Un défi essentiel pour l'éducation est donc de prendre en compte la manière dont les gens réussissent à contourner tout besoin d'encodage formel des situations en se fiant à ce que leur disent leurs catégories familières, construites pendant des années d'interactions quotidiennes avec le monde qui les entoure. Si tout enseignant a parfaitement conscience que l'"habillage" d'un énoncé peut modifier profondément sa difficulté, le défi de faire de l'habillage un levier d'apprentissage doit encore être relevé. L'enjeu est de taille, et le défi loin d'être simple.

Cette citation est extraite de l'excellent livre L'Analogie Coeur de la pensée de Douglas Hofstadter et d'Emmanuel Sander.

Elle conclut en page 523, un paragraphe qui aborde l'énoncé de deux problèmes dont les opérations et le résultat sont identiques. Seulement le premier est résolu par presque tout le monde avec trois opérations, alors que le second en appelle généralement une seule. Les auteurs y voient une différence d'encodage de la situation qui aboutit in fine à une différence sensible de traitement.

Testez par vous-même en résolvant les deux problèmes suivants:

Premier problème:

Laurent achète une trousse à 7 € et un classeur. Il paie 15 €. Jean achète un classeur et une équerre. Il paie 3 € de moins que Laurent. Combien coûte l'équerre?

Second problème:

Laurence a suivi des cours de danse pendant 7 ans et s'est arrêtée à 15 ans. Jeanne a commencé au même âge que Laurence et s'est arrêtée 3 ans plus tôt. Combien de temps Jeanne a-t-elle suivi ses cours de danse?

 

Le schéma pour le problème des achats est naturellement associé à un diagramme de Venn. Il incite à calculer le prix du classeur, achat commun aux deux, avant de répondre à la question posée.

Le schéma pour le problème de la danse est plutôt un axe temporel dont l'origine serait la date de début des cours. Il suffit donc de s'imaginer la différence des durées des deux cours pour répondre à la question.

La structure commune serait celle de deux rectangles de même base (correspondant à l'origine des prix ou des âges), superposés et de hauteurs différentes, dont une partie serait commune (le prix du classeur ou l'âge auquel Jeanne (et Laurence) ont commencé à faire de la danse. 

Les deux problèmes peuvent être résolus avec la même opération 7-3. Il est donc faux de penser que la difficulté d'un problème est celle de la difficulté du calcul qu'il mobilise. Elle est en partie due à l'encodage de la situation qui impacte directement sur la résolution du problème.

Depuis de nombreuses années que j'alimente ce blog, j'ai mené quelques combats. En fait deux principaux.

Je me suis alarmé, un peu tout seul au début (2007) qu'il n'y ait aucune production d'actualités mathématiques francophones. Ce combat est en partie gagné!. Le site Images des mathématiques est né, une excellente initiative d'une qualité exceptionnelle, mais qui reste encore, de mon point de vue, une production académique, destinée à vulgariser "proprement" la discipline, plus qu'à animer la toile avec l'univers mathématique, sa découverte, ses activités, des challenges, des concours, des cadeaux, du buzz, des vidéos... ce que visiblement les anglophones savent mieux faire que nous. Mais je ne doute pas que nous ayons les ressorts et les talents en France pour passer de la production institutionnelle à une vraie dynamique d'animation tournée vers la jeunesse et même toute la population.

Le second combat que j'ai mené, là encore un peu seul (ce n'est pas une critique, mais plus le constat d'un manque de combattants!), était contre l'image des mathématiques véhiculée par les médias. Ne parlons pas de la télévision. En ce qui concerne la radio, seule France Culture semble être en mesure de concevoir une émission dont le thème exclusif est "la mathématique" pour reprendre l'expression de C. Villani.

Mais je me suis surtout plaint de l'accueil réservé aux mathématiques et en particulier à leur enseignement qui serait  responsable d'à peu près tous les maux...  En figure de proue de ce combat médiatique, je retrouvais bien souvent en face de moi, le même quotidien: Le monde.

Comme en témoigne ce billet, Les maths expliquées par le Monde ou celui-ci.

La donne semble aujourd'hui avoir changé! Le Monde aime les maths! Est-ce l'effet Hollande ou Villani ? Vous pouvez donner votre avis sur la question de ce changement de paradigme journalistique... le renversement conceptuel s'est opéré "le Monde" est devenu mathématique, et voilà même que les défis mathématiques du Monde innondent mon Google Actualités, présentés par, vous n'allez pas me croire... un prof de prépa scientifique: Jean-Hervé Cohen.

