Vous ne savez sans doute pas ce qu'est une équation différentielle ni une courbe intégrale. Vous avez sans doute quand même entendu parler des équations et avez aussi entrevu l'idée lointaine qu'elles pouvaient admettre des solutions et qu'on pouvait les représenter par un procédé quelconque.

Imaginons un instant qu'il existe des équations ( dites différentielles ) dont les solutions seraient des fonctions. Il serait donc possible de représenter les solutions de ces équations par des courbes ( dites intégrales)...

Cliquer sur l'équation pour visualiser " sa solution" (pdf ).

Un aussi joli résultat pour seulement 32 caractères... sympa, non ?

Communiqué du CRAP-Cahiers pédagogiques
Tandis que les auditions de la commission sur le métier enseignant présidée par Marcel Pochard se poursuivent, le CRAP - Cahiers pédagogiques continue pour sa part sa réflexion sur les aspects proprement pédagogiques de cette question. De nombreux adhérents ont participé aux débats internes, dont les 15 propositions suivantes constituent une synthèse.
jeudi 15 novembre 2007

Intégration dans une équipe pédagogique

1. Définir le métier enseignant comme partie intégrante du fonctionnement d’une équipe pédagogique en charge de l’éducation et de l’instruction des élèves d’un établissement.

2. Définir des niveaux de responsabilité différents :

3. Favoriser l’élaboration collective du fonctionnement et des projets de l’établissement par l’équipe pédagogique.

4. Garantir le respect des droits individuels de mutation dans le cadre de l’équilibre de l’équipe de l’établissement.

Définition des services

5. Définir les services de façon à y intégrer, en plus des séquences de cours, les temps d’aide aux élèves, de suivi individualisé, de travail collectif avec l’équipe pédagogique, de relations avec les parents, de formation continue. Différentes formules sont envisageables :

• une définition fixe entre un nombre d’heures de cours à assurer et un nombre d’heures correspondant aux autres missions, par exemple de la forme « 16 + 3 » ;
• une définition algébrique, variable selon les personnels dans l’établissement : par exemple, 18 - x heures de cours et 2x heures complémentaires ;
• une définition en temps de présence dans l’établissement, soit sous la forme d’un nombre d’heures (par exemple 25), soit sous la forme d’un nombre de demi-journées (par exemple 6), les équipes ayant en charge la répartition à l’intérieur de ce temps de présence entre heures de cours et autres missions.

6. Permettre différentes modalités de répartition de ces missions entre les membres de l’équipe pédagogique de l’établissement.

7. Favoriser toutes les formes de travail collectif entre enseignants de différentes disciplines, en particulier l’élaboration de projets.

8. Permettre d’éventuelles bivalences pour les volontaires, avec toute la formation nécessaire.

Entrée dans le métier

9. Développer la préprofessionnalisation sous forme de stages, afin de permettre aux étudiants candidats au métier d’enseignant d’en découvrir les différentes composantes et conditions d’exercice.

10. Mettre en place un tronc commun à tous les concours de recrutement d’enseignants, visant à évaluer les compétences de communication et s’appuyant en particulier sur les stages réalisés.

11. Dans la partie disciplinaire du concours, évaluer de façon forte la maitrise de l’histoire et de l’épistémologie de la discipline.

12. Conjuguer tout au long de la formation d’une part pratiques de terrain et réflexions analytiques, d’autre part approches pédagogique et didactique.

Fonctions dans le système éducatif

13. Définir 4 situations d’exercice du métier enseignant, en fonction des objectifs d’apprentissage des élèves :

• cycle I : enseignants spécialistes des premiers apprentissages ;
• cycle II et III : enseignants polyvalents, avec une ouverture à des intervenants spécialisés ;
• collège : un enseignant référent sur le plan éducatif pour un groupe d’élèves, spécialisé dans une ou deux disciplines et dans l’aide individualisée aux élèves en difficulté, des enseignants spécialistes de leur discipline intervenant de façon concertée ;
• lycées général et professionnel : des équipes d’enseignants spécialistes de leur discipline.

14. Définir un unique corps enseignant recouvrant ces quatre situations, afin d’affirmer l’unité du métier et de favoriser le passage d’une situation à une autre.

