un modèle dynamique d'évolution des prix sur les marchés, en présence d'un commissaire-priseur, en situation de libre concurrence, avec convergence vers un équilibre général.
L'hypothèse la plus  irréaliste : les agents économiques connaissent, à un instant donné,  les prix de tous les biens, présents et FUTURS  !
Quand on sait que près de la moitié des biens qui  seront en vente  dans une dizaine d'années, n'existent pas encore maintenant,
alors on imagine mal comment connaître leur prix aujourd'hui!
J'ai même assisté à une soutenance de thèse, en prolongation de ce modèle, où les agents économiques avaient une durée de vie infinie ...

Suite au prix Nobel accordé à Gérard DEBREU, ex-normalien français naturalisé américain, et à son colauréat américain ARROW,
ce modèle a bénéficié d'une certaine vogue; mais les journalistes ont rapporté qu'à la sortie de la séance Nobel, ARROW a eu le courage et l'honnêteté de leur dire:
" Peut-être aurions-nous mérité davantage un prix en maths  en raison de la virtuosité de nos calculs, plutôt qu'un prix en économie car nos hypothèses de base sont irréalistes"
L'équipe de recherche CERMSEM de mon UFR de maths de Paris 1 avait réussi à intégrer DEBREU lui-même dans ses rangs jusqu'en 2004, année de son décès;
j'en ai profité pour lui demander ses réactions suite à ces critiques virulentes.
Il s'est contenté de répondre:"Ah, ces gens ne nous aiment pas " ! Un peu court !
Dommage d'aiguiller les étudiants dans une impasse; il semble d'ailleurs que le CERMSEM se soit réorienté vers les maths financières (moi, j'ai quitté Paris1 fin 2001, suite à mon départ à la retraite).

KOSMANEK Edith
Docteure en maths
Titulaire à la Sorbonne de 1969 à 2001
http://kosmosya.xooit.fr/index.php 

Achim Menges en collaboration avec  Steffen Reichert on réalisé l'installation HygroScope – Meteorosensitive Morphology exposée au  Centre Pompidou. Ils ont créé un modèle de  bois qui est destiné à entrer en interaction avec l'humidité de l'air et ses variations. La structure complexe est issue d'un algorithme. 

J'avais écrit un billet sur le problème des trois corps. On pourra aussi lire l'article suivant sur le sujet.
La vidéo qui suit permet de compléter les deux liens précédents:

Le problème des trois corps et la question de la... par Sciences_Maths_Paris

C'est en 2004 (seulement!) que les scientifiques ont pu prouver en vidéo, que la descente des bulles dans la Guinness n'était pas une illusion d'optique mais bien une réalité.  Les différences de température créent un mouvement de convection. Ainsi, les bulles remontent par un courant central, stagnent près de la surface, puis redescendent sur la périphérie du verre.

Ce phénomène de Guinness cascade peut se produire de fait dans n'importe quel liquide, mais le contraste produit par une bière noire et des bulles claires le rend plus visible. Selon les scientifiques, la Guinness d'origine irlandaise est la plus propice à l'observation. 

Aujourd'hui la compréhension du problème avance, et l'effet de la géométrie du verre est étudié. Et c'est principalement cette partie qui a occupé nos matheux car le phénomène de circulation de bulles en contresens est connu en sédimentation depuis 1920 sous le nom d'effet Boycott. 

On observe que la sédimentation est plus rapide dans un tube incliné que dans un tube vertical. En effet, lorsque le tube est incliné, les sédiments s'accumulent rapidement contre la paroi inférieure du tube, libérant ainsi un flux de contre-écoulement le long de la paroi opposée.

Il se forme alors deux flux de densité différente. L'un chargé de sédiments et descendant vers le fond du tube, l'autre plus léger remontant vers la partie supérieure.

L'expérience donne un résultat identique avec la Guiness.

L'animation suivante montre le champ de vitesses des bulles dans un plan de coupe du verre. Une découverte qui ne pouvait pas être tue plus longtemps!

La source et l'article Arxiv.

