Cédric Villani Les 7 Ingrédients des idées d'Innovation from MARC GIGET on Vimeo.

Le sens de la publication que j'ai faite sur Mathematice allait dans ce sens. Les TICE ne peuvent pas se réduire à l'utilisation de logiciels en classe mais représentent une catégorie beaucoup plus vaste dans laquelle la communication en est le coeur. 

La communication dont il est question ici est celle qui émerge de la nouvelle forme prise par les applications disponibles en ligne (réseaux sociaux, applications web2, fora, chat, sites de dépots et de partage,...) mais aussi de la numérisation des supports de communication permettant d'embarquer des "objets numériques" que seul le papier ne permet pas.

Il est clair que de ces deux phénomènes additionnés vont vite faire émerger l'insuffisance de la communication écrite et orale, thème que je tente d'aborder sur ce blog, via l'utilisation des technologies numériques dans l'enseignement,  depuis 7 ans maintenant.

L'enquête PROFETIC (synthèse) menée auprès de 6000 professeurs confirme ce point de vue à travers de ce qui pour l'instant est caractérisé "d'utilisations marginales" mais qui relèveront dans un avenir plus ou moins proche, d'usages "normaux".

La communication apparait dans 5 propositions suivantes sur 8. Même si moins d'un enseignant sur 4 utilise les TICE pour évaluer, communiquer et donner des devoirs, la pratique tend à se répandre! CQFD.

Il semble qu'aujourd'hui le nombre 2 soit considéré comme le plus petit nombre premier. Mais cela n'a pas toujours été le cas. Il y a eu des temps et des mathématiciens, jusqu'à une période récente, pour lesquels les nombres 1 et 3 étaient une réponses acceptable.

Il est possible de dire que la problématique du plus petit nombre premier a été tranché lorsqu'ils ont été liés à l'unicité de la factorisation des nombres. Cette unicité est apportée par l'insertion des deux symboles "1<" dans le théorème suivant:

Pour chaque entier naturel n, il existe une unique factorisation
                                 
où les exposants a_i  sont des entiers positifs et 1<p₁<p₂<…<p_k  sont des nombres premiers.

Mais avant cela, pendant plus de deux millénaires, la liste des nombres premiers ne commençait pas toujours par 2.

Lorsque 1 n'était pas considéré comme un nombre, il était légitime que 2 soit le premier nombre nombre premier (Euclide).... sauf dans le cas où l'ensemble des nombres premiers était considéré comme un sous-ensemble des nombres impairs (Martianus Capella)- vers 420) mais cela ne l'était plus lorsque 1 devenait un nombre au même titre que les autres, puisqu'il était possible de l'utiliser dans les opérations arithmétiques et pour mesurer (Stevin - 1585).

Sans réflexion approfondie sur la primalité du nombre 1, une longue période de confusion allait naître.

On trouve par exemple dans cette lettre de Goldbach à Euler, l'écriture des entiers comme somme de nombres premiers, dont 1.

Gauss ne donna pas de définition explicite des nombres premiers mais participa à considérer la factorisation comme un élément central.

Cependant, après Gauss, de nombreux mathématiciens continuèrent à placer le nombre 1 dans la liste des nombres premiers et donc à la considérer comme le plus petit d'entre eux. On trouvera des noms célèbres tels que Legendre (1853), Weierstrass, Klein, Kronecker, Chebychev, Landau (1909). 

On peut se demander quel fut le dernier mathématicien à placer 1 dans la liste des nombres premiers.  

Et le gagnant n'est pas tout à fait "inconnu" et c'est en 1933 lors de la sixième version de " A course of Pure Mathematics" que l'on voit apparaître pour la dernière fois le nombre 1 comme plus petit nombre premier.

Dans la septième édition en 1938, le texte est modifié et la liste des nombres premiers commence par 2.

