Nous avons tellement l'habitude d'associer le concret à une certaine immédiateté, à la facilité d'accès, au sensible, au particulier et à le placer au dessous de l'abstraction qui serait plus universelle, globale, plus subtile, et difficile d'accès. L'abstrait appartiendrait implicitement au monde des idées, et nous qualifions, comme par tradition, sans nous poser beaucoup de questions, les mathématiques d'abstraites, voire même de discipline la plus abstraite que l'on puisse trouver. Pourtant à y regarder d'un peu plus près, je ne suis pas sûr ques les choses soient aussi tranchées qu'il y parait. Afin de déterminer si les mathématiques sont concrètes ou abstraites, quelques citations peuvent nous aider à y voir plus clair. Laissons-nous transporter dans le voyage du concret, de l'abstrait et des mathématiques

Les triangles sont concrets...

Nous existons dans l'univers, nous sommes dans l'espace et dans le temps; cet homme, cet arbre, ce triangle sont concrets, présents, mais comme homme, arbre, triangle, sont des formes, qui sont reproduites par nos images mentales, nous pouvons les décomposer, voir comment elles sont faites, et par là même nous « voyons » que le triangle aura toujours telles propriétés, ...
RUYER, Esquisse d'une philos. de la structure.

Mais les universitaires ont le défaut d'être abstraits...

Pour moi, dit Augustin, j'ai dû y venir d'un point de vue abstrait, presque méthodologique. C'est un défaut d'universitaire. Ils ne voient des choses que leur idée platonicienne.
J. MALÈGUE, Augustin ou le Maître est là.

L'abstrait c'est l'étendue

Plus une idée a de simplicité, plus elle a de généralité; plus une idée est abstraite, plus elle a d'étendue. Nous débutons par le concret, et nous allons à l'abstrait nous débutons par le déterminé et le particulier pour aller au simple et au général.
V. COUSIN, Hist. de la philosophie du 18e siècle

le "un peu trop nombreux" !

Souvent je me retrouve triste, j'énumère des choses et mes dix doigts ne suffisent pas. Trop abstraites pour mes dix doigts.
Paavo Haaviko Le Palais d'hiver

le définitif

Les faits concrets ne satisfont pas notre esprit, qui aime l'aspect définitif des abstractions
CARREL, L'Homme, cet inconnu

L'intemporel

Il y a des sciences, comme les sciences abstraites, dont l'objet n'a rien de commun avec l'ordre chronologique des événements, et qui n'ont, par conséquent, aucun emprunt à faire à l'histoire, aucune donnée historique à accepter. Les théorèmes de géométrie, les règles du syllogisme, sont de tous les temps et de tous les lieux...

A. COURNOT, Essai sur les fondements de nos connaissances.

un stade de la pensée

Les variations quelconques des opinions humaines ne sauraient jamais devenir purement arbitraires, quoique je ne puisse démêler aucunement leur marche générale. (...) (Celle-ci) consiste (...) dans le passage nécessaire de toute conception théorique par trois états successifs : le premier théologique, ou fictif; le second métaphysique, ou abstrait; le troisième, positif, ou réel. Le premier est toujours provisoire, le second purement transitoire, et le troisième seul définitif. Ce dernier diffère surtout des deux autres par sa substitution caractéristique du relatif à l'absolu, quand l'étude des lois remplace enfin la recherche des causes.
A. COMTE, Catéchisme positiviste

le grand mystère

La géométrie, étude éthérée, se préoccupait de formes pures, de rapports, de structures abstraites, et non pas de vile matière. Elle poursuivait des idées désincarnées qui se prêtaient à la fois aux révélations les plus profondes et aux jeux les plus délicieux. L'énigme de l'univers se cachait dans la danse des nombres, dans les mouvements des corps célestes et dans les mélodies de la lyre d'Orphée. Adeptes des mystères orphiques en effet, les pythagoriciens avaient donné à ce culte un sens nouveau: le mystère ultime, pour eux, c'étaient les formes géométriques et les relations mathématiques, et la prière la plus belle, c'était l'ascèse de l'étude, la véritable purge orphique. Les dieux parlaient en chiffres.
Arthur Koestler Les call-girls

mais le langage, c'est la pensée qui devient abstraite

Bergson observe (...) que langage et pensée sont de nature contraire : celle-ci fugitive, personnelle, unique; celui-là fixe, commun, abstrait. D'où vient que la pensée, obligée en tout cas de passer par le langage qui l'exprime, s'y altère et devienne à son tour, sous la contrainte, impersonnelle, inerte et toute décolorée.
J. PAULHAN, Les Fleurs de Tarbes.