Qu'il s'agisse de la longueur des jupes, des rythmes de chansons, du choix des prénoms ou de la race de chien préférée, certaines manies collectives sont souvent des choix volatiles et peu d'entre eux persistent à l'épreuve du temps. Il s'agit de phénomènes de mode.

Au moins depuis le XVIIème siècle, les modes sont consédérées comme un produit de la stratification sociale, où les couches sociales les moins favorisées copieraient celles qui seraient le plus.

Le modèle proposé remplace et améliore deux modèles existant qui ne modélisent pas de façon correcte les phénomènes de mode.
Le modèle neutre est simple et modélise une recopie aléatoire des traits culturels. Il ne répond pas correctement au problème, car il semblerait que les personnes effectuent des choix positifs et d'autres négatifs.
Le modèle d'état prend en compte ce constant en considérant que les individus de statut élévé sont anti-conformistes alors que ceux de statut moindre sont conformistes.

Le modèle proposé par Acerbi et d'autres chercheurs, nommé modèle de préférence, introduit le fait que les personnes peuvent copier des traits culturels mais aussi les préférences associées, les règles de transmission pouvant ainsi évoluer dans le processus de recopie contrairement à un modèle génétique par exemple. La co-évolution de la recopie d'un trait et de sa préférence sont suffisantes pour générer un phénomène de mode. L'augmentation rapide de la popularité est corrélée avec sa diminution rapide ainsi l'augmentation lente avec la lente disparition. Ce phénomène a été démontré pour le choix des prénoms en France et aux Etats-Unis.
L'idée principale du modèle est que la préférence pour un trait culturel est définie elle-même comme un trait culturel, le trait initial et la préférence pouvant être copiés de façon indépendante dans un système dynamique de modèles et d'observateurs.

Voilà le système différentiel:

Pour le reste de l'article c'est sur Plos ONE en anglais.

 l'aide de modèles mathématiques, deux chercheurs de Szeged ont montré qu'en vaccinant prioritairement les enfants, une épidémie pouvait être réduite de 10%.

L'utilisation de modèles mathématiques permet de mieux comprendre comment se propage une épidémie et facilite ainsi la mise en place de techniques d'intervention efficaces pour limiter les impacts de la maladie. Afin d'optimiser les campagnes de vaccination et de déterminer un calendrier de vaccination optimal, deux mathématiciens de Szeged ont mis au point une cinquantaine de modèles mathématiques en classant les individus en fonction de leur âge.

Jusqu'à présent, les scientifiques cherchaient à déterminer la répartition optimale des doses vaccinales disponibles entre les différentes catégories de la population. Les deux mathématiciens ont étudié les effets de campagnes de vaccination au cours desquelles les différents groupes de population recevaient leurs doses les uns après les autres. Leurs résultats révèlent que la concentration des campagnes de vaccination sur les enfants et leurs parents serait la meilleure stratégie à adopter pour éviter la dissémination massive de la maladie.

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/66143.htm

L'objectif de ce billet est de se demander s'il peut exister une théorie générale des questions "Pourquoi?", ou de l'explication en général, de montrer que des philosophes et des scientifiques s'intéressent à cette question, et d'essayer de comprendre en quels termes est-ce qu'elle peut se formuler, quelles sont les difficultés liées à son élaboration. On ne pourra bien sûr pas traiter la totalité de ce sujet dans un simple billet de blog, compte tenu de l'ampleur de la tâche, de sa difficulté, du fait que l'on ne dispose certainement pas actuellement des bases théoriques suffisantes et aussi, signalons-le, des limites vite atteintes de l'auteur!

Les questions "Pourquoi?"

Lorsque l'on demande à Teddy et Valentin, "Pourquoi les léopards ont-ils des tâches?", voilà ce qu'ils répondent: 

L’histoire se passe dans la jungle, en Afrique. Nous sommes le 31 mars, avec trois meilleurs amis. Il y a Benji, un jeune léopard sans tâches, Chita et Kikou, ses deux amis singes. Comme chaque jour, ils jouent à trap-trap et à courir dans la jungle. Chita et Kikou adorent se cacher ou se percher dans les arbres. Mais Benji a beaucoup plus de mal pour les attraper. Eux, ils sont habitués à grimper et à sauter d’arbre en arbre. Pour Benji, il faut courir plus et user beaucoup d’énergie pour grimper dans l’arbre où se trouvent ses amis.