Source:  What is the smallest prime? Arxiv Caldwell et Xiong

L'objectif de ce billet est double. Il s'agit d'une part de fixer une discipline rédactionnelle concernant la forme que devront prendre les prochains articles de ce blog puis de réfléchir sur deux approches des TICE, l'une que l'on pourrait qualifier d'analytique, qui serait celle dans laquelle les TICE étant donnés ont effectue leur dissection pour y trouver du sens et l'autre synthétique, dans laquelle il s'agirait de construire un sens à partir de morceaux épars et d'un raisonnement logique.

1. Etat des lieux

2245 notes dans ce blog. C'est trop. C'est beaucoup trop. Je sais. Mais à l'origine ce blog relevait plus du bloc-notes que du blog et puis je ne connaissais pas Delicious, Diigo, Evernote, alors j'épinglais, j'attachais, je partageais... manuellement avec bien sûr au milieu quelques réflexions personnelles, quelques réponses, des traductions d'articles scientifiques, des tentatives sur la forme et le fond, du partage de pratiques. Je recherchais des contenus originaux, qui peut-être n'intéressaient que moi mais c'était déjà ça. Je découvrais des articles et des pages web passionnantes sur Gödel, l'histoire des maths, les fractales, la philosophie. Ensuite je me suis tourné vers les actualités, les réflexions pédagogiques et même philosophiques (si on peut les qualifier de philosophiques). Ensuite est venu la découverte de l'écriture des maths sur un support numérique, l'insertion d'applets mathématiques. Puis est venu le temps d'une utilisation presque industrielle des TICE, une espèce de volonté de faire du "tout numérique". Le partage de pratiques a aussi été au centre de ce blog durant ces deux dernières années, délaissant certainement les maths, même si elles n'ont jamais été d'un niveau très élevé sur ce blog, mais telle a toujours été ma volonté.  

Et un jour sont apparus les réseaux sociaux qui gonflèrent et qui gonflèrent la quantité d'informations, le temps de lecture souvent fractionné entre les twits courts et ceux disposant d'un hyperlien pouvant cacher à lui seul un univers inconnu, un billet qui ne se lit pas seulement en passant, entre deux et qui demande réflexion, d'être relu et d'être muri. Facebook n'est pas le plus long à lire mais il faut quant même cliquer, faire défiler et répondre à quelques statuts. Spectateur c'est bien mais c'est incomplet alors il faut aussi être acteur et partager, diffuser, faire passer de l'information... Et produire du flux. Ou  stock, oui mais quand? Avec quelle énergie? Et puis pour répéter ce que d'autres ont déjà dit? Mieux que moi? Et qui va lire? Des lecteurs déjà épuisé de tant en lire, de ne pas avoir le temps, d'avoir les yeux fatigués? Et qui recherchent plus de détente que de sérieux? Alors effectivement cela amène à réfléchir sur la lassitude rencontrée, sur la pertinence des publications, sur la réputation écornée à publier du rapide, de l'incomplet, du "en chemin", du "à réfléchir"... Alors je continue, patiemment mon chemin sur la forme et le fond numérique, à visage découvert, quite à égratigner ma e-réputation, qui j'en suis conscient n'est pas d'un diamètre tel que quelconque s'en souciera vraiment. Je prends donc des risques très mesurés... Au sens propre. Je vais poursuivre en  adoptant une nouvelle forme pour construire mes billets.

2. A fond la forme

C'est bien d'imposer à mes élèves une charte pour publier un article numérique mais "Charité ordonnée commence par soi même" - je ne trouve plus le dicton mais ce n'est pas celui-ci. Je vais donc reprendre les contraintes que j'ai fixées aux autres et en ajouter d'autres pour moi. Le tout ne devra cependant pas être trop strict, car sinon, je me connais, je vais me lasser. Alors listons ensemble:

• - Pas de copier/coller sauvage, et nécessité de citer mes sources (ça c'est ce que j'ai toujours fait!).
• - Un bandeau de présentation du billet en gras (tiens j'y avais pensé pour les autres mais pas pour moi).
• - La présence, au moins un fois d'un rapport aux mathématiques par un nombre, un concept, leur histoire (le nom du blog oblige son rédacteur...).
• - La présence d'au moins deux des éléments suivants: 
  une image ou vidéo ou podcast ou/et une citation ou/et un hyperlien externe vers un blog ou/et d'un contenu artistique ou/et d'un twit ( simple? Je ne suis pas certain que cela le soit tant que ça pour chaque billet).