15. Encourager la formation continue sous différentes formes :

• la formation dans le cadre de l’établissement, en fonction des besoins définis par l’équipe pédagogique ;
• la participation à des recherches-actions, en lien avec les enseignants universitaires ;
• la formation individuelle, en particulier préparant le passage d’un niveau à un autre du système éducatif, ou encore de l’enseignement d’une discipline à une autre.

Copie intégrale de l'article des "Cahiers pédagogiques" : ICI

En 1993, Melinda Green invente une nouvelle façon d'obtenir une représentation graphique autour de l'ensemble de Mandelbrot. La coloration sur un point de l'espace complexe ne correspond pas au nombre d'itérations qu'il faut pour que la suite diverge, mais au nombre de fois où il apparaît dans toutes les suites décrivant l'ensemble.

Le plus impressionnant est que l'image résultante, une fois penchée, devient une figure ressemblant à un bouddha en pleine méditation. Très vite, l'image a circulé, et a pris le nom de Buddhabrot. Certains on vu un signe divin.

Source sur "Et C++ si affinités" : ICI

Galeries ICI et ICI

Cette image est extraite de " Gallery of Computation" à voir si vous aimez les arts numériques : ICI

La mise en ménage du couple a eu lieu depuis bien longtemps, c'est d'ailleurs presque une histoire de famille incestueuse entre les deux. Les Mathématiques ont donné naissance à l'Informatique puis l'Informatique, très soumise, a rendu bien des services aux Mathématiques, à tel point qu'on a parfois bien du mal à reconnaître, qui de l'Informatique ou qui des Mathématiques et que l'on ne sait pas très bien dans quelles conditions cela s'est fait ! Les fiançailles ont eu lieu  lorsque l'agrégation externe de mathématiques s'est vue dotée de l'épreuve d'Informatique et récemment d'une épreuve de modélisation mathématique ( ouf, je suis soulagé, j'ai bien fait des maths pendants 5 ans, jusqu'au DEA de Mécanique ! ). On pressentait l'officialisation de l'union avec l'apparition de l'épreuve pratique de mathématiques au Bac S.  Jean-Paul Delaye nous a déjà prévenu que la relation serait difficile dans son livre intitulé " Complexités - Aux limites des mathématiques et de l'informatique ".

L'union est désormais officielle. La revue de référence en matière de Sciences, la prestigieuse revue " Pour la Science" le confirme dans son numéro de Novembre 2007 " 30 ans d'aventure scientifique " en regroupant Mathématiques et Informatique dans la même rubrique.

Pendant ces 30 dernières années, la Science a produit 4 couples et un célibataire.

J'ai l'honneur de vous annoncer l'union de :

Biologie-Médecine
Astrophysique-Cosmologie
Sciences de la Terre-Archéologie

et le petit dernier :
Mathématiques-Informatique

Le célibataire? Et bien c'est la physique !

Et qu'on fait nos deux tourtereaux  ( l'un un peu plus jeune que l'autre! ) depuis trente ans? Ils n'ont pas chômés. L'informatique a explosé et les Mathématiques ont suivi un programme (  ils étaient déjà faits pour se rencontrer ), celui de Langlands - Références à l'article de Pour la Science Novembre 2007.

Alors pourquoi un PACS ? C'est très simple, aucune information à ce sujet n'étant paru dans les publications officielles, je ne puis déterminer le sexe de nos deux amants. Voulant prendre un risque minimum afin de ne pas m'attirer les foudres de quelques vélléitaires bien informés, je décide de parier, comme Pascal l'a fait bien avant moi sur un autre sujet, pour le PACS, permettant plus de "combinaisons" que le mariage.

Pour la signification de " PACS ", je vous propose :

Pour une Alliance Consentie et Solide.
Promesse d'Activités Calmes et Sérieuses.

Si vous avez d'autres idées...