Chita et Kikou, très farceurs, décident de faire une farce à leur ami pendant sa sieste. Ils lui mettent des tâches de peinture noire sur son pelage. Benji se réveille et ne remarque rien. Il part à la recherche de ses amis. Mais il se pose des questions : « Pourquoi tout le monde me regarde et rie quand je passe ? » Arrivé au bout de la jungle, il retrouve Chita et Kikou. Ils tiennent un bout de miroir et se tordent de rire. Benji sursaute de peur quand il se voit avec son pelage tout tacheté de noir. Il comprend pourquoi les habitants rigolaient. Voyant leur ami triste, Chita et Kikou disent : « Poisson d’avril ! » Chose qu’ils ne savent pas, c’est que c’est de la peinture indélébile. Du coup, Benji rit aussi, il aime son nouveau look. Surtout depuis que les jeunes léopards l’admirent ! Voila pourquoi les léopards ont des tâches. On trouvera d'autres réponses d'enfants à la question "Pourquoi?" ICI.

Lorsqu'on pose la même question au scientifique voilà l'un des éléments principaux de la réponse qu'il propose, et l'on est bien loin de celle de Teddy et de Valentin:

Une réponse intermédiaire entre le conte et la modélisation mathématique, serait le récit du vulgarisateur:

Ce qui est étonnant et remarquable, c'est que l'équation mathématique montre que les différents motifs de pelage dépendent seulement de la grosseur et de la forme de la région où ils se développent. Autrement dit, la même équation de base explique tous les motifs. Mais alors, pourquoi les tigres et les léopards ont-ils des motifs différents puisque leurs corps sont très similaires ? Parce que la formation des motifs ne se produirait pas au même moment durant la croissance de l'embryon.
Dans le premier cas, l'embryon serait encore petit et, dans l'autre cas, il serait déjà beaucoup plus gros. Plus précisément, l'équation montre qu'il ne se forme pas de motif si l'embryon est très petit, qu'il se forme un motif rayé si l'embryon est un peu plus gros, un motif tacheté s'il est encore plus gros, et ... aucun motif s'il est trop gros !
Voilà pourquoi la souris et l'éléphant n'auraient pas de taches !

A travers cette question, il semble flagrant que la question du "Pourquoi?" est relative, que la connaissance de l'interlocuteur est fondamentale. Une théorie du "Pourquoi?" pourra-t-elle se constituer indépendamment de celui-ci?

Un autre type de question va faire apparaître une nouvelle difficulté. Par exemple on peut se demander: "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?"

La première idée qui viendrait à l'esprit est de considérer que cette question est du domaine religieux et qu'elle ne trouvera aucune réponse. Si cette remarque est vraie et renvoit la problématique vers la construction des mythes fondateurs, il n'en reste pas moins que si l'on tente d'y répondre, force est de constater que son ambiguité n'est pas religieuse mais, bel et bien, sémantique.

On peut en fait répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?". La problématique implicite étant de répondre à la question "Pourquoi lui?".

On peut aussi répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", la problématique implicite étant maintenant de savoir pourquoi cette action a été réalisée et non une autre, comme l'écraser, la donner, la cacher.

Il reste une dernière interrogation du type "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", sous entendu, pourquoi ce fruit, pourquoi un fruit?

Contrairement à l'exemple précédent où la connaissance de l'interlocuteur avait une place capitale une fois que la question était posée, dans ce cas présent, c'est la question elle-même qui peut être ambigüe, trop lâche. Il paraît donc important de se prémunir devant ces ambiguités en formulant une question "Pourquoi?" satisfaisante permettant d'assurer une réponse pertinente. Il est important de connaître l'angle d'attaque de la réponse satisfaisante. Mais est-il possible de construire ce type de questions? Là aussi c'est un point incontournable de la possibilité de formuler une théorie du "Pourquoi?".

