constructions : Inclassables Mathématiques 2.0

06 février 2011

O est-il un Entier Naturel ?

La voie la plus simple pour répondre à la question est de dire que par définition 0 est ou n'est pas un entier naturel. En mathématiques, il est possible de poser la définition que l'on souhaite. Celle-ci se trouve marquée dans le marbre et interdit toute négociation possible. Considérons par exemple la construction de l'ensemble des entiers naturels de façon axiomatique. Le premier axiome dit que 0 appartient à cet ensemble. 0 sera ensuite défini comme le plus petit élément de cet ensemble par un axiome suivant.

L'ambiguité sur la présence du zéro dans l'ensemble des entiers naturels est abordée très clairement dans l'article de Wikipédia sur le sujet:

Au début :

En mathématiques, un entier naturel est un nombre positif (ou nul) permettant fondamentalement de dénombrer des objets comptant chacun pour un. Un tel nombre entier peut s'écrire avec une suite finie de chiffres en notation décimale positionnelle, sans signe et sans partie fractionnaire, c'est-à-dire sans chiffre « après la virgule ».

Les entiers naturels sont donc, outre zéro, ceux que l'on commence à énumérer avec la comptine numérique : un, deux, trois, quatre…

Au milieu :

Pour lever l'ambiguïté au sujet de la prise en compte de zéro comme entier naturel, l'ensemble est parfois noté « N₀ ». L'indice 1 dénote alors au contraire l'exclusion de zéro. Mais l'usage consacre plus souvent pour cette restriction l'ajout d'un astérisque en exposant.

N $= mathrm{I_{,}!!N} = mathbb{N} = mathbb{N}_0 = { 0, 1, 2, ldots }$

$mathbb{N}^* = mathbb{N}_1 = { 1, 2, ldots }$

Différentes notations pour l'ensemble des entiers, comprenant ou non zéro.

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...........

C'est encore plus flagrant dans l'article anglophone, qui juste après la présentation, aborde la question de l'histoire des nombres naturels et le statut du zéro.

Afin de mieux cerner où se situe l'ambiguité, il est nécesssaire de revisiter les notions de nombres cardinaux et de nombres ordinaux.

13:34 Publié dans Constructions, Culture Générale, Débats, Paradoxes, limitations,erreurs, Représentations, Vulgarisation | Lien permanent | Commentaires (0) | Tags : zéro, 0, naturel, nombre, entier, ensemble | | | Imprimer |

28 janvier 2011

La cycloïde, la chaînette et le cercle font leur film (de savon)

Il est assez de rare de trouver un traitement très "pédagogique" d'un sujet au sens noble du terme, c'est à dire permettant de l'éclairer sous des angles très différents, dont un très original et concret, tout en construisant son unité profonde.

Prenons ensemble l'optique, la dynamique, la statique, la géométrie, l'élasticité, le calcul différentiel et l'histoire des mathématiques. Prenons aussi trois courbes très connues, la cycloïde, la chaînette et le cercle. Il semble difficile de relier le tout en un ensemble cohérent et pourtant il suffit d'un peu de savon pour les regrouper!

Je vais tenter d'expliquer. En cas de dérapage et pour plus de détails, l'article original est ICI et il suffit de s'y référer.

L'histoire commence par la recherche de la brachistochrone, c'est à dire de la courbe de descente la plus rapide pour un point pesant. En 1697, Jacques Bernouilli pose ce problème. Newton, Leibniz, Jacques et son frère Jean Bernouilli s'y collèrent et proposèrent leur solution. Les deux frères (qui se haïssaient) y parvinrent et découvrirent que le profil cherché était une portion de cycloïde.

Un peu plus tard, ce problème peut être résolu grâce au calcul différentiel en recherchant le minimum d'une expression du type fonctionnelle qui a été étudiée par Euler et Lagrange.

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Prenons un peu de recul:

En fait l'idée c'est de penser à une bulle de savon. Il faut aussi avoir l'idée de planter deux piquets verticaux entre deux profils: l'un horizontal z=0 et l'autre z=1/√y. En plaçant un film de savon entre les piquets et les deux surfaces on devrait voir cela:

La trace laissée sur la surface horizontale est une cycloïde. Pour faire un peu plus scientifique on peut dire que la courbe qui minimise la surface de la bulle de savon ( oui la bulle de savon est fainéante, elle suivra toujours ce que l'on appelle une surface minimale) est la même que celle celle qui minimise le temps de parcours d'un point pesant.