Alors surfons sur la vague tant qu'elle nous porte.

C'est en quelque sorte la problématique du billet précédent qui se trouve rattrapée par celle qui va suivre: l'histoire du coefficient multiplicateur...

Citons l'introduction du rapport:

This paper investigates the  relation between growth forecast errors and planned fiscal consolidation during the crisis. We find that, in advanced economies, stronger planned fiscal consolidation has been associated with lower growth than expected, with the relation being particularly strong, both statistically and economically, early in the crisis. A natural interpretation is that fiscal multipliers were substantially higher than implicitly assumed by forecasters. The weaker relation in more recent years may reflect in part learning by forecasters and in part smaller multipliers than in the early years of the crisis. 

Tous les problèmes ne viennent peut-être pas de là mais enfin ç'est génant!

 "Aucun économiste digne de ce nom ne peut prétendre à ce que le modèle d'équilibre général d'ARROW-DEBREU  ne soit pas définitivement mort et enterré ! "

Voici ce qu'ose écrire l'universitaire Bernard MARIS dans son livre-pamphlet "Lettre ouverte aux gourous de l'économie qui nous prennent pour des imbéciles"
 Cet avis est partagé par de  nombreux collègues dont :
- Bernard GUERRIEN, docteur en maths et en économie, universitaire  spécialiste de ce modèle et mon ex-collègue à l'université Paris 1 ; il est l'auteur d'un long article à ce sujet, publié par la revue de renom "La recherche" dont la conclusion est claire : ce modèle est totalement folklorique, une coquille vide, un cadre vide.
- Jacques ATTALI, polytechnicien et énarque, qui insiste aussi sur l'apport négligeable de ce modèle.

Mais de quoi s'agit-il ?
Un modèle dynamique d'évolution des prix sur les marchés, en présence d'un commissaire-priseur, en situation de libre concurrence, avec convergence vers un équilibre général.
L'hypothèse la plus  irréaliste : les agents économiques connaissent, à un instant donné,  les prix de tous les biens, présents et FUTURS  !
Quand on sait que près de la moitié des biens qui  seront en vente  dans une dizaine d'années, n'existent pas encore maintenant,
alors on imagine mal comment connaître leur prix aujourd'hui!
J'ai même assisté à une soutenance de thèse, en prolongation de ce modèle, où les agents économiques avaient une durée de vie infinie ...

Suite au prix Nobel accordé à Gérard DEBREU, ex-normalien français naturalisé américain, et à son colauréat américain ARROW,
ce modèle a bénéficié d'une certaine vogue; mais les journalistes ont rapporté qu'à la sortie de la séance Nobel, ARROW a eu le courage et l'honnêteté de leur dire:
" Peut-être aurions-nous mérité davantage un prix en maths  en raison de la virtuosité de nos calculs, plutôt qu'un prix en économie car nos hypothèses de base sont irréalistes"
L'équipe de recherche CERMSEM de mon UFR de maths de Paris 1 avait réussi à intégrer DEBREU lui-même dans ses rangs jusqu'en 2004, année de son décès;
j'en ai profité pour lui demander ses réactions suite à ces critiques virulentes.
Il s'est contenté de répondre:"Ah, ces gens ne nous aiment pas " ! Un peu court !
Dommage d'aiguiller les étudiants dans une impasse; il semble d'ailleurs que le CERMSEM se soit réorienté vers les maths financières (moi, j'ai quitté Paris1 fin 2001, suite à mon départ à la retraite).

KOSMANEK Edith
Docteure en maths
Titulaire à la Sorbonne de 1969 à 2001
http://kosmosya.xooit.fr/index.php 

J'ai créé une variable personnelle en coefficientant les niveaux de motivation, de performance, d'investissement, de stress et de gestion du stress estimés par 40 de mes élèves.  Chaque élève est représenté par un point dont les coordonnées sont cette variable en abscisse et leur niveau de maths en ordonnée. Je règle les paramètres pour minimiser l'écart à l'ajustement polynomial du second degré du nuage de points. Cette fonction possède un maximum très visible. Je ne sais pas si cela a un sens. Si quelqu'un peut m'aider...

Avec 52 points et une fonction du troisième degré (aucun point rejeté), l'horizontale est à 10: