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Paradoxes, limitations,erreurs

  • La rugosité fractale de l'apprentissage

    En décembre 2010, je publiais sur le Wiki que j'avais initialement destiné à des cours de mathématiques interactifs, un article intitulé "l'apprentissage fractal".

    L'idée était alors, que les besoins d'apprentissage de l'apprenant (par nature non identifiés précisément puisque leur regroupement est souvent hétérogène), ne coïncidaient que très rarement sur le long terme avec les séquences d'enseignement. L'optimisation me semblait donc possible en "fractalisant" les séquences d'enseignement. Pour cela il suffisait de respecter temporellement les trois principales phases de l'apprentissage (découverte et automatisation, fonctionnement et méthodes, synthèse et liens) en leur ajoutant une dimension fractale, c'est à dire en redécoupant chacune de ces trois phases par les trois autres. Une méthode d'enseignement fractale voit ainsi le jour faisant intervenir sciemment une certaine verticalité locale et globale des contenus ainsi qu'une diversification des approches. J'avais créé une petite animation en considérant un enseignant décrivant successivement ces trois phases au contact d'un étudiant aux besoins d'apprentissage non définis. 

    L'apprenant et ses besoins d'apprentissage est au milieu, le professeur "non fractalisé" en haut, et le professeur "fractalisé" en bas:

     

    fractale2.GIF

    L'apprenant possède ici des besoins équilibrés, le professeur du haut est plutôt "binaire" (présentation des notions - concepts évolués), ne laissant que peu de place à un enseignement intermédiaire. La "fractalisation" (en bas) de l'enseignement optimise en moyenne les contacts d'apprentissage.

    Il est sans doute possible d'aller un peu plus loin dans ce modèle, en faisant intervenir la nature fractale des besoins d'apprentissage et en ne considérant plus seulement qu'ils se délimitent à trois phases temporelles clairement identifiées.

    Cette rugosité fractale entre d'ailleurs dans le langage courant en disant par exemple que les savoirs glissent, que l'enseignant n'a pas de prise, ou qu'au contraire l'élève capte intégralement le discours du professeur, accrochant ainsi tout ce qu'il trouve sur son chemin. D'une surface modélisée comme lisse à une surface accrochant jusqu'aux concepts les plus abstraits ou complexes, le paysage fractal de l'apprentissage peut trouver sa représentation aussi bien dans un lisse bourgeonnement que dans un système montagneux qui retient tout au passage. Le bourgeonnement peut s'avérer lent ou rapide, et la montagne friable ou granitique.

    Dans tous les cas l'image d'un frottement entre l'apprenant et l'enseignant, apparaît. Toutes les rugosités d'enseignement ne peuvent fonctionner sur celles de tous les apprentissages. La diversité semble donc bien être la base de l'optimum recherchée. Cette diversification se fait, non pas sur les contenus (progression spiralée par exemple, dilution), mais sur les approches!

     

    Von_Koch_curve.gif

     

    Cette notion de rugosité d'apprentissage et de glissement est à définir. On pourrait peut-être s'imaginer une diminution de cette rugosité au fur et à mesure que l'on itère la construction fractale. En effet, les concepts abstraits peuvent être considérés comme très saillants, alors que l'approche concrète serait plus douce et donc de grain plus fin. L'analogie mécanique s'arrête donc là et celle du langage courant aussi (personnage grossier par exemple). Les surfaces d'apprentissage et d'enseignement sont d'autant plus adhérentes l'une à l'autre qu'elles sont au même degré de "fractalité", au même nombre d'itérations. Nous voyons ici que l'objectif d'apprentissage optimal serait celui associé à la première itération, ou même à son absence. L'objectif recherché par tout pédagogue, serait que chaque élève accède à la "simplicité" d'apprentissage du premier flocon, symétrique et triangulaire, comme une dent acérée dévorant toute difficulté conceptuelle. Le flocon neigeux fortement itéré, serait quant à lui synonyme d'éloignement, de "trop plein de", d'affectif, d'immédiateté, etc...

    L'analogie précédente possède l'avantage de sortir les difficultés d'apprentissage de l'ornière de la notion de manque et d'insuffisance, et de les ramener vers une "géométrie" de la surface, pour laquelle l'enseignant pourrait construire un outil, une sorte de râpe dynamique dont il ferait varier le grain, la vitesse de passage et la force d'appui.

