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Intervention d'Albert Burroni sur le thème de « Mathématique des structures de l'informatique théorique », lors de l'édition 2012 de la conférence-table ronde mathématiques innovantes.
Cette conférence sur le thème « Réseaux et structures dynamiques » s'est déroulé le Mardi 22 mai 2012 dans les locaux de Supméca Paris.
Le problème se pose simplement et ne nécessite que des accessoires élémentaires:
Un carré de papier
Une paire de ciseaux
Un crayon
Une règle
Un compas
La question est de savoir si à l'aide de ces seuls instruments, il est possible de découper un carré en portions... permettant, en les recomposant, de former 3 carrés de plus petites dimensions.
En remplaçant le 3 par un 4 ou un 2, des réponses au problème posé sont quasi immédiates:
Pour recomposer un carré en 2 carrés, il suffit de faire apparaitre le carré central en reliant les milieux de ses cotés, et les quatre triangles rectangles externes se réorganisent en un second carré de mêmes dimensions.
Le problème de la trisection est nettement plus ardu mais pas impossible, contrairement à celui de la quadrature du cercle, par exemple.
Le problème a été traité par Abu'l Wafa (940,998) pour répondre aux besoins du zellige. Les artisans de l'époque utilisaient des techniques de découpe. Celles-ci étaient très efficaces mais pas exactes d'un point de vue mathématique. Abu'l Wafa proposa une solution exacte avec un morcellement du carré initial en 9 morceaux.
La construction est détaillée dans cet article (lire les commentaires pour la référence du problème inverse et historique).
Cette figure est à mettre en relation avec le motif suivant présent à la mosquée d'Ispahan en Iran:
Ce qui est intéressant avec la trisection d'Abu'l Wafa c'est qu'il s'agit d'un cas particulier de découpage de carré que l'on peut généraliser, en apportant en passant une démonstration originale du théorème de Pythagore. C'est ce qu'a montré Henry Perigal. Il a démontré que quelque soit la dimension du carré central, que l'on placera à l'extérieur de l'un des cotés droits du triangle rectangle, il est possible de réaliser le découpage d'un carré dont le coté est l'hypothénuse, en reconstituant le deuxième carré adossé à l'angle droit. Il fut tellement heureux de cette découverte qu'il la fit inscrire sur sa tombe.
Perigal résolut aussi le problème de la trisection du carré comme le montre l'animation suivante à partir du problème inverse: Comment former un carré à partir de trois carrés identiques?
Qu'il s'agisse de la longueur des jupes, des rythmes de chansons, du choix des prénoms ou de la race de chien préférée, certaines manies collectives sont souvent des choix volatiles et peu d'entre eux persistent à l'épreuve du temps. Il s'agit de phénomènes de mode.
Au moins depuis le XVIIème siècle, les modes sont consédérées comme un produit de la stratification sociale, où les couches sociales les moins favorisées copieraient celles qui seraient le plus.
Le modèle proposé remplace et améliore deux modèles existant qui ne modélisent pas de façon correcte les phénomènes de mode.
Le modèle neutre est simple et modélise une recopie aléatoire des traits culturels. Il ne répond pas correctement au problème, car il semblerait que les personnes effectuent des choix positifs et d'autres négatifs.
Le modèle d'état prend en compte ce constant en considérant que les individus de statut élévé sont anti-conformistes alors que ceux de statut moindre sont conformistes.
Le modèle proposé par Acerbi et d'autres chercheurs, nommé modèle de préférence, introduit le fait que les personnes peuvent copier des traits culturels mais aussi les préférences associées, les règles de transmission pouvant ainsi évoluer dans le processus de recopie contrairement à un modèle génétique par exemple. La co-évolution de la recopie d'un trait et de sa préférence sont suffisantes pour générer un phénomène de mode. L'augmentation rapide de la popularité est corrélée avec sa diminution rapide ainsi l'augmentation lente avec la lente disparition. Ce phénomène a été démontré pour le choix des prénoms en France et aux Etats-Unis.
L'idée principale du modèle est que la préférence pour un trait culturel est définie elle-même comme un trait culturel, le trait initial et la préférence pouvant être copiés de façon indépendante dans un système dynamique de modèles et d'observateurs.
Voilà le système différentiel:
Pour le reste de l'article c'est sur Plos ONE en anglais.
Le gouvernement des Etats-Unis vient de dé-classifier des lettres manuscrites de John Nash qu'il a échangées avec l'Agence Nationale de Sécurité, la NSA, en 1955.
La surprise est qu'il y parle déjà de la complexité des algorithmes de façon explicite, théorie qui n'a émergé qu'à partir des années 70.
