Inclassables Mathématiques 2.0

Alors que les professeurs de mathématiques sont souvent les gardiens du temple de la rigueur lorsque celle-ci fait défaut chez leurs élèves, la réponse à cette question simple ne semble pas faire l'unanimité dans les codes de calcul formel...

Il y a le camp des OUI et celui des NON ! C'est génant, non? N'hésitez pas à enrichir cette liste en commentaires.

Chez les OUI on trouvera :

GeoGebra:

WIRIS:

WIMS

Microsoft Mathematics:

Maxima (dans Casyopée):

Symbolab (avec un résultat différent des précédents):

 Chez les NON:

XCAS:

Wolfram Alpha:

Google (représentation graphique de la fonction)

La pensée chemine, culmine puis s'arrête enfin. Mais nous ne savons jamais vraiment où nous nous trouvons dans le parcours, emberlificotés que nous sommes dans l'incomplet, l'analytique, l'hypothético-déductif, l'analogique, le créatif, le sorite, l'approximatif et, il faut bien l'avouer, l'erreur qu'elle soit d'interprétation ou de raisonnement.

La Science place des panneaux indicateurs sur le chemin, indiquant que la voie est libre ou au contraire, que le chemin suivi est sans issue car il est bien souvent incompatible avec des résultats antérieurs déjà validés. Avant de dire la grande Vérité, à tout jamais inaccessible,  la Science élimine l'incohérent, le farfelu,  l'impossible ici et maintenant, de demain ou d'hier. Elle place les réserves, elle évalue le probable et l'improbable, quantifie les écarts, organise l'information et la réthorique des échanges, oriente les modes de pensées afin de les rendre compatibles. La Science permet la création sous réserve de cohérence de l'ensemble. 

Mais la Science doit se dire, se transmettre, se faire comprendre. Elle n'est d'ailleurs pas la seule à rencontrer cet impératif de transmission dont le seul fait d'avoir "voix au chapitre" ne suffit plus. Le Politique, l'Economique, le Scolaire doivent eux aussi le faire. Les temps changent. Les supports de transmission aussi. Les choses deviennent plus complexes, plus interactives. Le récepteur filtre l'information, peut la rejeter, l'ignorer ou l'accepter sous conditions. Il devient de plus en plus un élément majeur de l'environnement communicationnel qui doit être pris en compte dans le processus global. La communication est ce quatuor dynamique inclusif : Emetteur, Recepteur, Relation et Support. Si la production scientifique est indépendante de la nature du support et de la relation, elle ne l'est plus lorsque ceux-ci deviennent objet de recherche. Et par un même mouvement, si le scientifique cherche à communiquer avec des scientifiques dans un autre champ ou avec des néophytes, il doit aussi se frotter à une transmission qui ne serait plus simplement composée d'informations brutes mais d'objets communicationnels complexes et travaillés intégrant le récepteur du message, flirtant avec la vulgarisation, sa capacité de compréhension, la force de conviction de celui qui énonce. 

Je viens de boucler un article sur la modification des pratiques enseignantes à l'heure des TICE dans lequel j'ai placé la Communication (avec un grand C comme pour étendre son statut à tous les moyens disponibles et tous les objectifs visés) au même niveau d'importance que la Didactique et la Pédagogie.  Je suis intimement convaincu que la modification de la nature des supports et des moyens de transmission, impacte en profondeur non seulement sur la vitesse des échanges mais principalement sur la nature même de la pensée en y injectant de nouveaux objets et génère donc de nouveaux modes de reflexion. La modification des objets transmis produit une modification de la pensée elle-même, puisque ceux-ci s'y retrouvent de façon naturelle. Ne pas considérer ce point dans l'acte éducatif place l'école sur une voie de garage, comme devenant une sorte de résurgence anachronique par insuffisance symbolique.