    Les stratégies de remédiation, de soutien offertes par le système se trouvent de facto remplacées par des stratégies d'adaptation à la surface, de modification du terrain, et de quantification fractale. C'est sans doute ce qui est fait aujourd'hui pendant ces heures dites "différenciées", "individualisées", "personnalisées", mais la notion de manque à combler a disparu ici, pour laisser place à celle de matière à "travailler" en remplaçant une granulosité fine par une autre qui le serait moins, au moins localement.

    Les difficultés d'apprentissage (fractalité fine et peu profonde, aspect globalement poli et localement rugueux) ne devront se trouver en contact qu'avec une forme d'enseignement similaire, au moins jusqu'au déclenchement de la modification durable de la géométrie. Un angle trop saillant... et c'est l'accroc!

    Un profil qui conceptualise et abstrait très rapidement pourra se trouver en contact avec un profil d'enseignement plus "abrupt". Il reste impératif de ne pas confondre, compréhension et restitution. Combien d'élèves possèdent un profil d'apprentissage donné mais avec une restitution ou une compréhension profonde plus difficiles. La géométrie de la surface d'apprentissage, doit aussi tenir compte de l'impératif de restitution sous une forme imposée (langage, écrit, processus, graphique, analogie....).

    Ce qui me parait intéressant dans cette histoire, c'est la généralité de cette approche à tous les profils. J'ai aussi trouvé une modélisation fractale (au niveau des besoins d'apprentissage), dans la littérature : "Identifier des besoins d'apprentissage" par Valérie Barry, qui enseigne dans les formations pour l'adaptation scolaire et la scolarisation des élèves handicapés. Je n'avais pas lu le livre lorsque j'ai construit les premières marches de mon idée d'apprentissage fractal (le livre est sorti en 2011 !). Ceci me laisse à penser que la piste "fractale" a le mérite d'être explorée. J'ai pour ma part en face de moi, un public relativement favorisé, socialement comme scolairement, ce qui ne m'empêche pas de voir des élèves en difficultés dans leur parcours et dans leurs apprentissages. J'ai développé de mon coté cette approche auprès d'élèves qui feront tous, pour la plupart, des études supérieures longues. Elle semble aussi pouvoir être pertinente pour aborder les difficultés d'apprentissage.

    Je vais donc tenter d'affiner mes réflexions et de faire varier la rugosité de ma râpe pédagogique à l'avenir, afin de trouver encore quelques leviers intéressants.

    C'est en écoutant une conférence de Serge Boimare que m'est venue cette image de la râpe fractale, que l'on pourrait qualifier d'outil-problème plus que d'outil-solution pour reprendre une expression du livre de V. Barry.

    J'écoutais Serge raconter comment il attaque méthodiquement, avec une voix douce et des contes, l’extrême dureté de l'intellect des enfants qu'il a devant lui, et qui ne lui offrent que très peu de prise, même pas de rester dans la classe. Alors tous les jours, inlassablement sans doute, faut-il effectuer la même démarche avec des outils de fine rugosité, sans lasser, sans trop appuyer afin de faire naître quelques aspérités plus marquées à la surface de ces apprenants difficiles, ou faire apparaître une surface dépolie, sur lesquelles on peut commencer à construire, à abstraire, à modéliser, à anticiper. Dès ses premiers mots les difficultés d'apprentissage ne sont plus vues comme un manque, mais comme un empêchement de penser, et je rajoute comme si il y avait une gangue à élimer avant de trouver un terrain plus tendre. L'outil s'adapte au fil des jours, synchronisé sur l'état des apprenants. Alors à petit pas certainement, l'apprentissage dessine quelques formes plus vastes, vite recouvertes par les premières feuilles qui tombent mais laissant, au hasard des jours, une base sur laquelle il est sans doute possible de s'appuyer un peu pour poursuivre le travail. 