Les mathématiques sont abstraites... à condition que les nombres le soient.

La théorie de Locke ne peut (...) donner ni Dieu, ni le corps, ni le moi, ni leurs attributs : à cela près, j'accorde, si l'on veut, qu'elle peut donner tout le reste. Elle donne les mathématiques, direz-vous. Oui, je l'ai dit moi-même, et je le répète; elle donne les mathématiques, la géométrie et l'arithmétique en tant que sciences des rapports des grandeurs et des nombres; elle les donne, mais à une condition, c'est que vous considériez ces nombres et ces grandeurs comme des grandeurs et des nombres abstraits, n'impliquant pas l'existence. V. COUSIN, Hist. de la philosophie du 18e siècle


L'abstrait peut se transformer en concret...

Le concret c'est de l'abstrait rendu familier par l'usage.
Paul Langevin, La pensée et l'action

Concret qui peut lui-même s'imprégner de mathématiques

Dans le monde infinitésimal, rien ne s'énumère, tout s'agglomère. [...] Nous pénétrons dans une zone où le concret s'imprègne de mathématique et où l'indépendance formelle trouve une limitation.
Gaston Bachelard Études

Des mathématiques qui sont aussi abstraites que la musique

[...] la musique est aussi abstraite que les mathématiques : elle ne peut pas distinguer des catégories morales.
Guillermo Martinez  Mathématique du crime, trad. Eduardo Jiménez

Et si elles le sont vraiment, il faudra être très «  concret » pour les enseigner...

Plus abstraite est la vérité que tu dois enseigner, plus tu dois en sa faveur séduire les sens.
Fredrick Nietzsche. Par delà le Bien et le Mal

Un chat avec un citron vert sur la tête m’a posé par Ax+B=0 une drôle de question. Etant donné mon prénom, les Math(s) ne sont ni plus ni moins que ma problématique existentielle. Matheux, Matthieu ? Lettre ou ne pas l’être telle est l’équation… à plusieurs inconnues.

Or, on m’a toujours appris à ne pas développer(-couché) avec des inconnues. A l’école, j’étais polygone, plutôt bon sur tous les côtés et même en géométrie j’avais le compas dans l’oeil, mais en quatrième ce fut un virage à angle droit. J’ai commencé à voir les maths sous un angle plus obtus ou, si vous préférez, sous le prisme utilitaire du : “Et puis d’abord, à quoi ça sert ?”...

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Les équations n'explosent pas.

The Observer 1970

D'autres citations de Bertrand Russel : ICI

La plupart des mathématiciens, je l’ai dit tantôt, sont portés à se cantonner dans un cadre conceptuel, dans un "Univers" fixé une bonne fois pour toutes - celui, essentiellement, qu’ils ont trouvé "tout fait" au moment où ils ont fait leurs études. Ils sont comme les héritiers d’une grande et belle maison toute installée, avec ses salles de séjour et ses cuisines et ses ateliers, et sa batterie de cuisine et un outillage à tout venant, avec lequel il y a, ma foi, de quoi cuisiner et bricoler. Comment cette maison s’est construite progressivement, au cours des générations, et comment et pourquoi ont été conçus et façonnés tels outils (et pas d’autres. . . ), pourquoi les pièces sont agencées et aménagées de telle façon ici, et de telle autre là - voilà autant de questions que ces héritiers ne songeraient pas à se demander jamais. C’est ça "l’ Univers", le "donné" dans lequel il faut vivre, un point c’est tout ! Quelque chose qui paraît grand (et on est loin, le plus souvent, d’avoir fait le tour de toutes ses pièces), mais familier en même temps, et surtout : immuable. Quand ils s’affairent, c’est pour entretenir et embellir un patrimoine : réparer un meuble bancal, crépir une façade, affûter un outil, voire même parfois, pour les plus entreprenants, fabriquer à l’atelier, de toutes pièces, un meuble nouveau. Et il arrive, quand ils s’y mettent tout entier, que le meuble soit de toute beauté, et que la maison toute entière en paraisse embellie. Plus rarement encore, l’un d’eux songera à apporter quelque modification à un des outils de la réserve, ou même, sous la pression répétée et insistante des besoins, d’en imaginer et d’en fabriquer un nouveau. Ce faisant, c’est tout juste s’il ne se confondra pas en excuses, pour ce qu’il ressent comme une sorte d’enfreinte à la piété due à la tradition familiale, qu’il a l’impression de bousculer par une innovation insolite.

