À propos du problème du prix du millénaire de Navier–Stokes
Nous présentons une solution au problème d’existence et de régularité de Navier–Stokes, l’un des problèmes du prix du millénaire. Cette démonstration, produite par un système interne d’OpenAI, montre que la dynamique des équations de Navier–Stokes décrivant le mouvement des fluides peut engendrer une singularité en temps fini. Nous publions à la fois un exposé de la démonstration et une formalisation dans Lean.
Les problèmes du prix du millénaire(ouverture dans une nouvelle fenêtre) comptent parmi les questions les plus profondes à la pointe des mathématiques. La question de savoir si le mouvement régulier d’un fluide tridimensionnel peut cesser de l’être demeure sans réponse depuis environ 90 ans.
L’un des grands objectifs de nos travaux est de donner aux scientifiques les moyens de faire progresser la recherche et les technologies au bénéfice de toute l’humanité. Pour résoudre le problème de Navier–Stokes, nous avons utilisé un modèle interne nettement plus performant que GPT‑6 Astra. Nous estimons important d’informer le monde du rythme des progrès de l’IA et de ce qu’il peut attendre des prochains modèles.
. Cette affirmation ne vous dit rien ? Elle est pourtant au cœur de l’informatique théorique, et la résolution de cette problématique aurait des conséquences très importantes dans notre vie quotidienne ! Pour bien comprendre cette question fondamentale, il faut revenir aux sources de l’informatique théorique, cette discipline qui cherche à mesurer l’efficacité des algorithmes à partir du nombre de pas de calcul (petites étapes de calcul) nécessaires pour résoudre des problèmes. En étudiant un modèle théorique des ordinateurs, symbolisé par la machine de Turing, les chercheurs ont pu ranger les problèmes en plusieurs classes. Parmi ces catégories, distingue traditionnellement les problèmes que l’on peut résoudre dans un temps appelé polynomial (la classe dite P), ce qui signifie dans un temps efficace ou du moins acceptable, et les problèmes dont on peut vérifier les solutions lorsqu’elles sont trouvées en temps polynomial (classe dite NP). Ces deux classes de complexité sont définies de manière différente et la question de savoir si ces deux classes sont effectivement distinctes est centrale pour un nombre très important d’outils numériques. C’est le cas notamment de la cryptographie. En effet, chiffrer des informations demande de s’appuyer sur des problèmes impossibles à résoudre par des attaquants. Mais comme les chercheurs ne sont pas certains que cette distinction existe réellement, potentiellement tous les problèmes pourraient être un jour résolus dans un temps polynomial grâce à un outil mathématique non encore découvert ! 