Je devrai donc normalement me plier à cet usage sur ce blog. 

3. Analyse ou synthèse TICE?

Le blog de Bruno Devauchelle s'appelle Veille et Analyse TICE. Je l'ai parcouru en entier avec la requête "analyse" mais je n'y ai trouvé aucune présence de la démarche analytique. J'imagine ce qu'elle doit être. Une fois l'objet TICE identifié, globalement défini et circonscrit comme par exemple avec la définition tirée de Wikipédia, 

"Les TICE regroupent un ensemble d’outils conçus et utilisés pour produire, traiter, entreposer, échanger, classer, retrouver et lire des documents numériques à des fins d'enseignement et d'apprentissage."

il est possible d'effectuer une "analyse".

Dans son Nouveau  dictionnaire de pédagogie et d'instruction primaire, Ferdinand Buisson présente en 1911, la méthode analyique, certes liée à l'enseignement et donc à l'élève, ce qui n'est pas totalement notre propos ici , mais qui permet d'approcher l'idée:

L'une (je note: la méthode analytique) remonte pas à pas, comme l'esprit humain l'a dû faire, de ce qui se voit à ce qui ne se voit pas, du tout confus aux parties distinctes, des conséquences aux principes, des faits aux idées, des vérités particulières, les premières connues, aux vérités générales.

L'analyse serait donc cette méthode qui permet de rencontrer l'invisible à partir du visible, de concevoir le micro à partir du macro, de rentrer en profondeur dans l'obscurité alors révélée au grand jour. 

Jean Lechat, dans Analyse et Synthèse - PUF -1962 - page 13 , écrit :

Tantôt l'analyse est l'opération soit de délier un ensemble ou une collection, soit d'explorer et d'étaler le contenu d'un concept, mais toujours en somme d'expliquer, c'est à dire de défaire les plis; tantôt, elle est l'effort  d'expliquer, mais au sens de rendre raison. Dans un cas, elle n'invente rien, puisqu'elle se contente d'explorer un donné; dans l'autre, elle apparaît tout au contraire comme une méthode d'invention, puisque, s'appliquant à la solution d'un problème, elle doit la chercher en dehors des données, où elle ne se trouve évidemment pas, du moins immédiatement. D'où les déclarations contradictoires concernant l'analyse, tantôt regardée comme stérile, tantôt considérée comme féconde, selon que l'on fait allusion comme Kant, au caractère tautologique du jugement analytique, ou comme Descartes, à l'analyse des géomètres, ou à la découverte, par la méditation métaphysique, des fondements de la connaissance et de l'action.

J'aime beaucoup l'idée de "défaire les plis". Et pour nous divertir, nous pouvons, en intermède, nous tourner vers ce premier cours de logique Shadock qui présenterait plutôt une version kantienne de l'analyse!

Mais alors que serait la méthode dite "synthétique" faisant nécessairement le pendant à la méthode analytique? Revenons vers Ferdinand Buisson, qui pour le coup est beaucoup moins versé vers la synthèse, en éducation rappelons-le, qui n'est pas le sujet ici:

L'autre méthode, plus brève et plus impérieuse, énonce d'emblée et enseigne d'autorité une suite de propositions, classées non dans l'ordre où elles ont pu être découvertes, mais dans celui que prescrit l'enchaînement logique des idées.