Dans la plupart des pièces de la maison, les fenêtres et les volets sont soigneusement clos - de peur sans doute que ne s’y engouffre un vent qui viendrait d’ailleurs. Et quand les beaux meubles nouveaux, l’un ici et l’autre là, sans compter la progéniture, commencent à encombrer des pièces devenues étroites et à envahir jusqu’aux couloirs, aucun de ces héritiers-là ne voudra se rendre compte que son Univers familier et douillet commence à se faire un peu étroit aux entournures. Plutôt que de se résoudre à un tel constat, les uns et les autres préféreront se faufiler et se coincer tant bien que mal, qui entre un buffet Louis XV et un fauteuil à bascule en rotin, qui entre un marmot morveux et un sarcophage égyptien, et tel autre enfin, en désespoir de cause, escaladera de son mieux un monceau hétéroclite et croulant de chaises et de bancs. . .

Le petit tableau que je viens de brosser n’est pas spécial au monde des mathématiciens. Il illustre des conditionnements invétérés et immémoriaux, qu’on rencontre dans tous les milieux et dans toutes les sphères de l’activité humaine, et ceci (pour autant que je sache) dans toutes les sociétés et à toutes les époques. J’ai eu occasion déjà d’y faire allusion, et je ne prétends nullement en être exempt moi-même. Comme le montrera mon témoignage, c’est le contraire qui est vrai. Il se trouve seulement qu’au niveau relativement limité d’une activité créatrice intellectuelle, j’ai été assez peu touché par ce conditionnement-là, qu’on pourrait appeler la "cécité culturelle" - l’incapacité de voir (et de se mouvoir) en dehors de l’ "Univers" fixé par la culture environnante.

Extrait de Récoltes et Semailles d'Alexandre Grothendieck

Après quinze jours passés près de Saint-Tropez, plus exactement à Gassin, petit village adorable, perché à flanc de montagne  qui domine le golfe de Saint-Tropez, me voici de retour à la maison. Durant le trajet qui mène de la Croix-Valmer aux iles de Port-Cros et de Porquerolles, j'ai pu longuement méditer sur les yatchs de luxe et les villas surplombant la mer. Un propriétaire a même construit un funiculaire pour relier son habitation à la grande bleue... et je me suis dit que ni les bateaux, ni les villas, ni les funiculaires n'auraient intérêt à hériter d'un propriétaire comme moi !

Alors je me suis replongé tranquillement dans mes lectures estivales, allongé sous le soleil et le mistral, badigeonné de crème  indice 40, ce qui m'a permis de passer totalement inaperçu parmi les touristes nouvellement arrivés !

Au programme, j'ai lu l'excellent livre de Frédéric Patras : "La pensée mathématique contemporaine" qui dresse son état des lieux en sept chapitres :
Le style en mathématiques
De Platon à Husserl
Des origines des mathématiques modernes
Axiomes et intuitions
Le courant structuraliste
Structures et catégories
Les demeures de la pensée
A la rencontre du réel

Frédéric Patras analyse avec beaucoup de finesse et de profondeur les apports de Bourbaki, tant en termes positifs que négatifs ainsi que leur incidence sur la difficile succession après cette période clé de la vie des mathématiques françaises. Il nous présente aussi l'oeuvre méconnue de 1000 pages d'Alexandre Grothendieck, Récoltes et Semailles, dont les 100 premières pages ont aussi fait l'objet d'une lecture attentive.

" Penser avec Grothendieck " quelques citations pdf : ICI

J'ai presque terminé " Le fabuleux destin de racine de 2 " par Benoit Rittaud qui nous transporte de 1900 avant notre ère grâce à la tablette babylonienne YBC 7289 sur laquelle on trouve la présence de ce nombre avec la précision étonnante de 7 décimales jusquaux calculs par ordinateurs les plus récents, soit en tout plus de 400 pages de voyage dans l'espace et dans le temps autour de ce nombre qui n'a pas à palir devant les succès médiatiques de Pi et du nombre d'or.

La vidéo de la conférence de Benoit Rittaud et de nombreuses ressources sont  disponibles sur le site:

Le Fabuleux destin de √2 .