La rentrée approche à grand pas. On n'échappe pas à sa médiatisation, ou plutôt à ses médiatisations maintenant que les nouvelles technologies permettent de mieux prendre en compte les choix du lecteur. Alors entre rentrée scolaire, rentrée littéraire, rentrée mathématique, rentrée du blog et rentrée tout court, nous pouvons faire notre marché...

Pour commencer, le titre de ce billet est énonciateur... Faut-il réformer l'orthographe car les élèves n'y arrivent pas (Le Monde)? Comment réconcilier les élèves (Le Monde)? Faut-il réformer les mathématiques car les élèves n'y arrivent pas non plus! Si l'on peut réformer la première, les secondes quant à elles sont indéfiniment inscrites dans le marbre. Et ce n'est pas vraiment de la faute à ceux qui les enseignent... alors j'entends ici où là, qu'il faudrait  réparer l'enseignement malade (toujours le Monde), ce qui en dit long sur l'intériorisation de celui-ci par les journalistes, allant même à le comparer avec celui des Etats-Unis, qui n'a(vait) rien de comparable au nôtre. Il faudrait même arréter d'enseigner cette discipline ségrégative (encore et toujours Le Monde). Mais sélectionne-t-on encore par les maths dans l'école d'aujourd'hui? Peut-être, mais pas dans la discipline, en rapport aux autres peut-être mais pas en seconde, devenue de détermination. Plus en première S qui ne comporte plus que 4 h 00 de maths. Alors ce serait en terminale... mais se n'est plus de la sélection car celle-ci doit-être préalable et non terminale. Alors lorsque les volumes d'enseignement des mathématiques ont fondu plus vite que la banquise, peut-on encore sérieusement parler aujourd'hui de sélection par les maths en France? Cette vision est amplifiée par la plupart des journalistes,  qui rédigent encore leurs articles avec de vieux démons dont ils sont seuls à  les voir (poussant en passant un grand nombre de parents à emmener de façon surprenante leurs enfants vers des cours particulier, en particulier de maths, sans que l'on en comprennne vraiment la raison de ce choix plutôt que d'une autre discipline). La réthorique des journalistes français à toujours été plus violente envers les maths qu'avec les lettres. Il y a eu des abus solaire, un élitisme certains, mais il y a eu aussi de nombreux intellectuels français qui ont "mathématisés" leurs écrit. Tout ceci commence à remonter très loin et l'enseignement des maths n'a plus rien à voir avec ce qu'il était. Cet écart réthorique est-il toujours vraiment d'actualité, lorsque la france peine à recruter ses enseignants de maths, à orienter ses jeunes vers la science? Mais rassurons-nous, le problème dépasse nos frontières, aussi bien en ce qui concerne le difficile apprentissage des élèves que la pénurie d'enseignants...

Alors Le Monde, qui est souvent critique à l'égard du modèle américain dans ses articles, y trouve toute son inspiration lorsqu'il s'agit de l'enseignement des maths... Etrange non?

Si je cite particulièrement des exemples tirés de ce journal, mais mes propos dépassent largement ce cadre pour parler de la quasi-intégralité de la réthorique utilisée pour qualifier l'enseignement des maths en France, même dans la presse professionnelle et spécialisée en éducation... Il y a encore du travail à faire et pas seulement dans l'enseignement. Allez un petit effort messieurs les journalistes et spécialistes en éducation... Alors maths utiles (pour qui?), maths plaisir (pour qui?), merci d'au moins bien poser le problème, ce qui est certainement, comme beaucoup de matheux le savent, l'une des activités les plus difficiles et le signe du plus grand des talents.

Pour la rentrée litteraire, Cédric Villani (notre prix Nobel (médaille Fields) de maths) s'est lancé dans l'écriture d'un roman personnel sur sa propre expérience: "Théorème vivant". Alors récit narcissique ou véritable plaidoyer envers la création mathématique? Les critiques du livre sont diverses et je ne trancherai pas le débat tant que je n'aurai pas lu le livre... Qui sait peut-être que l'éditeur me l'offrira ? Cedric Villani, parviendra-t-il à influer sur l'enseignement des mathématiques en France, a diminuer les fantasmes collectifs, à modifier la réthorique journalistique, comme il semble vouloir l'initier? Affaire à suivre.

En ce qui me concerne, je parlerai plutôt de mes vacances littéraires pour témoigner de mon grand plaisir à avoir lu le livre 10 tableaux et leur époque de Grégoire Jeanmonod. Je vous le conseille donc vivement. J'y ai même croisé deux mathématiciens, William Jones, l'inventeur du symbole de Pi, et Maurice Princet, pour lequel la question est posée de savoir si, ayant cotoyé les cubistes dont Picasso, leur parlant de façon affable de la quatrième dimension, il serait pour une part importante dans l'émergence du cubisme.

La gravure précédente est celle d'un tableau perdu de Raphaël, Le Jugement de Pâris, dont se serait inspiré Picasso, pour Les Demoiselles d'Avignon. Alors influence de Raphael ou Princet, ou des deux?

La rentrée mathématique en lycée sera celle du grand écart en série scientifique, puisqu'on compte 4 h 00 en première S et 6 h 00 en terminale S. Ce volume horaire sera-t-il définitif ou va-t-on se diriger vers un écrémage supplémentaire en terminale? Ceci aura pour effet de mon point de vue d'organiser un enseignement commun sur toutes les classes de lycée en mathématiques, certainement avec en toile de fond l'impérative harmonisation européenne et le lissage des particularités du secondaire français ( général puis génréal et technologique) et donc à terme du supérieur. La partie probabilité des programmes de S et ES est en fait aujourd'hui identique, ce qui abonde dans mon sens et on note une apparition étrange de l'étude des points d'inflexion en TES  qui m'interroge sur la fusion à terme des différents programmes de maths du lycée.

