La quadrature du cercle
Beaucoup de personnes connaissent cette expression, mais peu en connaissent le sens exact. De quoi s'agit-il ?
C'était, il n'y a pas si longtemps, l'un des plus grands problèmes de mathématiques ( plutôt inutile ! mais symboliquement fort ), celui que tous les mathématiciens amateurs ou professionnels révaient de résoudre. On connait aujourd'hui la réponse à ce problème, elle est négative.
Et quel est-il ?
Il est impossible de construire avec seulement une règle non graduée ( pour tracer des droites ) et un compas ( pour tracer des cercles et reporter une mesure ), un carré ayant la même aire qu'un cercle ( disque ) donné.
Comme beaucoup d'autres problèmes mathématiques, celui de "la quadrature du cercle" trouva une réponse négative.
Pour un petit historique et quelques "Récréations mathématiques" je place ici le lien correspondant du Tome 2 des "Récréations mathématiques" de E. Lucas : ICI, une mine d'or pour les passionnés.
Les 3 tomes sont disponibles sur Gallica.
Un diaporama sur le sujet et trois autres "problèmes" mathématiques qui explique au passage le :
Pourquoi à la règle et au compas ? : ICI
Et laissons à Lucas, le dernier mot de cette note lorsqu'il cite Bacon ( pas Roger je pense ) à la fin du paragraphe :
Nous n'arriverons à quelque chose de définitif qu'après avoir longtemps vécu de provisoire. Mais ce provisoire ne nous fascinera pas, nous saurons qu'il n'est pas notre dernier but, et dans le champ de la science, les plus ardis travailleurs n'oublierons pas qu'il faut d'abord faire une première vendange.
De la quadrature du cercle au siècle des lumières: des amateurs mal éclairés ? ( PDF ) : ICI
Une analyse bibliographique de 3 pages ( PDF) du livre d'André Krop " La quadrature du cercle et le nombre Pi" : ICI
Commentaires
Bonjour,
Je viens de lire votre passionnante démonstration mais une question me vient à l'esprit? A combien est égale la superficie d'un cercle dont le rayon vaut 1? Ce cercle est-il constructible? Et si nous ne connaissions pas la nature du cercle et que par hasard l'on serait venu découvrir pi, comment découvrir son rapport avec le cercle et construire celui-ci?
Bien à vous, Monsieur.
Votre question, si je l'ai bien comprise en contient plusieurs.
Historiquement, les mathématiciens se sont aperçu que le rapport du diamètre du cercle sur la circonférence semblait constant, quelque soit ce cercle, sous entendu pour tous les cercles de l'univers. Les mathématiciens grecs ont fait la démonstration par exhaustion de cette propriété: http://www.inclassablesmathematiques.fr/archive/2007/05/02/la-methode-d-exhaustion.html
Le nombre unique apparaissant comme constant fut nommé Pi pour la première fois vers 1650 : http://members.aol.com/jeff570/constants.html mais il était d'usage d'utiliser une fraction comme valeur approchée, la plus simple étant 22/7. Les mathématiciens de tous temps s'enquérirent de chercher des approximations de plus en plus fines de ce nombre pour ensuite démontrer qu'il s'agissait d'un nombre ne pouvant s'exprimer comme une fraction et ayant une infinité de décimale sque les ordinateurs se font un plaisir de déterminer une à une.
Une fois ce nombre apprivoisé, suivant l'époque et les régions du monde, il apparu vite comme le coefficient de proportionnalité entre l'aire d'un cercle et l'aire du carré ayant pour coté le rayon, ou comme le coefficient de proportionnalité entre la longueur du diamètre et la circonférence du cercle.
Pour répondre à votre question , un cercle de rayon 1 à une aire de Pi.
La constructibilité d'un tel cercle est immédiate puisqu'il suffit de tracer une unité et de recourir au compas. Ce qui n'est l'est pas c'est de tracer un cercle dont l'aire fait 1 avec ces deux seuls outils , ce problème étant de la même nature que celui de la quadrature du cercle.
Le lien entre Pi et le cercle en fait un nombre hautement symbolique. Il est impossible que les hommes n'aient pas découverts ce nombre car si Pi est attaché au cercle, il l'est aussi à la circularité et donc à tous les phénomènes périodiques. Supposons que cela soit quand même possible, il existe de nombreuses situations où ce nombre ( ou une multiple ou un sous multiple ) intervient comme constante et cette régularité de la valeur aurait forcément attiré l'attention, même si cela n'aurait pas été aussi rapide que de découvrir ce nombre lié au cercle.
Un domaine dans lequel il est très surprenant de trouver sa présence est celui des probabilités. Par exemple : des aiguilles d'une longueur donnée sont lancées sur un parquet dont les lattes sont de la même largeur que la longueur des aiguilles. Pour un très grand nombre de lancers, le rapport du nombre d'aiguilles coupant un bord sur le nombre total d'aiguilles est égal à 2/Pi !
http://archives.arte-tv.com/hebdo/archimed/19980224/ftext/animation.html