Dans le domaine mathématique, des questions "Pourquoi?" peuvent aussi apparaître, comme par exemple :

Le problème qui se pose ici est encore d'un autre niveau que les deux précédents. Il s'agit de comprendre que ce n'est pas parce qu'une chose est vraie et qu'elle est prouvée, qu'elle est expliquée. Le résultat énoncé plus haut est vrai mais la question est de savoir "Pourquoi est-ce que c'est Pi/4 qui se trouve à droite de l'égalité et pas un autre nombre?", sous entendu quel est le lien explicatif entre le membre de gauche et celui de droite? On va donc voir arriver un gros problème avec le statut de la démonstration mathématique et du calcul. Démonstrations et calculs ne sont pas tous explicatifs. La démonstration, le calcul ne répondent pas de façon inconditionnelle à la question du "Pourquoi?". Dans le champ des mathématiques, une théorie du "Pourquoi?" ne pourra pas se contenter de l'existence d'une démonstration valide ou d'un bon calcul.

Si l'on reste dans le domaine des mathématiques, un autre type de question "Pourquoi?" pose problème. C'est celle qui demande pourquoi est-ce que l'on fait tel type de chose pour faire une démonstration? Par exemple "Pourquoi introduire la fonction "machin" pour démontrer le résultat "truc"? Et le professeur de mathématiques ne s'y trompe pas car sa réponse est presque toujours invariable même si elle n'est en rien explicative "On fait ça parce que ça marche!". On voit donc bien qu'il y a là une difficulté réelle qui aborde la naissance des idées, la justification de l'intuition, la justification d'une étape "deus ex machina".

D'autres questions "Pourquoi?" peuvent aussi s'avérer problématiques, comme par exemple: "Pourquoi JFK est-il mort le 22 novembre 1963?". Une fois levées les ambiguités de la question sur les attentes (JFK, mort ou date), il est ici question de l'explication historique. L'histoire ne se répétant pas, peut-on concevoir une "explication historique". L'explication relevant principalement de la rationnalité et de la science, n'est-on pas dans l'incapacité d'expliquer l'histoire, sauf à la considérer comme science, ce qui n'est pas sans apporter un autre lot de difficultés?

Les questions exclusivement scientifiques ne sont pas non plus sans poser de problème!

Y a t'il une meilleure explication que les autres à cette question : "Pourquoi aucun observateur ne peut se déplacer plus vite que la lumière ?" ?

"Pourquoi les lois de Kepler sont-elles valides ?" Le "vrai" physique, comme nous l'avons vu juste au dessus, n'épuise pas à lui seul la question du "pourquoi".

Derrière ces quelques "questions-pourquoi", nous voyons pointer la difficulté de concevoir une théorie qui permettrait d'englober toutes les réponses possibles et de sélectionner parmi elles, celle qui est la plus pertinente. Cette théorie devra de plus nécessairement contenir les "questions-pourquoi" des mathématiques. La réponse au "Pourquoi?" se devant d'être explicative, il faudra se confronter à la nature de l'explication qui soulignons-le, ne peut pas éliminer le récepteur, introduisant ainsi une forte part de relativité, bien inconfortable en sciences par exemple.

Pouvons-nous concevoir une théorie du "Pourquoi?"?  Est-il possible de la mathématiser, et est-elle  compatible avec les mathématiques?  Pour préciser les choses , la théorie des questions-pourquoi impose que le particulier puisse se déduire de la règle. Cela exige aussi de savoir s'il est possible de lever toutes les ambiguïtés associées à ce type de question, comme nous pouvons le constater dans les questions sur Adam et la pomme. Il faut aussi se poser la question, si l'on choisit d'associer la meilleure explication à la meilleure probabilité de certitude, de savoir si la démonstration mathématique (de probabilité 1) est toujours explicative. Il faut aussi se poser la question de savoir si l'on parvient à expliquer le "Pourquoi faire cela?" en vue d'une démonstration, plutôt qu'autre chose, mettant ici de l'arbitraire là où il ne devrait pas y en avoir.