Nous considérons que ce billet fait office de publication de rentrée du blog!

Je suis pourtant un habitué des technologies numériques mais il est vrai que jusqu'à maintenant j'utilisais exclusivement un ordinateur. Aujourd'hui je possède un Smartphone et je viens de prendre conscience que l'idée que je me faisais du partage relevait de la préhistoire numérique, du temps du web 2 en quelque sorte où étaient (et sont encore) entassés sous chaque page ou billet, les icônes des principaux réseaux sociaux et sites de partage. On y voyait aussi une icône faisant figurer un mail, un pdf ou une imprimante. On pouvait aussi partager sur twitter ou sur Facebook. J'avais il y a quelques temps fait un billet sur le partage de fichiers en ligne, qui me paraissait déjà un élément très important pour un usage scolaire, c'est ici.

Je vais développer un peu plus en vidéo ce que j'entends par la notion de partage généralisé en partant d'un calcul effectué avec l'application Wolfram Alpha que j'ai téléchargée sur mon SmartPhone.

J'aurai pu prendre un autre exemple, une page web, une adresse physique ou une photo mais j'ai trouvé que le partage d'un résultat mathématique  me semblait pertinent sur un blog de maths :

Il y a une semaine je ne connaissais ni l'un ni l'autre. Le second m'a fait connaitre le premier (Jones est le mathématicien qui a introduit le symbole  π  !).
William Hogarth est  un peintre que j'ai découvert via l'excellent livre "10 tableaux et leur époque".

On trouvera ICI, le résumé du chapitre concernant la présentation des six tableaux du "Marriage A-la-mode".

Intervention d'Albert Burroni sur le thème de « Mathématique des structures de l'informatique théorique », lors de l'édition 2012 de la conférence-table ronde mathématiques innovantes.

Cette conférence sur le thème « Réseaux et structures dynamiques » s'est déroulé le Mardi 22 mai 2012 dans les locaux de Supméca Paris.

Le problème se pose simplement et ne nécessite que des accessoires élémentaires:

Un carré de papier

Une paire de ciseaux

Un crayon

Une règle

Un compas

La question est de savoir si à l'aide de ces seuls instruments, il est possible de découper un carré en portions... permettant, en les recomposant, de former 3 carrés de plus petites dimensions.

En remplaçant le 3 par un 4 ou un 2, des réponses au problème posé sont quasi immédiates:

Pour recomposer un carré en 2 carrés, il suffit de faire apparaitre le carré central en reliant les milieux de ses cotés, et les quatre triangles rectangles externes  se réorganisent en un second carré de mêmes dimensions.

Le problème de la trisection est nettement plus ardu mais pas impossible, contrairement à celui de la quadrature du cercle, par exemple.

Le problème a été traité par Abu'l Wafa (940,998) pour répondre aux besoins du zellige. Les artisans de l'époque utilisaient des techniques de découpe. Celles-ci étaient très efficaces mais pas exactes d'un point de vue mathématique. Abu'l Wafa proposa une solution exacte  avec un morcellement du carré initial en 9 morceaux.

La construction est détaillée dans cet article (lire les commentaires pour la référence du problème inverse et historique).

Cette figure est à mettre en relation avec le motif suivant présent à la mosquée d'Ispahan en Iran:

Ce qui est intéressant avec la trisection d'Abu'l Wafa c'est qu'il s'agit d'un cas particulier de découpage de carré que l'on peut généraliser, en apportant en passant une démonstration originale du théorème de Pythagore. C'est ce qu'a montré Henry Perigal. Il a démontré que quelque soit la dimension du carré central, que l'on placera à l'extérieur de l'un des cotés droits du triangle rectangle, il est possible de réaliser le découpage d'un carré dont le coté est l'hypothénuse, en reconstituant le deuxième carré adossé à l'angle droit. Il fut tellement heureux de cette découverte qu'il la fit inscrire sur sa tombe.

Perigal résolut aussi le problème de la trisection du carré comme le montre l'animation suivante à partir du problème inverse: Comment former un carré à partir de trois carrés identiques?

Perigal's Three-Squares-to-One Dissection from the Wolfram Demonstrations Project by Izidor Hafner

 

Le problème de la trisection du carré fit bien d'autres adeptes qui construirent des solutions toutes plus originales les unes que les autres. Lucas, Yoshigahara et Frederickson s'y collerent.

En fait le découpage du carré en des carrés plus petits relève presque de l'art. Il est possible de se fixer des contraintes de plus en plus fortes:

minimisation du nombre de pièces

pièces de même aire

généralisation de la technique

C'est le résultat auquel est parvenu Christian Blanvillain aidé de Janos Pach. Leur solution comporte 6 pièces de même aire et donne une infinité d'autres possibilités par glissement.

Le début du raisonnement de C. Blanvillain et J. Pach démarre sur une solution fausse utilisée par les artisans avant Abu'l Wafa.

 

L'erreur commise est d'environ 1,7%, ce qui justifie pleinement son utilisation par les artisans du Xème siècle.

L'idée est de rompre la parfaite symétrie de la bande centrale, de la décaler, de faire glisser le carré central et d'utiliser une symétrie centrale:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tous les points utiles au tracé s'obtiennent à la règle et au compas.

 

 

La recomposition des 3 carrés se fait de la façon suivante:

 

 

L'historique de la trisection du carré et les explications de celle de Christian Blanvillain sont détaillées dans un article qu'il a déposé sur Arxiv.

Images sauf gif animé: C. Blanvillain
Animation gif: O. Leguay et fichier original ICI