Pourquoi me direz-vous? Tout simplement parce que le problème mathématique associé aux deux problèmes est similaire et donc la solution est de même nature.
Et pourquoi le problème mathématique est de même nature? Tout simplement parce que le profil z=1/√y a été bien choisi.

L'élasticité, est maintenant mariée à l'histoire des maths, au calcul des variations et à la dynamique.

On pourrait aussi s'imaginer qu'un rayon lumineux circule du point P1 au point P2 dans un milieu dont l'indice de réfraction serait proportionnel à 1/√y. La courbe suivie par le rayon lumineux serait identique à la courbe précédente: une cycloïde. Et voilà donc l'optique qui se mèle à la partie.

Supposons maintenant qu'une chaine soit tendue entre deux points dans un lieu où le potentiel de gravitation (très particulier, certes) serait proportionel à 1/√y . La courbe formée par le fil serait une cycloïde. La statique s'invite.

L'intérêt de ce dernier point est de retrouver le profil de la chaînette avec un film de savon en choisissant un profil de type z=ky. C'est la courbe qui minimise son énergie lorsqu'elle est soumise à la pesanteur.

Pour trouver le cercle, il suffit de changer le profil supérieur et le choisir tel que z=1/y. En reprenant les analogies précédentes, les trois courbes: la cycloïde, la chainette et le cercle se retrouvent ensemble dans le même "bain" (à bulles).

Voilà, c'est terminé et pour compléter quelques adresses suivent:

Autour de la cycloïde "Maths en Jean"

Complètement cycloïdique "Blog Sciences"

Courbe brachistochrone "Mathcurve"

Brachistochron Problem "Wolfram"

Courbe Brachistochrone "Wikipédia"

Solving the brachistochron and other variational problems with soap films "ArXiv"

Soap films help to solve mathematical problems

21 novembre 2010

Science is cool

Les jeunes américains nous montrent pourquoi la science est "cool"

http://www.bulletins-electroniques.com/actualites/65152.htm

Dans le cadre du premier USA Science & Engineering Festival [1] - équivalent de la Fête de la Science - qui s'est tenu à Washington, DC du 10 au 24 octobre dernier, la Kavli Foundation [2] et le site internet Scivee [3] organisaient un concours de vidéos. L'objectif pour les jeunes de la maternelle au lycée : montrer en un film de 90 secondes maximum pourquoi la science est cool. Les vidéos avaient comme but d'entrainer la curiosité des spectateurs et de leur donner envie d'en savoir plus sur la science.

La vidéo gagnante : Science is cool! Know your science (vidéo en anglais)

Les vainqueurs du concours, Chris et Celena Chambers habitent à Houston, Texas. Une bonne occasion d'aller les rencontrer pour leur demander pourquoi ils ont décidé de se lancer dans ce projet et ce qu'ils ont retiré de cette expérience.

Un contexte familial favorable

Celena et son frère Chris vivent avec leurs parents, Melanie et Demetri, dans une banlieue résidentielle du nord de Houston. Melanie a suivi une formation d'ingénieur à Rice University et après quelques années dans le domaine, elle s'est reconvertie dans l'enseignement des mathématiques. Demetri a été plutôt bercé dans les Humanités et exerce en tant qu'avocat.

Plus jeunes, Celena et Chris devaient mener des projets scientifiques pendant l'été. Même après que cela ne fut plus obligatoire pour eux, leurs parents ont décidé de continuer à leur trouver des projets. "Je veux qu'ils continuent à apprendre et à être stimulés.", raconte Melanie, "Mais pas comme en classe. De manière plus divertissante. Je pense qu'on peut dire que je trouve qu'ils ne font pas assez de sciences à l'école pour que je les motive à en faire plus." Chris a eu l'occasion par exemple de plancher sur des avions en papier. Trouver de nouveaux designs, tester leur efficacité. Mais attention, avec Melanie, l'excellence doit être de mise. "Je n'hésite pas à leur dire de tout refaire parfois. Lorsque l'on fait quelque chose, on le fait bien".

"Depuis qu'ils sont petits, toute situation, tout conflit entre eux s'est transformé en séance d'apprentissage", confie Demetri. Celena se rappelle alors les longues minutes pendant lesquelles elle devait expliquer en détail à son père les raisons d'une bêtise. "On leur a toujours parlé comme à des adultes. Lorsqu'on introduisait des nouveaux concepts pour eux, on les motivait à les comprendre jusqu'à ce qu'ils les maitrisent." Le but pour les parents : augmenter l'esprit critique et la créativité de leurs enfants. "Aujourd'hui, tout tourne autour des applications. Prenons l'Iphone. Les gens adorent utiliser les applications. Mais il faut stimuler plus le coté créatif" constate Melanie.