    Afin de ne pas commettre de contresens sur la rugosité d'apprentissage et d'enseignement, je tiens à préciser que, pour moi, cette rugosité est d'autant plus marquée que l'itération du processus fractal est faible. Ainsi, le premier triangle du flocon de Von Koch, constituerait pour moi un profil très grossier et donc très accrocheur, alors que les itérations successives montrent un adoucissement de la "saillance". Dans le schéma suivant, le profil d'apprentissage le plus difficile est celui qui est en haut. Il correspond à une rugosité fine et à un nombre d'itérations important. Celui du bas est au contraire très "coupant", et peut être mis au contact d'une forte conceptualisation. L'apprentissage est ici vu comme un acte d'épure avant d'être considéré comme celui d'un remplissage, qui s'avère être secondaire, et non entravé dès que le profil requis est atteint. 

     

    vonkoch.jpg


    Cette modélisation a le mérite d'introduire une image plus réelle de la réalité de l'apprentissage qui voit les freins comme un recouvrement, un rapprochement du concret et de l'affectif. En ce sens le "bon apprenant" est déjà celui qui a su faire un chemin inverse de dé-itération et non pas de remplissage, comme on l'imagine usuellement. La symbolique de l'apprentissage est donc renversée puisqu'il est plus question ici d'épure et de vide, que de remplissage, ce dernier ne survenant que lorsque la géométrie de surface de l'apprenant coïncide avec celle de l'enseignant.

    En écrivant ces lignes, je m'aperçois aussi que cette modélisation "colle" avec mon expérience, celle de constater la présence d'un brouillard affectif pouvant avoir raison de tout apprentissage, et aussi de la nécessité du travail sur cette porte d'entrée pour tout apprenant en difficulté et ceux en bas âge. C'est aussi sans doute pourquoi, l'anxiété d'apprentissage prend souvent la forme de la mise à nu, de l'invasion intérieure, de la perte de défense chez les plus fragiles. 

    Ainsi donc à tous les stades de l'apprentissage et quelque soit le profil de l'apprenant, la modélisation fractale semble ouvrir un champ symbolique et conceptuel dont il serait dommage de se priver. Reste sans doute quelques recherches à faire, à quantifier et sans doute un vocabulaire à affiner...

     

  • Est-ce que 2x/2y = 2*x/2*y ?

    Alors que les professeurs de mathématiques sont souvent les gardiens du temple de la rigueur lorsque celle-ci fait défaut chez leurs élèves, la réponse à cette question simple ne semble pas faire l'unanimité dans les codes de calcul formel...

    Il y a le camp des OUI et celui des NON ! C'est génant, non? N'hésitez pas à enrichir cette liste en commentaires.

    Chez les OUI on trouvera :

    GeoGebra:

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    WIRIS:

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    WIMS

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    Microsoft Mathematics:

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    Maxima (dans Casyopée):

     

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    Symbolab (avec un résultat différent des précédents):

     

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     Chez les NON:


    XCAS:

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    Wolfram Alpha:

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    Google (représentation graphique de la fonction)

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  • La communication: très certainement le coeur de la transmission

    La pensée chemine, culmine puis s'arrête enfin. Mais nous ne savons jamais vraiment où nous nous trouvons dans le parcours, emberlificotés que nous sommes dans l'incomplet, l'analytique, l'hypothético-déductif, l'analogique, le créatif, le sorite, l'approximatif et, il faut bien l'avouer, l'erreur qu'elle soit d'interprétation ou de raisonnement.

    La Science place des panneaux indicateurs sur le chemin, indiquant que la voie est libre ou au contraire, que le chemin suivi est sans issue car il est bien souvent incompatible avec des résultats antérieurs déjà validés. Avant de dire la grande Vérité, à tout jamais inaccessible,  la Science élimine l'incohérent, le farfelu,  l'impossible ici et maintenant, de demain ou d'hier. Elle place les réserves, elle évalue le probable et l'improbable, quantifie les écarts, organise l'information et la réthorique des échanges, oriente les modes de pensées afin de les rendre compatibles. La Science permet la création sous réserve de cohérence de l'ensemble. 