Pour qu'il y ait transmission scolaire, il faut nécessairement trouver cet accord symbolique entre l'émeteur et le récepteur qui ne peut plus exclusivement relever du contrat didactique. Il ne peut s'effectuer qu'au sens d'une proximité des sens symboliques, les nouvelles technologies y trouvant naturellement leur place. Les TICE ne recouvrent cependant qu'une partie de de la cohérence symbolique recherchée mais permettent au moins un accord à minima entre les parties avec une dépense d'énergie convenable (à condition que chacun les maîtrise de façon suffisante). Elles ont l'avantage (et l'inconvénient) d'irriguer l'intégralité des champs du savoir. Le pacte symbolique (je préfère le mot pacte au mot contrat) serait de la même nature que le pacte linguistique de Roger Bacon (13ème siècle). Il releverait de l'occasionnalisme, celui de Bacon correspondait à l'entente entre les deux parties sur le sens des mots et j'y ajouterai aujourd'hui sur la symbolique globale de la communication et des contenus échangés dans un environnement technologique. Étymologiquement, le symbole est un tesson de poterie cassé en deux. Chacune des parties est donnée à l'un des contractants qui ne pouvaient liquider le contrat qu'en réunissant les morceaux. La communication est très certainement le processus qui permet de travailler sur la distance entre les deux acteurs, les rapprocher, les "recoller". Certains y verront apparaître  les termes de signifiant et signifié, il peut s'agir aussi de connaissances et de compétences. On pourra trouver aussi la motivation, la compréhension, le concret et bien d'autres termes allant au delà des seuls contenus d'enseignement. Et peut-être enfin tout simplement, l'envie ou la peur. D'une façon générale, tous ces processus sont modifiés, changent de nature au contact d'un environnement technologique favorisant lui-même  la communication. On peut voir avec quelle vitesse et motivation, les ados (et même des plus agés) dégainent leur Smartphone, laissant réveur tout professeur qui tente en vain depuis de nombreuses années, de faire sortir le livre de cours à ses élèves en moins de 5 minutes!

La technologie est incluse dans la communication. Il est possible de l'utiliser à bon escient pour faire sens, pour servir de médiateur dans une construction symbolique parfois difficile à trouver. Les nouvelles technologies sont de mon point de vue un habillage communicationnel que l'on peut utiliser et  faire varier suivant les buts recherchés.

Dominique Wolton, directeur de l'Institut des Sciences de la Communication du CNRS aborde dans l'émission radio "Infos Sciences" , le tournant communicationnel et les enjeux scientifiques, non sans rapport avec ce que je viens de dire précédemment. 

La communication, dans sa composante interactive est une relation mettant l'action du récepteur au premier plan. On pourrait tout aussi bien changer le mot communication par celui de  pédagogie ou de didactique sans produire de contresens. La communication étudie les échanges, la pédagogie les objectifs d'assimilation et de restitution, et la didactique, la nature et la forme des contenus transmis.

Il est intéressant d'entendre dire D. Wolton que l'interdisciplinarité (que l'on souhaite toujours mettre au coeur du système éducatif) relève de la communication et donc de la négociation. Le terme d'incommunication peut être mis de façon très intéressante en rapport avec la notion d'"incommunicabilité" (que je préfère à celle de nonsense) abordée de façon métaphorique par Lewis Carroll  dans son oeuvre dans laquelle on pourra aussi trouver des éléments intéressants sur la "communicabilité". Pour faire court, Carroll semble avoir mis le doigt sur les phénomènes principaux liés à la transmission d'un message ou à son absence. Par exemple, les mots-valises qui pourtant n'existent pas, sont tout à fait compréhensibles, comme l'est aussi le poème du Jabberwocky, composé de mots inconnus. La communication n'est donc pas seulement une affaire de lexique (ah ces textos qui ne respectent aucune ortographe ni aucune syntaxe et qui sont pourtant tout à fait compréhensibles...). Et tout le parcours d'Alice est celui d'une petite fille qui tente de se faire comprendre et de comprendre le monde dans lequel elle évolue et il faut bien là aussi constater que les exemples d'"incommunicabilité" sont légion!  Lire en partie sur ce propos, mon interprétation personnelle de l'impossible communication entre Alice (pensée affective) et Humpty-Dumpty (pensée algorithmique). S'interroger sur l'"incommunication", que l'on rencontre souvent dans le monde scolaire, est sans aucun doute très riche d'enseignement. La conversation entre Alice et Humpty-Dumpty pourrait se transposer facilement à l'école, montrant à quel point les difficultés de communication peuvent y être importantes entre une pensée affective  et une pensée cartésienne, une pensée qui reçoit le sens et celle qui le donne. 

