Inclassables Mathématiques 2.0

Je remarque à chaque début d'année, la  difficulté d'élèves concernant leurs apprentissages mais aussi la mienne pour les aider. Je dirai même que malgré l'hypertrophie communicationnelle des cours, il est difficile de remédier facilement à des situations individuelles, d'engager et d'orienter l'élève dans une dynamique de changement. Pire, on se croirait parfois presque au pays de Lewis Carroll, dans lequel l'incommunicabilité est la règle. Un mot et l'élève se recroqueville, deux mots il acquiesce sans tenir et trois il décroche du discours comme une goutte d'huile glissant sur le verre.

Alors comment établir une communication positive, échanger de l'information, aider l'élève en dehors de la classe dans ses apprentissages, le motiver, l'aider à se comprendre? Et cela dans un temps très contraint par les exigences scolaires.

J'ai commencé par travailller sur les compétences mais j'ai vite buté sur l'impossible transmission exhaustive de l'information et surtout sur le difficile retour de la part des élèves durant les cours. Alors j'ai développé un concept beaucoup plus simple autour d'un jeu de cartes.

Initialement vierges, j'ai complété les cartes de façon manuscrite avec les termes suivants:

• Persévérer
• Se lancer des défis
• Se réguler
• Se motiver
• Avoir le sentiment d’être efficace
• Avoir une bonne estime de soi
• Eviter d’éviter
• Gérer l’anxiété
• Eliminer les distractions
• S’organiser
• Se questionner
• Se fixer des buts intermédiaires
• Se concentrer
• S’évaluer correctement
• Questionner
• S’engager
• Ma force
• Ma faiblesse 

Les règles du jeu sont assez simples. Voici le texte que j'ai rédigé et que je place dans l'enveloppe contenant les cartes distribuées. 

1. Vous êtes en possession de cartes. Deux d’entre elles sont à compléter.
2. Vous devez me rendre (dans l’enveloppe à votre prénom ou de la main à la main), les cartes qui ne vous concernent plus, c’est-à-dire celles dont vous pensez que vous possédez la capacité durable de conduire l’action qui y est mentionnée.
3. Par exemple si vous me rendez la carte « Eviter d’éviter », c’est que vous ne faites pas ou ne faites plus appel aux stratégies d’évitement, que vous affrontez les situations scolaires qui se présentent à vous, et cela de façon durable.
4. Toute carte rendue l’est de façon définitive. Impossible de revenir en arrière, c’est-à-dire qu’il faut être certain que vous possédez réellement la compétence qui est mentionnée de façon définitive (jusqu’à la fin de l’année scolaire).
5. Vous pouvez illustrer et annoter les cartes que vous me rendez. C’est une possibilité, pas une obligation.
6. Vous pouvez me rendre les cartes de façon confidentielle dans l’enveloppe jointe à votre prénom - je vous en redonnerai une - ou de la main à la main.
7. Ce jeu est sans témoin et confidentiel, c’est-à-dire que personne d’autre que nous n’aura accès aux informations qui en ressortiront.
8. Si vous gardez des cartes jusqu’à la fin de l’année, je vous demanderai néanmoins de me les restituer le dernier jour de classe.
9. Vous pouvez me rendre les cartes à votre rythme, le tout étant que cela corresponde vraiment à la réalité.
10. Vous pouvez joindre un écrit aux cartes rendues pour vous exprimer.

L'idée sous-jacente est assez simple: 
Les cartes rendues constituent une description de l'élève qui m'autorise de le définir ainsi. Les cartes restant en sa possession sont une invitation à poursuivre le travail de réflexion , de transformation et d'évolution. 

J'avais déjà parlé sur ce blog de l'excellent logiciel Casyopée développé par JB Lagrange et son équipe de l'IREM de Rennes. ce logiciel est un environnement d'apprentissage des fonctions et de la modélisation qui peut être utilisé à tous les niveaux du lycée, aussi bien pour un travail d'approche, de remédiation ou d'approfondissement comme son nom l'indique parfaitement d'ailleurs:

Casyopée =  Calcul symbolique offrant des possibilités à l'élève et l'enseignant 

Il est dorénavant possible de s'incrire à la newsletter permettant de se tenir informé des évolutions et du travail de l'équipe. Le site propose aussi des mini-sites présentant des activités possibles ainsi que des documents d'accompagnement. Des vidéos de présentation du logiciel agrémentent l'ensemble.

Je ne sais pas si je m'approche d'un but ou si je m'égare mais je continue...

Je viens de réaliser une carte de l'apprentissage dynamique ainsi qu'un court texte explicatif pour en faciliter l'interprétation. Il est à lire avec le travail que j'ai déjà réalisé sur les logos et la présentation des processus d'apprentissage simultanément à la présentation des contenus.

Je poursuis l'expérimentation de mes logos permettant de faciliter l'apprentissage des élèves. Je rencontre toujours une forte adhésion de la part de mes élèves de lycée général.