Je suis d'une nature curieuse et j'ai voulu lire les articles composant le premier numéro de "Repères", le bulletin de l'IREM ( Institut de Recherche sur l'Enseignement des mMathématiques ). Ce premier numéro est paru en 1991 et je ne fut pas surpris d'y trouver un article sur la démonstration, un sur les nouveaux programmes de 6ème, un sur les géométries non euclidiennes et un sur la résolution de problèmes de second cycle, mais l'article qui attira mon attention fut le dernier de la revue. Il a été écrit pas Rudolf Bkouche qui l'intitula " Pourquoi enseigner la géométrie? ". Je ne vais pas en faire un résumé ici, mais je l'ai trouvé très intéressant. Cela me donna l'idée de faire une recherche sur Rudolf Bkouche et j'ai trouvé une page comportant de nombreux textes ICI

L'extrait suivant est tiré d'un texte de cette page " De la transposition didactique " que j'ai aussi trouvé très intéressant ( pp 22-23 ).

Premier paradoxe, la dévolution du problème.

En fait la dévolution repose sur un implicite, une forme de constructivisme qui laisse entendre que c'est à l'élève de construire son propre savoir, le rôle du professeur étant de créer la situation pour que l'élève puisse mener à bien cette construction. Déjà une première contradiction apparaît, le savoir créé par l'élève doit correspondre au savoir que l'on veut lui enseigner, il s'agit donc d'un constructivisme orienté. Il y a ici une mécompréhension de l'enseignement si l'on considère que le problème de l'enseignement est moins d'amener l'élève à construire du savoir que de lui donner les moyens d'acquérir du savoir, c'est-à-dire de faire sien un savoir qui lui est a priori extérieur; il est vrai que, posé de cette façon, l'acte d'enseignement apparaît impossible; mais cet impossible repose sur le pré-supposé constructiviste qui déclare que tout vient du sujet (mauvaise lecture de Kant pourrait-on dire) ou que le sujet et l'objet ne font qu'un (mauvaise lecture de la phénoménologie). Le constructivisme didacticien n'est alors qu'une façon de réduire le rapport au savoir à de simples jeux d'interaction, autrement dit d'éviter de le penser. Mais peut-être faut-il ici revenir sur la polémique Piaget-Chomsky qui oppose il est vrai deux dogmatismes, celui du constructivisme et celui de l'innéisme, mais le plus ouvert reste celui de Chomsky dans la mesure où il marque une confiance dans la possibilité, pour celui qui apprend, de construire à partir de l'acquis. Il y a ici deux conceptions opposées, celle du constructivisme pour qui tout savoir est construit par le sujet et celle des qualités innées (qu'il faudrait alors situer dans l'identité biologique de l'homme) qui permet à tout individu d'acquérir un savoir extérieur et de le faire sien. Le paradoxe du constructivisme est que le savoir à construire n'est pas défini par le seul individu qui apprend, il se situe dans un contexte social qui exige que celui qui apprend construise le savoir qu'on lui demande de construire; ce qui suppose le "coup de pouce" à la dévolution du problème que Brousseau présente comme un paradoxe, et il est vrai que c'en est un du point de vue constructiviste; à moins de reconnaître que la dévolution n'est autre qu'une manipulation qui doit conduire l'élève à faire ce que l'on attend qu'il fasse, la manipulation reposant sur l'illusion de l'autonomie. On comprend que dans ces conditions le professeur se sente malheureux, malheureux de ne pas laisser sa pleine liberté à l'élève dans la construction de son savoir, mais malheureux aussi lorsque, laissant toute liberté à l'élève, le contrat didactique n'est pas rempli. Dans ces conditions la didactique, poussée à ses limites, nous apprend que l'acte d'enseignement est impossible.

Deuxième paradoxe, celui des situations.

Si le savoir savant, le "vrai" savoir, est le dernier état du savoir comme on l'a vu à propos de l'étude de Marie-Jeanne Perrin sur les aires, alors tout discours qui n'est pas celui du savoir savant est un discours faux. Mais le discours du savoir savant n'est pas transparent et ne peut être compris tel quel par l'élève, il doit donc être adapté pour être compris, adaptation qui le modifie et le transforme en un savoir qui devient "non seulement approximatif, mais aussi en partie faux et inadéquat.". Le professeur doit alors choisir "entre enseigner un savoir formel et dénué de sens ou enseigner un savoir plus ou moins faux qu'il faudra rectifier." Situation paradoxale qui conduit à choisir entre le vrai et le compréhensible. Ici encore l'analyse didacticienne conduit à l'impossibilité de l'enseignement.

On pourra lire aussi " De la fin de l'enseignement " qui aborde la pédagogie du vide et le sujet des TPE.