    Mais la Science doit se dire, se transmettre, se faire comprendre. Elle n'est d'ailleurs pas la seule à rencontrer cet impératif de transmission dont le seul fait d'avoir "voix au chapitre" ne suffit plus. Le Politique, l'Economique, le Scolaire doivent eux aussi le faire. Les temps changent. Les supports de transmission aussi. Les choses deviennent plus complexes, plus interactives. Le récepteur filtre l'information, peut la rejeter, l'ignorer ou l'accepter sous conditions. Il devient de plus en plus un élément majeur de l'environnement communicationnel qui doit être pris en compte dans le processus global. La communication est ce quatuor dynamique inclusif : Emetteur, Recepteur, Relation et Support. Si la production scientifique est indépendante de la nature du support et de la relation, elle ne l'est plus lorsque ceux-ci deviennent objet de recherche. Et par un même mouvement, si le scientifique cherche à communiquer avec des scientifiques dans un autre champ ou avec des néophytes, il doit aussi se frotter à une transmission qui ne serait plus simplement composée d'informations brutes mais d'objets communicationnels complexes et travaillés intégrant le récepteur du message, flirtant avec la vulgarisation, sa capacité de compréhension, la force de conviction de celui qui énonce. 

    Je viens de boucler un article sur la modification des pratiques enseignantes à l'heure des TICE dans lequel j'ai placé la Communication (avec un grand C comme pour étendre son statut à tous les moyens disponibles et tous les objectifs visés) au même niveau d'importance que la Didactique et la Pédagogie.  Je suis intimement convaincu que la modification de la nature des supports et des moyens de transmission, impacte en profondeur non seulement sur la vitesse des échanges mais principalement sur la nature même de la pensée en y injectant de nouveaux objets et génère donc de nouveaux modes de reflexion. La modification des objets transmis produit une modification de la pensée elle-même, puisque ceux-ci s'y retrouvent de façon naturelle. Ne pas considérer ce point dans l'acte éducatif place l'école sur une voie de garage, comme devenant une sorte de résurgence anachronique par insuffisance symbolique.

    Pour qu'il y ait transmission scolaire, il faut nécessairement trouver cet accord symbolique entre l'émeteur et le récepteur qui ne peut plus exclusivement relever du contrat didactique. Il ne peut s'effectuer qu'au sens d'une proximité des sens symboliques, les nouvelles technologies y trouvant naturellement leur place. Les TICE ne recouvrent cependant qu'une partie de de la cohérence symbolique recherchée mais permettent au moins un accord à minima entre les parties avec une dépense d'énergie convenable (à condition que chacun les maîtrise de façon suffisante). Elles ont l'avantage (et l'inconvénient) d'irriguer l'intégralité des champs du savoir. Le pacte symbolique (je préfère le mot pacte au mot contrat) serait de la même nature que le pacte linguistique de Roger Bacon (13ème siècle). Il releverait de l'occasionnalisme, celui de Bacon correspondait à l'entente entre les deux parties sur le sens des mots et j'y ajouterai aujourd'hui sur la symbolique globale de la communication et des contenus échangés dans un environnement technologique. Étymologiquement, le symbole est un tesson de poterie cassé en deux. Chacune des parties est donnée à l'un des contractants qui ne pouvaient liquider le contrat qu'en réunissant les morceaux. La communication est très certainement le processus qui permet de travailler sur la distance entre les deux acteurs, les rapprocher, les "recoller". Certains y verront apparaître  les termes de signifiant et signifié, il peut s'agir aussi de connaissances et de compétences. On pourra trouver aussi la motivation, la compréhension, le concret et bien d'autres termes allant au delà des seuls contenus d'enseignement. Et peut-être enfin tout simplement, l'envie ou la peur. D'une façon générale, tous ces processus sont modifiés, changent de nature au contact d'un environnement technologique favorisant lui-même  la communication. On peut voir avec quelle vitesse et motivation, les ados (et même des plus agés) dégainent leur Smartphone, laissant réveur tout professeur qui tente en vain depuis de nombreuses années, de faire sortir le livre de cours à ses élèves en moins de 5 minutes!

    La technologie est incluse dans la communication. Il est possible de l'utiliser à bon escient pour faire sens, pour servir de médiateur dans une construction symbolique parfois difficile à trouver. Les nouvelles technologies sont de mon point de vue un habillage communicationnel que l'on peut utiliser et  faire varier suivant les buts recherchés.

    Dominique Wolton, directeur de l'Institut des Sciences de la Communication du CNRS aborde dans l'émission radio "Infos Sciences" , le tournant communicationnel et les enjeux scientifiques, non sans rapport avec ce que je viens de dire précédemment. 