-Humpty Dumpty : "C'est de la gloire pour toi !"
-"Je ne comprends pas ce que tu veux dire par gloire", répondit Alice
Humpty Dumpty sourit d'un air dédaigneux,
-"Naturellement que tu ne le sais pas tant que je ne te le dis pas. Je voulais dire : c'est un argument décisif pour toi !"
-"Mais gloire ne signifie pas argument décisif", objecta Alice.
-"Lorsque j'utilise un mot", déclara Humpty Dumpty avec gravité, " il signifie exactement ce que j'ai décidé qu'il signifierait - ni plus ni moins ".
-"Mais le problème" dit Alice, "c'est de savoir si tu peux faire en sorte que les mots signifient des choses différentes".
-"Le problème", dit Humpty Dumpty, "est de savoir qui commande, c'est tout " !

Le pacte symbolique est un impératif. Les TICE permettent sans aucun doute de favoriser son émergence en délestant d'une partie de la charge du sens, l'émetteur et le récepteur du message.

Il y a quelques années (déjà!), je me suis mis à la recherche des germes d'une philosophie de la transmission. J'y ai trouvé peu de choses. La communication semble aujourd'hui l'élément incontournable d'une réflexion sur la transmission. Il faudra aussi  travailler sur l'altérité comme le souligne D. Woltron. Il est intéressant de noter que la notion d'altérité peut sans doute se dissimuler derrière celle de communication, qui sont peut-être les composantes  d'un même concept relevant pour l'un de l'état et pour l'autre du processus.

Nous pouvons aussi nous interroger sur l'impossible mission de définir des contenus à transmettre pour tous, en même temps que pour chacun!

J'avais écrit un billet sur le problème des trois corps. On pourra aussi lire l'article suivant sur le sujet.
La vidéo qui suit permet de compléter les deux liens précédents:

Le problème des trois corps et la question de la... par Sciences_Maths_Paris

La base de Sloane (Online Encyclopedia of Integer Sequences) réunit plusieurs dizaines de milliers de suites mathématiques considérées comme « intéressantes » par certains mathématiciens. La représentation graphique de la fréquence d’occurrence de n en fonction de n montre une fonction rapidement décroissante, et un nuage qui semble séparé en deux par une zone claire qu’on nomme ici le fossé de Sloane.
La décroissance et la forme générale s’expliquent assez facilement mathématiquement, mais l’explication du fossé nécessite d’autres considérations.

L'article de Nicolas Gauvrit, Jean-Paul Delaye et Hector Zenil qui vient d'être mis en ligne.

L'origine de la découverte par Philippe Guglielmetti sur son blog Pourquoi Comment Combien.

Source: Maths Fail

J'ai adoré ce livre qui traite d'un sujet bien complexe qu'est celui des mathématiques et de leur lien avec la religion ou de son absence. La scène se situe au début de XX ème siècle. Le décor est celui de la théorie des ensembles. Les acteurs français sont Borel, Lebesgue et Baire, les russes sont Egorov, Florensky (avec son baton) et Lusin. Les français sont des rationalistes alors que les russes sont pratiquants de l'Adoration du Nom, hérésie orthodoxe, qui vise à entrer en contact avec Dieu et Jésus par le biais du nom et par l'intermédiaire de la prière invoquant ce nom. Ce fut aussi, de façon surprenante, une porte d'entrée pour s'autoriser à nommer les objets mathématiques, tels que les infinis et les ensembles de nombres  afin de pouvoir leur donner corps et existence.