Jean Lechat est plus explicite et distingue:

On rencontre la même opposition entre les deux sens du mot synthèse; mais la situation est renversée par rapport à celle des deux sens du mot analyse. Cette fois, c'est la synthèse entendue comme composition ou élargissement du savoir qui est inventive; et la synthèse comme, comme exposition d'une solution, ou déduction des conséquences à partir d'un principe, consiste au contraire, dans le simple étalement d'un savoir qu'on possède déjà, et qu'on accroît point. Il est remarquable à cet égard, qu'on s'exprime souvent dans les même termes, pour décrire la synthèse, méthode d'exposition, que pour parler de l'analyse, exploration d'une idée. Par exemple selon Descartes, la voie synthétique, qui va des principes au conséquences, emporte la conviction en faisant voir comment le conséquents sont contenus dans les antécédents. [...]. Kant devait plus tard mettre au point l'idée d'une nécessité synthétique, formée précisément sur le modèle des propositions mathématiques, qui sont à la fois synthétiques, c'est à dire constructives, et a priori, c'est à dires nécessaires ou apodictiques.

Personnellement je trouve qu'il est bien difficile et technique, de savoir si, pour ma part, je relève plutôt de l'analyse ou de la synthèse en utilisant des outils, en les mélant ensemble, en cherchant et découvrant leurs usages ou en en construisant de nouveaux, en cherchant, en disséquant, en innovant, en abandonnant. Alors peut-être que l'idée qui conviendrait le mieux dans l'ensemble des situations que je rencontre ou provoque,  serait celle du bourgeonnement dont l'image suivante est une bonne représentation.

Françoise Arnoud

Peut-être que les esprits analytiques ou synthétiques ne s'y retrouveront pas mais c'est sans doute le prix à payer pour que je puisse me déplacer dans l'univers complexe des TICE et puisse en tirer quelques enseignements et résultats concrets.

Nous vivrions dans une société liquide. En fait, ce n'est pas tout à fait comme cela que je vois les choses.

Le solide au contact  du gazeux se liquéfie aux bords. Cela change tout, ça donne l'illusion d'une liquidité complète, mais elle reste épidermique, périphérique, de surface, d'épaisseur variable suivant la résistance du matériau au contact du gaz. Le tout est quand même complexifié, moins préhensible, moins compréhensible.

Les solides ce sont les systèmes physiques: un individu, un agent, un lieu, une salle de classe, de cinéma, une réunion, un établissement scolaire, un colloque, une rue passante, un parti politique, les membres d'une société, les outils de production, une banane, un jardin, respirer, un ordinateur, une onde. On va dire que le solide inclue la matière et son organisation.

Le gazeux c'est la connaissance, l'information, le contact, la communication, le transfert. Le solide téléphone portable envoie le gazeux SMS, MMS. Le solide clavioteur, le twittos envoie le gazeux twit reçu par les solides récepteurs. Le solide professeur de mathématiques gazéifie son  action via les nouveaux moyens de communication qui sont mis à sa disposition et peut liquéfier le bord de l'élève solide. La réciproque est aussi vraie. Le rigide système scolaire se liquéfie devant les assauts répétés d'une communication continue, frontale ou déportée.

L'espace social est physique, solide, il se liquéfie aux bords par la communication gazeuze qui brumise l'espace.

Mais si le solide est liquéfié aux bords et que l'on continue de remuer très fort le tout, il est tout à fait probable que le phénomène de cavitation se produise. Et là ça peut faire mal !

Je  vois en l'essor des nouvelles technologies de communication, une complexification des états que peut prendre une société à un moment donné, au niveau local et donc par extension au niveau global. Lorsque l'on parle de fracture numérique, c'est par anlaogie avec la discontinuité mécanico-mathématique, mais ce n'est pas le seul phénomène mécanique dont on peut faire l'analogie avec une situation sociale.

Si des sociologues perçoivent l'existence d'une société liquide, nous ne ferons pas l'économie de la transposition du modèle mécanique aux transformations de la société humaine dans son ensemble baignée, au moins pour une partie, dans le milieu gazeux des nouvelles technologies de la communication.