     

     

    La communication, dans sa composante interactive est une relation mettant l'action du récepteur au premier plan. On pourrait tout aussi bien changer le mot communication par celui de  pédagogie ou de didactique sans produire de contresens. La communication étudie les échanges, la pédagogie les objectifs d'assimilation et de restitution, et la didactique, la nature et la forme des contenus transmis.

    Il est intéressant d'entendre dire D. Wolton que l'interdisciplinarité (que l'on souhaite toujours mettre au coeur du système éducatif) relève de la communication et donc de la négociation. Le terme d'incommunication peut être mis de façon très intéressante en rapport avec la notion d'"incommunicabilité" (que je préfère à celle de nonsense) abordée de façon métaphorique par Lewis Carroll  dans son oeuvre dans laquelle on pourra aussi trouver des éléments intéressants sur la "communicabilité". Pour faire court, Carroll semble avoir mis le doigt sur les phénomènes principaux liés à la transmission d'un message ou à son absence. Par exemple, les mots-valises qui pourtant n'existent pas, sont tout à fait compréhensibles, comme l'est aussi le poème du Jabberwocky, composé de mots inconnus. La communication n'est donc pas seulement une affaire de lexique (ah ces textos qui ne respectent aucune ortographe ni aucune syntaxe et qui sont pourtant tout à fait compréhensibles...). Et tout le parcours d'Alice est celui d'une petite fille qui tente de se faire comprendre et de comprendre le monde dans lequel elle évolue et il faut bien là aussi constater que les exemples d'"incommunicabilité" sont légion!  Lire en partie sur ce propos, mon interprétation personnelle de l'impossible communication entre Alice (pensée affective) et Humpty-Dumpty (pensée algorithmique). S'interroger sur l'"incommunication", que l'on rencontre souvent dans le monde scolaire, est sans aucun doute très riche d'enseignement. La conversation entre Alice et Humpty-Dumpty pourrait se transposer facilement à l'école, montrant à quel point les difficultés de communication peuvent y être importantes entre une pensée affective  et une pensée cartésienne, une pensée qui reçoit le sens et celle qui le donne. 

    -Humpty Dumpty : "C'est de la gloire pour toi !"
    -"Je ne comprends pas ce que tu veux dire par gloire", répondit Alice
    Humpty Dumpty sourit d'un air dédaigneux,
    -"Naturellement que tu ne le sais pas tant que je ne te le dis pas. Je voulais dire : c'est un argument décisif pour toi !"
    -"Mais gloire ne signifie pas argument décisif", objecta Alice.
    -"Lorsque j'utilise un mot", déclara Humpty Dumpty avec gravité, " il signifie exactement ce que j'ai décidé qu'il signifierait - ni plus ni moins ".
    -"Mais le problème" dit Alice, "c'est de savoir si tu peux faire en sorte que les mots signifient des choses différentes".
    -"Le problème", dit Humpty Dumpty, "est de savoir qui commande, c'est tout " !

    Le pacte symbolique est un impératif. Les TICE permettent sans aucun doute de favoriser son émergence en délestant d'une partie de la charge du sens, l'émetteur et le récepteur du message.

    Il y a quelques années (déjà!), je me suis mis à la recherche des germes d'une philosophie de la transmission. J'y ai trouvé peu de choses. La communication semble aujourd'hui l'élément incontournable d'une réflexion sur la transmission. Il faudra aussi  travailler sur l'altérité comme le souligne D. Woltron. Il est intéressant de noter que la notion d'altérité peut sans doute se dissimuler derrière celle de communication, qui sont peut-être les composantes  d'un même concept relevant pour l'un de l'état et pour l'autre du processus.

    Nous pouvons aussi nous interroger sur l'impossible mission de définir des contenus à transmettre pour tous, en même temps que pour chacun!

  • Le problème des 3 corps et la question de la stabilité du système solaire

    J'avais écrit un billet sur le problème des trois corps. On pourra aussi lire l'article suivant sur le sujet.
    La vidéo qui suit permet de compléter les deux liens précédents:



    Le problème des trois corps et la question de la... par Sciences_Maths_Paris