Le livre commence par l'explication de la mystique de l'Adoration du nom, poursuit sur la crise des fondements en mathématiques pour se diriger ensuite vers une présentation approfondie de la vie des six principaux protagonistes, du mysticisme des russes et de leurs destins tragiques, liés à la persécution du pouvoir. On aperçoit au passage d'autres personnages tels que Markov, Alexandrov, Kolmogorov et bien sûr Hilbert. La naissance et la vie de l'école mathématique russe, nommée la Lusitanie y est décrite en détails. Le livre se termine sur une réflexion concernant le facteur humains dans la découverte mathématique.

L'histoire qui est racontée dans ce livre dépasse largement le cadre des mathématiques pour ouvrir en brêche des lieux bien souvent trop communs concernant la pensée humaine.

La présentation du livre par Pierre de la Harpe.

Sur Publimaths.

Certains mathématiciens refusent l'idée que l'infini puisse être un concept que l'on peut utiliser. Ce sont les finitistes. Les plus radicaux d'entre eux sont les ultrafinitistes dont faisait partie le mathématicien russe Alexander Yessenin-Volpin, logicien et poète ( qui a été interné dans un hopital psychiatrique en 1949 pour "poésie anti-soviétique" !).

Lorsqu'on lui demandait si toutes les puissances de 2 avaient un sens, il précisait que la question devait être détaillée pour qu'il puisse y répondre et que chacun de ces nombres devait être étudié.

Il répondait presque instantanément que 2¹ était un réel. Lorsqu'on lui demandait si 2² était un réel, il mettait un peu plus de temps à répondre, puis encore plus de temps pour préciser que 2³ en était aussi un. Et si on lui demandait un jour si  2¹⁰⁰ était un réel, il mettrait  2¹⁰⁰  plus de temps à répondre que pour 2¹. Belle façon de montrer qu'il était impossible de répondre à la question et que l'infini est un concept qui n'a pas de sens.

Source: L'excellent livre "Au nom de l'infini" de Cantor et Graham

L'objectif de ce billet est de se demander s'il peut exister une théorie générale des questions "Pourquoi?", ou de l'explication en général, de montrer que des philosophes et des scientifiques s'intéressent à cette question, et d'essayer de comprendre en quels termes est-ce qu'elle peut se formuler, quelles sont les difficultés liées à son élaboration. On ne pourra bien sûr pas traiter la totalité de ce sujet dans un simple billet de blog, compte tenu de l'ampleur de la tâche, de sa difficulté, du fait que l'on ne dispose certainement pas actuellement des bases théoriques suffisantes et aussi, signalons-le, des limites vite atteintes de l'auteur!

Les questions "Pourquoi?"

Lorsque l'on demande à Teddy et Valentin, "Pourquoi les léopards ont-ils des tâches?", voilà ce qu'ils répondent: 

L’histoire se passe dans la jungle, en Afrique. Nous sommes le 31 mars, avec trois meilleurs amis. Il y a Benji, un jeune léopard sans tâches, Chita et Kikou, ses deux amis singes. Comme chaque jour, ils jouent à trap-trap et à courir dans la jungle. Chita et Kikou adorent se cacher ou se percher dans les arbres. Mais Benji a beaucoup plus de mal pour les attraper. Eux, ils sont habitués à grimper et à sauter d’arbre en arbre. Pour Benji, il faut courir plus et user beaucoup d’énergie pour grimper dans l’arbre où se trouvent ses amis.

Chita et Kikou, très farceurs, décident de faire une farce à leur ami pendant sa sieste. Ils lui mettent des tâches de peinture noire sur son pelage. Benji se réveille et ne remarque rien. Il part à la recherche de ses amis. Mais il se pose des questions : « Pourquoi tout le monde me regarde et rie quand je passe ? » Arrivé au bout de la jungle, il retrouve Chita et Kikou. Ils tiennent un bout de miroir et se tordent de rire. Benji sursaute de peur quand il se voit avec son pelage tout tacheté de noir. Il comprend pourquoi les habitants rigolaient. Voyant leur ami triste, Chita et Kikou disent : « Poisson d’avril ! » Chose qu’ils ne savent pas, c’est que c’est de la peinture indélébile. Du coup, Benji rit aussi, il aime son nouveau look. Surtout depuis que les jeunes léopards l’admirent ! Voila pourquoi les léopards ont des tâches. On trouvera d'autres réponses d'enfants à la question "Pourquoi?" ICI.