Je suis passé à la version magnétique afin de les positionner sur un tableau qui le permet. Ce fut aussi un réel succès puisque les élèves m'ont dit qu'ils leur attiraient l'oeil et donc qu'ils les incitaient à mieux et plus regarder le tableau (alors que ce  n'était pas l'objectif que je visais initialement). Ils ont ensuite positionné d'eux-mêmes ces logos en suggérant des emplacements possibles lors du déroulement du cours. Certains d'entre eux ont même émis des idées concernant leur modification  et en ont imaginé d'autres, suite à des remarques constantes que je fais régulièrement en s'exclamant "Il faudrait faire un logo pour cela". Ils m'ont aussi deemndé de déposé le brevet, mais là je crois que c'est impossible car on ne dépose pas une idée, d'autant plus que je suis persuadé que le coté (faussement) artisanal et manuel est essentiel car il permet de coller à la personnalité et aux objectifs de l'enseignant qui les utilise.

Je vous propose quelques uns d'entre eux, majestueusement accrochés à la porte de mon placard. Ce principe est sans doute adaptable à d'autres disciplines, à d'autres niveaux mais dans ce cas, il faut impérativement rédéfinir chacun d'entre eux.

En partant du haut:

Première colonne:

Oh!

La soucoupe volante (idée de Cécile). Il indique qu'il existe certainement une planète lointaine sur laquelle le calcul que je vois est vrai mais ce n'est pas le cas sur terre et je ne citerai pas d'exemples précis pour ne pas froisser nos chers politiques.

La confrontation à la réalité ( Non 1/0.0001 n'est pas un nombre proche de 0). Le logo représente une montagne avec un point d'interrogation.

Les "Attention"

Re Oh!

Et le "M" de Méthode

Deuxième colonne:

Le "A" de Automatisme

Le retrécissement de voie pour plus de rigueur

Les ballons pour les indices de récupération et les moyens mnémotechniques

La fléche pour poursuivre

Le trident pour réaliser un choix ou explorer toutes les pistes à l'endroit indiqué.

Troisième colonne:

Stop pour arréter un calcul ou une explication

La chaîne pour le lien non trivial entre différents éléments

A et Attention

"Magie" pour un résultat parachuté sans ou avec trop peu d'explication

Ceci est loin d'être une liste exhaustive. Un élève de 4ème vient d'ailleurs de me demander de créer un logo "Tri", car il s'aperçoit qu'il rencontre de plus en plus de problèmes de tri de méthodes, la première utilisée n'étant pas toujours la bonne. La bonne arrivant parfois en deuxième ou troisième position. Si vous avez des idées pour le représenter, je suis preneur car à part le crible bien délicat à dessiner je ne vois pas.

Plus sur les logos et leur processus de création.

J'aime beaucoup faire modéliser cette situation aux élèves qui éprouvent déjà d'énormes difficultés pour créer un losange "articulé" sur GeoGebra si l'on ne leur donne aucune indication, non pas sur le fonctionnement du logiciel, qu'ils connaissent pour la plupart, mais sur la façon de s'y prendre, de concevoir le  versant "dynamique". La démonstration manuelle en devient presque une libération lorsque l'on revient sur un chemin difficile mais mieux balisé.

J'ai traité cet exercice avec le logiciel Casyopée qui m'impressionne. Les résultats algébriques sont découverts au fur et à mesure de l'avancée de l'exercice. Le logiciel permet de plus de réinvestir des stratégies de base. Il peut y avoir pour ce type de recherche une disparition presque complète de l'énoncé, l'élève arrivant à des résultats qu'il pourra (devra?) démontrer ultérieurement. Je vous laisse juge en parcourant l'animation suivante que vous pourrez retrouver directement dans votre navigateur ICI.

Casyopée est un logiciel qui termine son développement et qui dispose dès maintenant d'une version stable. Il utilise le logiciel Maxima pour le noyau de calcul formel et offre parfois des menus qui ne sont pas très éloignés de ceux de GeoGebra. Il  a été conçu et créé par une petite équipe dont la base est constituée de trois personnes:

• Jean-baptiste Lagrange, enseignant-chercheur à l’Université de Reims, membre du LDAR (Laboratoire de Didactique André Revuz, Université Paris Diderot),

• Bernard Le Feuvre, professeur au lycée Cassin de Montfort (Ille et Vilaine),

• Xavier Meyrier, professeur au lycée Maupertuis de Saint Malo (Ille et Vilaine).

Le logiciel est libre et gratuit et pour se rendre compte des possibilités incroyables qu'il offre, il suffit de suivre l'excellent tutoriel pas à pas. Un wiki dispose déjà de quelques activités préparées pour les élèves.

Je présente ici deux brèves vidéos non exhaustives de présentation des possibilités du logiciel:

On pourra les visualiser directement dans le navigateur ICI et ICI.

Calcul formel et bloc-notes:

Géométrie, fonctions, étude de signe et de variation:

Pour compléter:

Casyopée conviviable sur SésaBlog

Question d'Aurélien...