Le making of

C'est Melanie qui a entendu parler du concours sur internet. "Voilà une bonne idée pour un des projets pour cet été !". Après leur avoir présenté les règles, Chris et Celena ont tout fait par eux-mêmes. "J'ai immédiatement su que je voulais faire un clip musical", raconte Celena. "Chris peut écrire un poème sur n'importe quel sujet en 10 minutes. Il a fallu deux semaines pour le pousser à écrire le texte. Mais une fois qu'il s'y est mis, ça a été rapide.". Celena a ensuite travaillé sur la mise en musique et sur le refrain. Puis, ils ont enregistré la partie sonore.

Pas de problème pour filmer. Chris et Celena ont l'habitude de faire des vidéos pour s'amuser. Les laboratoires d'un lycée proche serviront de décors. "J'avais fait des recherches sur la manière de faire un clip musical, les différents plans, les différents effets", raconte Celena. Le tournage, le montage : beaucoup de travail, mais toujours divertissant. "La soumission devait être faite avant mi-juillet. On était un peu juste ! Heureusement, ils ont repoussé la date limite à fin août. Cela nous a permis de régler les derniers détails de la vidéo car elle durait 95 secondes !" Une fois postée, il a fallu attendre fin septembre. Celena et Chris ont alors su qu'ils étaient parmi les 10 finalistes. Début octobre, ils ont été contactés. Ils avaient été désignés vainqueurs et étaient invités à participer à l'expo qui se tenait sur le Mall à Washington, DC les 23 et 24 octobre pour recevoir leur récompense.

Une expérience enrichissante

Le voyage à Washington a enthousiasmé tout le monde. "Il y avait plein de choses à voir : des expériences et des présentations. Et vraiment beaucoup de monde !" Une prestation sur la vie de Marie Curie a particulièrement marqué la famille. Ce festival, une excellente initiative. "Plus tôt les enfants sont exposés à la science, plus facile c'est de les y intéresser ensuite. Le problème, c'est que souvent les enfants ne sont pas exposés" témoigne Melanie. Pour Celena et Chris, la route sur le chemin de la science est encore longue. Celena arrive bientôt à la fin du lycée. Pour l'université, elle a déjà une idée. "Je veux devenir ingénieur. Je voudrais aller étudier à Georgia Tech" confie-t-elle. Chris envisage lui de devenir psychiatre.

Pendant toute l'expérience, les retours ont été très positifs. "Ils ont passé la vidéo à l'école. On entendait les autres chanter le refrain dans les couloirs. Et plein de gens sont venus nous voir au sujet de cette vidéo." Même de France ! Ce qui donne des idées à Melanie pour les vacances de Noël. "Ils apprennent l'espagnol à l'école, on pensait faire une version espagnole de la vidéo. On va peut être leur demander de faire une version française !" Chris et Celena ne semblaient pas si enthousiastes...

- [1] Le site internet de l'USA Science and Engineering Festival : http://www.usasciencefestival.org/
- [2] The Kavli Foundation est une fondation dédiée à l'avancement des sciences pour le bénéfice de l'humanité et à l'amélioration de la compréhension des sciences par les citoyens : http://www.kavlifoundation.org/
- [3] Le site internet Scivee a été fondé en 2007 comme une plateforme permettant d'enrichir la publication de travaux de recherche et de faciliter les collaborations entre chercheurs. Aujourd'hui diversifiée, le but de la plateforme est de rendre la science plus visible : http://www.scivee.tv/

15 novembre 2010

Algèbre (très) précoce

Comment faire développer l'expression 2(x+1), faire résoudre des équations du type x²=9, ou même (x+1)²=4 à de très jeunes enfants?

C'est impressionnant.

Le blog de Crewton Ramon

09 novembre 2010

Les édifices les plus mathématiques du monde

En visitant un site américain, l'idée m'est venue de dresser la liste des édifices les plus mathématiques du monde.

Cette note sera augmentée, au fur et à mesure que vous lecteurs, donnerez des idées pour la compléter, tant en ce qui concerne les mathématiques que les constructions architecturales proprement dites.Vous pouvez aussi critiquer le choix qui est fait.

La numérotation qui suit n'est pas un classement.

1) La grande pyramide, Giseh

Photo: Michel@