Lorsqu'on pose la même question au scientifique voilà l'un des éléments principaux de la réponse qu'il propose, et l'on est bien loin de celle de Teddy et de Valentin:

Une réponse intermédiaire entre le conte et la modélisation mathématique, serait le récit du vulgarisateur:

Ce qui est étonnant et remarquable, c'est que l'équation mathématique montre que les différents motifs de pelage dépendent seulement de la grosseur et de la forme de la région où ils se développent. Autrement dit, la même équation de base explique tous les motifs. Mais alors, pourquoi les tigres et les léopards ont-ils des motifs différents puisque leurs corps sont très similaires ? Parce que la formation des motifs ne se produirait pas au même moment durant la croissance de l'embryon.
Dans le premier cas, l'embryon serait encore petit et, dans l'autre cas, il serait déjà beaucoup plus gros. Plus précisément, l'équation montre qu'il ne se forme pas de motif si l'embryon est très petit, qu'il se forme un motif rayé si l'embryon est un peu plus gros, un motif tacheté s'il est encore plus gros, et ... aucun motif s'il est trop gros !
Voilà pourquoi la souris et l'éléphant n'auraient pas de taches !

A travers cette question, il semble flagrant que la question du "Pourquoi?" est relative, que la connaissance de l'interlocuteur est fondamentale. Une théorie du "Pourquoi?" pourra-t-elle se constituer indépendamment de celui-ci?

Un autre type de question va faire apparaître une nouvelle difficulté. Par exemple on peut se demander: "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?"

La première idée qui viendrait à l'esprit est de considérer que cette question est du domaine religieux et qu'elle ne trouvera aucune réponse. Si cette remarque est vraie et renvoit la problématique vers la construction des mythes fondateurs, il n'en reste pas moins que si l'on tente d'y répondre, force est de constater que son ambiguité n'est pas religieuse mais, bel et bien, sémantique.

On peut en fait répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?". La problématique implicite étant de répondre à la question "Pourquoi lui?".

On peut aussi répondre à "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", la problématique implicite étant maintenant de savoir pourquoi cette action a été réalisée et non une autre, comme l'écraser, la donner, la cacher.

Il reste une dernière interrogation du type "Pourquoi Adam a-t-il mangé la pomme?", sous entendu, pourquoi ce fruit, pourquoi un fruit?

Contrairement à l'exemple précédent où la connaissance de l'interlocuteur avait une place capitale une fois que la question était posée, dans ce cas présent, c'est la question elle-même qui peut être ambigüe, trop lâche. Il paraît donc important de se prémunir devant ces ambiguités en formulant une question "Pourquoi?" satisfaisante permettant d'assurer une réponse pertinente. Il est important de connaître l'angle d'attaque de la réponse satisfaisante. Mais est-il possible de construire ce type de questions? Là aussi c'est un point incontournable de la possibilité de formuler une théorie du "Pourquoi?".

Dans le domaine mathématique, des questions "Pourquoi?" peuvent aussi apparaître, comme par exemple :

Le problème qui se pose ici est encore d'un autre niveau que les deux précédents. Il s'agit de comprendre que ce n'est pas parce qu'une chose est vraie et qu'elle est prouvée, qu'elle est expliquée. Le résultat énoncé plus haut est vrai mais la question est de savoir "Pourquoi est-ce que c'est Pi/4 qui se trouve à droite de l'égalité et pas un autre nombre?", sous entendu quel est le lien explicatif entre le membre de gauche et celui de droite? On va donc voir arriver un gros problème avec le statut de la démonstration mathématique et du calcul. Démonstrations et calculs ne sont pas tous explicatifs. La démonstration, le calcul ne répondent pas de façon inconditionnelle à la question du "Pourquoi?". Dans le champ des mathématiques, une théorie du "Pourquoi?" ne pourra pas se contenter de l'existence d'une démonstration valide ou d'un bon calcul.