Bonjour, pour l'exo 83p137, pour la dérivée de la fonction g, je trouve:
(-2x²+4x)/((x²+1)²) or sur calculette, le signe de g' et les variations de g ne sont pas cohérente et je ne vois pas mon erreur. HELP!

Ma réponse:

Tu as dû faire une erreur de dérivation:
http://bit.ly/gRMM4d
http://bit.ly/eU1nTJ

WolframAlpha permet dorénavant d'éditer les images. On peut aussi les utiliser dans les réponses ou dans un billet de blog:

La fonction :

La courbe :

etc...

La qualité est certainement à améliorer mais c'est un début prometteur.

A noter: en passant la souris sur log(x) is natural logarithm, trois liens apparaissent: definition, properties et documentation.

De plus les pages générées par WolframAlpha peuvent être partagées directement sur Twitter ou sur Facebook. Un lien raccourci est automatiquement généré par le site, comme le montre l'image suivante:

Il me semble que les processus d'apprentissage sont aux  compétences (processus dynamiques) ce que le socle commun est aux connaissances (stock).

Dans toute transmission il y a un émetteur et un récepteur et du point de vue du récepteur, il y a une intériorité et une extériorité, une origine et un objectif.

Les processus d'apprentissages et le socle commun sont associés à l'intériorité individuelle, à l'origine, au départ. Ils constituent une transformation personnelle interne. Il n'y aurait pas, pour le système scolaire, de négociation possible sur le niveau d'intériorisation des éléments du socle sous-entendu que les élèves auraient été informés et entrainés aux processus d'apprentissage accompagnant ce niveau minimal d'acquisition demandé. Il me semble que cette exigence minimale doit aller de pair avec l'enseignement des moyens d'y parvenir. Or énoncer un contenu ou demander une compétence ne dit rien sur la façon dont ceux-ci se mémorisent ou s'intériorisent par l'élève, sur les processus qui accompagnent leur fixation interne. Or celle-ci n'est jamais enseignée ou presque.  C'est toujours le concept disciplinaire (même s'il est interdisciplinaire) qui est expliqué, ressassé, et en fait demandé.  Rien ou très peu n'est dit sur la manière dont celui-ci s'intériorise.

De l'autre coté, la demande d'une restitution ouverte se projette en évaluation de connaissances ou  de compétences acquises dans un champ donné. Il s'agit d'un objectif, qu'il soit statique ou dynamique. Si l'évaluation par compétences peut s'avérer plus positive que l'évaluation de connaissances, c'est que bien souvent celles-ci sont nommées ou choisies pour qu'il en soit ainsi. Demander à un élève une factorisation simple ou d'avoir la compétence de factoriser sont isomorphes, par contre demander à un élève une factorisation difficile et avoir la compétence de factoriser ne le sont plus. Si l'on veut l'isomorphie il faut ajouter à la mesure de la compétence, l'impératif de la réaliser dans un champ technique délicat.

On voit  que dans l'évaluation des connaissances ou des compétences, la mesure se fait à postériori, à la fin et en externalité pour en fait conclure le plus souvent sur l'état intérieur de l'élève. Or l'effet mesuré n'est pas nécessairement corrélé à la cause et toute mesure positive externe est le témoin d'une absence de perturbation entre le l'état intérieur et sa restitution et non celui d'une présence d'activité cognitive adaptée. Il est de plus assez étrange que ces présupposés implicites d'activité cognitive interne ne fassent pas eux aussi l'objet d'un enseignement à moins que ceux-ci ne soient pas vraiment connus du système lui-même qui fait pourtant sans cesse appel à eux. Paradoxalement, l'enseignant est celui qui a eu le moins à réfléchir sur la question tout en étant le seul qui puisse y répondre! Il a en effet rencontré assez peu de freins sur le chemin de son apprentissage et n'a pas eu nécesairement besoin de leur explicitation pour assurer sa réussite.

Le système scolaire, lorsqu'il parle d'échec, ne mesure-t-il pas l'absence ou le faible niveau de  processus d'apprentissages individuels au lieu de mesurer la présence réelle de stratégies d'apprentissages? En d'autres termes, le bon élève n'est-il pas celui qui répond positivement à l'injonction scolaire sans pour cela nécessairement comprendre comment est-ce que cela se passe en lui, et le mauvais élève n'est-il pas celui qui ne parvient pas à répondre positivement sans qu'on lui ai vraiment enseigné les stratégies d'apprentissages qui lui permettent d'intérioriser facilement la demande extérieure. Et pour poursuivre sur la même ligne, l'échec n'est-il pas une mesure de l'abandon par  fatigue (au sens mécanique) et par absence d'enseignement de processus d'apprentissages et la réussite scolaire n'est-elle pas une simple mesure de l'adaptation à un environnement ou les implicites d'apprentissages ne sont pas enseignés?

En ce sens ne devient-il pas nécessaire d'enseigner les processus d'apprentissage en même temps que les contenus?

La page "Apprendre à apprendre" définit le sens des logos.

les fonctions dérivées