Si l'on reste dans le domaine des mathématiques, un autre type de question "Pourquoi?" pose problème. C'est celle qui demande pourquoi est-ce que l'on fait tel type de chose pour faire une démonstration? Par exemple "Pourquoi introduire la fonction "machin" pour démontrer le résultat "truc"? Et le professeur de mathématiques ne s'y trompe pas car sa réponse est presque toujours invariable même si elle n'est en rien explicative "On fait ça parce que ça marche!". On voit donc bien qu'il y a là une difficulté réelle qui aborde la naissance des idées, la justification de l'intuition, la justification d'une étape "deus ex machina".

D'autres questions "Pourquoi?" peuvent aussi s'avérer problématiques, comme par exemple: "Pourquoi JFK est-il mort le 22 novembre 1963?". Une fois levées les ambiguités de la question sur les attentes (JFK, mort ou date), il est ici question de l'explication historique. L'histoire ne se répétant pas, peut-on concevoir une "explication historique". L'explication relevant principalement de la rationnalité et de la science, n'est-on pas dans l'incapacité d'expliquer l'histoire, sauf à la considérer comme science, ce qui n'est pas sans apporter un autre lot de difficultés?

Les questions exclusivement scientifiques ne sont pas non plus sans poser de problème!

Y a t'il une meilleure explication que les autres à cette question : "Pourquoi aucun observateur ne peut se déplacer plus vite que la lumière ?" ?

"Pourquoi les lois de Kepler sont-elles valides ?" Le "vrai" physique, comme nous l'avons vu juste au dessus, n'épuise pas à lui seul la question du "pourquoi".

Derrière ces quelques "questions-pourquoi", nous voyons pointer la difficulté de concevoir une théorie qui permettrait d'englober toutes les réponses possibles et de sélectionner parmi elles, celle qui est la plus pertinente. Cette théorie devra de plus nécessairement contenir les "questions-pourquoi" des mathématiques. La réponse au "Pourquoi?" se devant d'être explicative, il faudra se confronter à la nature de l'explication qui soulignons-le, ne peut pas éliminer le récepteur, introduisant ainsi une forte part de relativité, bien inconfortable en sciences par exemple.

Pouvons-nous concevoir une théorie du "Pourquoi?"?  Est-il possible de la mathématiser, et est-elle  compatible avec les mathématiques?  Pour préciser les choses , la théorie des questions-pourquoi impose que le particulier puisse se déduire de la règle. Cela exige aussi de savoir s'il est possible de lever toutes les ambiguïtés associées à ce type de question, comme nous pouvons le constater dans les questions sur Adam et la pomme. Il faut aussi se poser la question, si l'on choisit d'associer la meilleure explication à la meilleure probabilité de certitude, de savoir si la démonstration mathématique (de probabilité 1) est toujours explicative. Il faut aussi se poser la question de savoir si l'on parvient à expliquer le "Pourquoi faire cela?" en vue d'une démonstration, plutôt qu'autre chose, mettant ici de l'arbitraire là où il ne devrait pas y en avoir.

Martin Gardner est décédé en mai dernier et laisse derrière lui un nombre considérable de publications, principalement dans le domaine des jeux mathématiques. Il publia pour la première fois le problème des deux enfants dans les colonnes du Scientific American en 1959. Il le republia plus tard dans  The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. La première réponse que donna Martin Gardner était eronnée ou plutôt incomplète. Il rectifia sa réponse dans une autre  édition mais c'est la solution erronée qui est restée plus populaire que la correction. De plus, en 2010, une variante du problème des deux enfants, celle de l'enfant-mardi est apparue et est devenue un sujet "viral" dont la solution proposée présente le même défaut.

On peut certainement faire l'analogie de ce problème avec le paradoxe de Bertrand que j'avais abordé dans un billet précédent.

Le problème des deux enfants

Il s'énonce comme suit:

Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What
is the probability that both children are boys?

Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is
the probability that both children are girls?